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2013年高考数学(理科)一轮复习课件第67讲:古典概型与几何概型


祖晓丽

考纲要求

考纲研读

1.古典概型 (1)理解古典概型及其概率计算公式. 1. 古典概型的概率等于所求 (2)会用列举法计算一些随机事件所含事件中所含的基本事件数与 的基本事件数及事件发生的概率. 总的基本事件数的比值. 2. 几何概型的关键之处在于 2.随机数与几何概型 (1)了解随机数的意义,能运用模拟方将概率问题转化为长度,面 积或体积之比. 法估计概率. (2)了解几何概型的意义.

1.古典概型的定义 (1)试验的所有可能结果(基本事件)只有_______. 有限个

相等 (2)每一个试验结果(基本事件)出现的可能性______.
我们把具有以上这两个特征的随机试验的数学模型称为古典 概型. 2.古典概型的计算公式 对于古典概型,若试验的所有基本事件数为 n,随机事件 A m 包含的基本事件数为 m,那么事件 A 的概率为 P(A)=___. n

3.几何概型的定义 长度 面积 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______(____ 体积 或_____)成比例,则这样的概率模型称为几何概率模型,简称几何 概型. 4.几何概型的特点

无限不可数 (1)试验的结果是_______________的.
相等 (2)每个结果出现的可能性_____. 5.几何概型的概率公式 构成事件 A 的区域长度(面积或体积)

P(A)= 区域的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) .

1.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条,则以这 三条线段为边可以构成三角形的概率是(

D
1 A.4 1 B.2 2 C.3

) 3 D.4

解析:依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况: 3 3 2,3,4或3,4,5或2,4,5,故P=C3=4,故选D. 4

与顺序无关,组合问题

2.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)
? π? 与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈?0,2?的概率是( ? ?

C )

5 1 7 5 A.12 B.2 C.12 D.6 解析:连续抛掷两次骰子共有基本事件6×6=36个,a,b的
? π? 夹角θ∈?0,2?的充要条件为a· b=m-n≥0,而m≥n包含的基本事 ? ?

件有(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(3,2),(4,2), (5,2),(6,2),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3),(4,4),(5,4),(6,4), 21 7 (5,5),(6,5),(6,6)共21个,故所求概率为36=12.

3.如图15-2-1,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的 阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子它落在阴影区域内的概率 2 为3,则阴影区域的面积为( C ) 2 A.3 4 B.3 8 C.3 10 D. 3

图15-2-1

8 S 2 解析:设阴影部分面积为S,则22=3,则S=3.

4.(2011 年江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他 1 随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于 ,则周末 2 1 去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否则,在家 4 13 16 看书,则小波周末不在家看书的概率为_____.

解析:

?1? π-π? ?2 ?2?

π

13 + = . π 16

? 1? π? ?2 ? 4?

? 解:圆的面积为π,点到圆心的距离大于 1/2的面积为π?π/4=3π/4 此点到圆心的距离小于1/4的面积为π/16由 几何概型得小波周末不在家看书的概率为 P=(3π/4+π/16)/π=13/16 故答案为:13/16

考点1

古典概型

例1:先后随机投掷2枚正方体骰子,其中x表示第1枚
骰子出现的点数,y表示第2枚骰子出现的点数. (1)求点P(x,y)在直线y=x-1上的概率; (2)求点P(x,y)满足y2<4x的概率. 解析:(1)∵每颗骰子出现的点数都有6种情况,
∴基本事件总数为6×6=36(个). 记“点P(x,y)在直线y=x-1上”为事件A,A有5个基本事 件:A={(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5)}. 5 ∴P(A)=36.

(2)记“点P(x,y)满足y2<4x”为事件B,则 事件B有17个基本事件: 当x=1时,y=1;当x=2时,y=1,2; 当x=3时,y=1,2,3;当x=4时,y=1,2,3; 当x=5时,y=1,2,3,4;当x=6时,y=1,2,3,4. 17 ∴P(B)=36.

计算古典概型事件的概率可分为三步:①算

出基本事件的总个数n;②求出事件A所包含的基本事件个数
m;③代入公式求出概率P.

【互动探究】 1.(2011年广东揭阳二模)已知集合A={-2,0,2},B= {-1,1},设M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集合M内随机取出一 个元素(x,y). (1)求以(x,y)为坐标的点落在圆x2+y2=1上的概率;

?x-y+2≥0, ? (2)求以(x,y)为坐标的点位于区域D: ?x+y-2≤0, ?y≥-1 ?
边界)的概率.

内(含

解:(1)集合M的所有元素有(-2,-1),(-2,1),(0,-1),
(0,1),(2,-1),(2,1)共6个.基本事件总数为6.

记“以(x,y)为坐标的点落在圆x2+y2=1上”为事件A, 因落在圆x2+y2=1上的点有(0,-1),(0,1)2个,即A包含的基本事

件数为2.
2 1 所以P(A)=6=3.

(2)记“以(x,y)为坐标的点位于区域D内”为事件B.则基本 事件总数为6.

图D39

由图D39知位于区域D内(含边界)的点有:(-2,-1),(2,
-1),(0,-1),(0,1)共4个,即B包含的基本事件数为4.

4 2 故P(B)=6=3.

