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专题讲稿:存在性、任意性问题20140412


恒成立问题、存在性、任意性问题的初步研究
该稿件为试读稿(试读稿四月份) ,等全部研究完毕后再推出定稿. (定稿七月份) 以最美的姿态享受数学阅读! 如有疑问请及时反馈,anson_top@163.com,不足之处,在所难免,还望见谅!

知识点一:对于参数 a 及函数 y ? f ? x ? ? x ? D ? 恒成立问题研究.
若 a

? f ? x ? 恒成立,则 a ? f ? x ?max ; 若 a ? f ? x ? 恒成立,则 a ? f ? x ?min ; 若 a ? f ? x ? 有解,则 a ? f ? x ?min ; 若 a ? f ? x ? 有解,则 a ? f ? x ?max ;

若 a ? f ? x ? 有解,则 f ? x ?min ? a ? f ? x ?max . 注意点: 1.若函数 y ? f ? x ? ? x ? D ? 无最大值或最小值的情况,可以仿此推出相应结论,同时根据不等号能 否取得等号(不等号能否去等号,取了才知道,不试谁知道! ! ! )需要对结论作出相应的调整. 2.思维提示:研究“ a ? f ? x ? 恒成立”有两个方向,第一个方向是“ a ? f ? x ?max ” ,第二个方向是 转化到“即研究 f ? x ? ? a ? 0 恒成立,则 g ? x ? min ? ? ? f ? x? ? a? ? min ? 0 ” . 体现了两点价值,第一点价值是分离参数(或常数)解决问题,第二点价值是将参数存入原函数,构 造新函数解决问题.这种做法是解决函数问题常用的两种方法.

配套案例:
案例组 A: A1. ?x ? ?1, 2? , a ? x 恒成立,则 a 的取值范围为 A2. ?x ? ?1, 2? , a ? x 恒成立,则 a 的取值范围为 A3. ?x ? ?1, 2? ,使 a ? x 成立,则 a 的取值范围为 A4. ?x ? ?1, 2? ,使 a ? x 成立,则 a 的取值范围为 参考答案:A1. a ? 2 ; 案例组 B: B1. x ? a 是 x ? 2 的充分不必要条件,则 a 的取值范围为 B2. x ? a 是 x ? 2 的充分不必要条件,则 a 的取值范围为 B3. x ? a 是 x ? 2 的充分不必要条件,则 a 的取值范围为 B4. x ? a 是 x ? 2 的充分不必要条件,则 a 的取值范围为 B5. x ? a 是 x ? 2 的充要条件,则 a 的取值范围为 参考答案:B1. a ? 2 ; B2. a ? 2 ; B3. a ? 2 ; . B4. a ? 2 ; B5. a ? 2 . . . . . A2. a ? 1 ; A3. a ? 1 ; . . . . A4. a ? 2 .

1

知识点二:对于函数 f ? x ? 、 g ? x ? 存在性及任意性问题研究.

?x1 ? A , ?x2 ? B ,有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立,则应如何转化?
仿照上面的知识点一,这里是两个函数的动态问题,之前我们讲过,双动态问题我们应该转化为单动 态问题. 我们不妨假设其中有一个函数不动: 设 f ? x1 ? 不动,则可以设 f ? x1 ? ? m ,此时问题变为“ ?x2 ? B ,有 m ? g ? x2 ? ” ,由于转化后是恒 成立问题,故应取 g ? x2 ? max ; 立问题,故应取 f ? x1 ? min .

设 g ? x2 ? 不动,则可以设 g ? x2 ? ? n ,此时问题变为“ ?x1 ? A ,有 f ? x1 ? ? n ” ,由于转化后是恒成 于是问题就可以转化为 f ? x1 ? min ? g ? x2 ? max . 按照这种思维,我们可以研究出四种类型的问题:

?x1 ? A , ?x2 ? B , f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ? x1 ?min ? g ? x2 ?max ; ?x1 ? A , ?x2 ? B , f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ? x1 ?min ? g ? x2 ?min ; ?x1 ? A , ?x2 ? B , f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ? x1 ?max ? g ? x2 ?min . ?x1 ? A , ?x2 ? B , f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ? x1 ?max ? g ? x2 ?max ;

回顾一下,处理 f ? x1 ? 时,我们是将 g ? x2 ? 看作常数; 处理 g ? x2 ? 时,我们是将 f ? x1 ? 看作常数. 这样就把问题转化到知识点一去了, 不需要死记硬背, 同时也体现双动问题转为单动问题的数学思想. 另外,对于这一问题的变式, f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 0 对四个可能的情形该如何处理?(移项处理) 其次对于这一问题的特殊情况,即 x1 ? x2 ? x 时,我们会产生两个问题:

?x ? A , f ? x ? ? g ? x ? ; ?x ? A , f ? x ? ? g ? x ? .

