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2016-2017学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的数乘运算高效测评新人教A版选修2-1资料


2016-2017 学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间 向量的数乘运算高效测评 新人教 A 版选修 2-1
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.若 a,b 均为非零向量,则 a·b=|a||b|是 a 与 b 共线的( A.充分不必要条件 C.充要条件 解析: B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

a·b=|a||b|cos〈a,b〉=|a||b|?cos〈a,b〉=1?〈a,b〉=0,当 a

与 b 反向时,不能成立. 答案: A → 1 → → 2.已知空间四边形 ABCD 的对角线为 AC,BD,设 G 是 CD 的中点,则AB+ (BD+BC)等 2 于( )

→ A.AG → C.BC → 1 → → → → → 解析: AB+ (BD+BC)=AB+BG=AG. 2 答案: A

→ B.CG 1→ D. BC 2

3.下列条件使 M 与 A,B,C 一定共面的是( → → → → A.OM=2OA-OB+OC → → → → B.OM+OA+OB+OC=0 → 1→ 2→ 1→ C.OM= OA+ OB+ OC 5 3 2 → → → D.MA+MB+MC=0

)

解析: 根据共面向量定理知 A,B,C 均错,只有 D 能使其一定共面. 答案: D → → → → 4.对于空间任一点 O 和不共线的三点 A,B,C,且有OP=xOA+yOB+zOC,则 x+y+z =1 是 P,A,B,C 四点共面的( )
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A.必要不充分条件 C.充要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

→ → → → → → → 解析: 若 x+y+z=1,则OP=(1-y-z)OA+yOB+zOC,即AP=yAB+zAC,由共面定 → → → 理可知向量AP,AB,AC共面,所以 P,A,B,C 四点共面;反之,若 P,A,B,C 四点共面, → 当 O 与四个点中的一个(比如 A 点)重合时,OA=0,x 可取任意值,不一定有 x+y+z=1, 故选 B. 答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.命题:①向量 a,b,c 共面,则它们所在的直线也共面;②若 a 与 b 共线,则存在 → 1→ 1→ 唯一的实数 λ ,使 b=λ a;③若 A,B,C 三点不共线,O 是平面 ABC 外一点,OM= OA+ OB 3 3 1→ + OC,则点 M 一定在平面 ABC 上,且在△ABC 内部. 3 上述命题中的真命题是________. 解析: ①中 a 所在的直线其实不确定,故①是假命题;②中当 a=0,而 b≠0 时,则 找不到实数 λ ,使 b=λ a,故②是假命题;③中 M 是△ABC 的重心,故 M 在平面 ABC 上且 在△ABC 内,故③是真命题. 答案: ③ → → → → 6.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC+AB1+AD1与向量AC1之间的关系是________. → → → → → → → → → → → → → → → 解析: ∵AC1=AB+AD+AA1,AC=AB+AD,AB1=AB+AA1,AD1=AD+AA1,∴AC+AB1+

AD1=2AC1.
→ → → → 答案: AC+AB1+AD1=2AC1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) → → 7.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 在 A1D1 上,且A1E=2ED1,F 在对角线 A1C → 2→ 上,且A1F= FC. 3





求证:E,F,B 三点共线. → → → 证明: 设AB=a,AD=b,AA1=c.

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→ → → 2→ ∵A1E=2ED1,A1F= FC, 3 → 2 → → 2→ ∴A1E= A1D1,A1F= A1C. 3 5 → 2→ 2 → 2 → → ∴A1E= AD= b,A1F= (AC-AA1) 3 3 5 2 → → → 2 2 2 = (AB+AD-AA1)= a+ b- c. 5 5 5 5 4 2 2? 2 → → → 2 ? ∴EF=A1F-A1E= a- b- c= ?a- b-c?. 5 15 5 5? 3 ? 2 → → → → 又EB=EA1+A1A+AB=- b-c+a 3 2 → 2→ =a- b-c,∴EF= EB. 3 5 → → 又∵EF与EB有公共点 E, 所以 E,F,B 三点共线. → 1→ → → 8.如图,设 O 为?ABCD 所在平面外任意一点,E 为 OC 的中点,若AE= OD+xOB+yOA, 2 求 x,y 的值.

→ → → → 解析: ∵AE=AB+BC+CE → → → → 1→ =OB-OA+OC-OB- OC 2 → 1→ → 1 → → =-OA+ OC=-OA+ (OD+DC) 2 2 → 1 → → =-OA+ (OD+AB) 2 → 1→ 1 → → =-OA+ OD+ (OB-OA) 2 2 3→ 1→ 1→ =- OA+ OD+ OB, 2 2 2 1 3 ∴x= ,y=- . 2 2

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9. (10 分)如图所示,已知四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是 ABCD 所在平面外的一 点,连接 PA,PB,PC,PD.设点 E,F,G,H 分别为△PAB,△PBC,△PCD,△PDA 的重心.

(1)试用向量方法证明 E,F,G,H 四点共面; (2)试判断平面 EFGH 与平面 ABCD 的位置关系,并用向量方法证明你的判断. 解析: (1)分别连接 PE,PF,PG,PH 并延长,交对边于点 M,N,Q,R, 连接 MN,NQ,QR,RM,

∵E,F,G,H 分别是所在三角形的重心, → 2→ → 2→ → 2→ → 2→ ∴M,N,Q,R 是所在边的中点,且PE= PM,PF= PN,PG= PQ,PH= PR. 3 3 3 3 由题意知四边形 MNQR 是平行四边形, → → → → → → → ∴MQ=MN+MR=(PN-PM)+(PR-PM) 3 → → 3 → → = (PF-PE)+ (PH-PE) 2 2 3 → → = (EF+EH). 2 → → → 3→ 3→ 3→ 又MQ=PQ-PM= PG- PE= EG. 2 2 2 → → → ∴EG=EF+EH, 由共面向量定理知,E,F,G,H 四点共面. (2)平行.证明如下: → 3→ 由(1)得MQ= EG, 2 → → ∴MQ∥EG, ∴EG∥平面 ABCD. → → → 3→ 3→ 3→ → → 又MN=PN-PM= PF- PE= EF,∴MN∥EF. 2 2 2 即 EF∥平面 ABCD.
4

又∵EG∩EF=E, ∴平面 EFGH 与平面 ABCD 平行.

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