考点2 几何概型 例2:(2011 年广东珠海模拟节选)甲、乙两人约定上午 9 点至 12 点在某地点见面,并约定任何一个人先到之后等另一个人不超 过一个小时,一小时之内如对方不来,则离去.如果他们二人在 8

点到 12 点之间的任何时刻到达约定地点的概率都是相等的,求他
们见到面的概率.
解析:设甲到达时间为x,乙到达时间为y, 取点Q(x,y),则0<x<3,0<y<3. 两人见到面的充要条件是:|x-y|<1. 如图D38,其概率是: 1 2 3 -2·· 22 5 P= =9. 32
2

图 D38

几何概型的关键在于构造出随机事件A所对应
的几何图形,利用几何图形的度量来求随机事件的概率,

根据实际情况,合理设置参数,建立适当的坐标系,在此
基础上,将试验的每一个结果一一对应于坐标系的点,便 可构造出度量区域.

【互动探究】 πx 1 2.在区间[-1,1]上随机取一个数x,cos 2 的值介于0到 2 之间
的概率为( A ) 1 2 1 2 A.3 B.π C.2 D.3 解析:在区间[-1,1]上随机取一个数x,即x∈[-1,1]时,要

πx 1 π πx π π πx π 使cos 2 的值介于0到2之间,需使-2≤ 2 ≤-3或3≤ 2 ≤2, 2 2 2 ∴-1≤x≤- 3 或 3 ≤x≤1,区间长度为 3 ,由几何概型知 2 3 1 πx 1 cos 2 的值介于0到2之间的概率为2=3.

考点3 两种概型的综合运用

例3:(2010年惠州调研)已知关于x的二次函数f(x)=ax2 -
2bx+8. (1)设集合P={1,2,3}和Q={2,3,4,5},分别从集合P和Q中 随机取一个数作为a和b,求函数y=f(x)在区间(-∞,2]上有零 点且是减函数的概率;

(2)若a是从区间[1,3]任取的一个数,b是从区间[2,5]任取的
一个数,求函数y=f(x)在区间(-∞,2]上有零点且是减函数的 概率.

解题思路:这个题的两问分别考查的是古典概型和几何 概型问题,又联合了一元二次方程根的分布问题.

解析:(1)分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b,
基本事件有如下12个:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3), (2,4),(2,5),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5).
b ∵函数f(x)=ax2-2bx+8的图象的对称轴为x= a ,要使f(x)= b ax -2bx+8在区间(-∞,2]上为减函数且有零点,当且仅当 a ≥
2

2且f(2)≤0,即b≥2a且a-b≤-2,这样的事件有5个:(1,3), (1,4),(1,5),(2,4),(2,5).

5 ∴所求事件的概率为12. 5 即函数y=f(x)在区间(-∞,2]上有零点且是减函数的概率是12. (2)基本事件所构成的区域为M={(a,b)|1≤a≤3,2≤b≤5}.

由(1)知构成事件“函数y=f(x)在区间(-∞,2]上有零点且是 减函数”的区域为N={(a,b)|1≤a≤3,2≤b≤5,且b≥2a,a-b≤- 2}.
?3 ? ? +1?×1 ?2 ?

通过数形结合的方法可得所求的概率为

1 +2×1×1 2 7 =24. 2×3

这题属于古典概型与几何概型的一个典型的题

目,融合了函数的零点知识(一元二次方程根的分布问题).

【互动探究】 3.(2011 年广东广州执信中学三模)已知两实数 x,y 满足 0≤x≤2,1≤y≤3. (1)若 x,y∈N,求使不等式 2x-y+2>0 成立的概率; (2)若 x,y∈R,求使不等式 2x-y+2>0 不成立的概率.
解析:(1)设“使不等式 2x-y+2>0 成立”为事件 A. 因为 x, y∈N, y)可有(0,1), (x, (0,2), (0,3), (1,1), (1,2), (1,3), (2,1),(2,2),(2,3)共 9 种情况. 事件 A 有(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),共 7 种可能. 7 则 P(A)=9. 7 所以使不等式 2x-y+2>0 成立的概率为9.

(2)设“使不等式2x-y+2>0 不成立”也即“使不等式2x-y+ 2≤0 成立”为事件B,因为x∈[0,2],y∈[1,3], 所以(x,y)对应的区域边长为2 的正方形(如图D40),

且面积为Ω=4.
2x-y+2≤0,对应的区域是如图D40阴影部分.
1 1 1 设其面积为S,则S=2× 2=4. 1× 1 S 4 1 则P(B)=Ω=4=16. 1 故使不等式2x-y+2>0不成立的概率为16.

图D40

几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型,二者的
共同点是基本事件都是等可能的,不同点是基本事件的个数一

个是无限的,一个是有限的.对于古典概型问题,处理基本事
件的数量是关键,而对于几何概型中的概率问题转化为长度、 面积或体积之比是关键.

1.区分古典概型与几何概型.

2.古典概型中的基本事件的数量容易计算出,如果能直
接列出时,要注意书写时避免重复和遗漏,有时候也利用排列 组合的相关知识来解决基本事件的数量. 3处理古典概型的难点一方面在于从题目中提取几何概型 的模型,另一方面在于计算方面,这点有时候会与定积分结合

起来考查.


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