我们研究遵循两个方向,第一按照同一个函数进行研究,如果行不通则执行第二,第二按照不同的函 数来研究. 对这一问题我们简单阐释为: (1) ?x ? A , f ? x ? ? g ? x ? 则必会有 ?x ? A , f ? x ? ? g ? x ? ? 0 . (含参问题研究使用此法,而含参问题往往可以分参研究独立函数、也可以不分参研究整个函数) 而 ?x ? A , f ? x ? ? g ? x ? 不一定会有 ?x1,x2 ? A , f ? x1 ? min ? g ? x2 ? max . (可见他们不是不是等价问题,故一般用于证明确定的且使用(1)无法证明的不等式)

(2) ?x1,x2 ? A , f ? x1 ? min ? g ? x2 ? max ,则必会有 ?x ? A , f ? x ? ? g ? x ? ;

(3)特别地, ?x1,x2 ? A , f ? x1 ? min ? g ? x2 ? max

等价于 ?x1,x2 ? A , f ? x1 ? min ? g ? x2 ? max ,且取等号时 x1 ? x2 .

2

配套案例:
a2 例 1.设 a ? 0 ,函数 f ? x ? ? x ? , g ? x ? ? x ? ln x ,若对任意的 x1 、 x2 ? ?1, e ? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? x 成立,则实数 a 的取值范围为 .
分析 问题转化为研究 x1 、 x2 ? ?1, e ? ,使 f ? x1 ? min ? g ? x2 ? max .即分别研究 f ? x ? 、 g ? x ? 在 ?1, e ? 上的

最小值与最大值.但注意本题拥有大环境 a ? 0 .

解析 分析 g ? x ? (先分析具体函数,在分析含参或复杂函数.而作图时往往背道而驰) 由题意 g ' ? x ? ? 1 ? 故 g ? x ? max

1 x ?1 ,故 g ? x ? 在 ?1, e ? 上单调递增, ? x x ? g ?e? ? e ?1 .

a 2 x 2 ? a 2 ? x ? a ?? x ? a ? , ? ? x2 x2 x2 由 a ? 0 , x ? ?1, e ? ,故 f ? x ? 的单调性可能以 a 作为分段. (解题小环境,分类的来源) 1? 当 a ? e 时, 1? 2 a 则 f ? x ? min ? f ? e ? ? e ? (根据题意列式) ? e ?1 , e 1 2 从而 a ? ?e ,恒成立. (小小结论) 故a ? e. (通过小小结论结合解题环境得到该分类的小结论) e 2? 当 1 ? a ? e 时, a 则 f ? x ? min ? f ? a ? ? 2a ? e ? 1 ,
分析 f ? x ? ,由题意得 f ' ? x ? ? 1 ?

e ?1 , 2 故1 ? a ? e . 3? 当 a ? 1 时, 2 则 f ? x ? min ? f ?1? ? 1 ? a ? e ? 1 ,
从而 a ? 从而 a ? , e ? 2 或 a ? ? e ? 2 (舍) 故 e ? 2 ? a ? 1. 综上所述: a ? e ? 2 . (大结论)

2? 1 e a

3?

e 1 a

点评 这里的分类讨论实质上与研究二次函数轴动区间定问题相类似,都是先固定住对称轴(疑似极值 点,若极值点大小无法确定,则可以确定后再标记) ,然后依次放入区间,这样问题就能分析全面. 分类讨论的过程中时刻记住三点. 第一点:分类讨论有时候会有个大前提,比如这题的 a ? 0 就是解决问题的大环境,所得到的结果 为该集合的子集(一般的其实为真子集,也有部分题目答案就是大环境) ; 第二点:每一步讨论的开始必须交代是在什么范围内进行研究,必要的时候解出分类讨论每一步 的环境是什么,若分类讨论是对多项式进行讨论,例如对 2a 进行讨论,则格式可以写成“当 1 ? 2a ? e 即

1 e ……” ,根据题目列式计算之后一定要根据该步讨论的环境进行求解. ? a ? 时, 2 2
第三点:讨论完毕,每一步讨论环境(可以理解为小环境)综合到一块去,要么是 R ,要么是本 题的大环境. 关于最后的答案怎么写? 若是对单个参数研究,求出单个参数的范围,则可以合并(例如本题,研究 a 这个单参数) . 3

若对参数研究,而答案并非是参数,则不能合并(例如解不等式 ? x ? a ?? x ? 3? ? 0 ,研究 a 解得

的是 x 的取值范围) . 演练 若函数 f ? x ? ? ln x ?

a 3 在 ?1, e ? 上的最小值为 ,则实数 a 的值为 x 2



演练参考答案 ? e (求导得到疑似极值点,依次放入区间,研究单调性)

?1? 例 2.已知 f ? x ? ? x , g ? x ? ? ? ? ? m ,若对 ?x1 ? ? ?1,3? , ?x2 ? ? 0, 2? , f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,则 ?2? 实数 m 的取值范围为 .
2

2

分析 问题转化为研究 x1 ? ? ?1,3? , x2 ? ? 0, 2? ,使 f ? x1 ? min ? g ? x2 ? min . 故 f ? x ? min ? f ? 0 ? ? 0 . 故 g ? x ? min ? g ?

解析 分析 f ? x ? ,由题意 f ? x ? 在 x ? ? ?1,3? 上有增有减,但由于是简单函数, 分析 g ? x ? ,由题意易知 g ? x ? 在 x ? ? 0, 2? 上单调递减,

?1? 1 ? ? ?m. ?2? 4 1 1 ?m ? 0故m ? . 4 4

根据题意, f ? x1 ? min ? g ? x2 ? min ,从而

4


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