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北京市朝阳区2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析


2015-2016 学年北京市朝阳区高一(上)期末数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列各组中的两个集合 M 和 N,表示同一集合的是( ) A.M={π},N={3.14159} B.M={2,3},N={(2,3)} C.M={x|﹣1<x≤1,x∈N},N={1} D. , 2.若 a>b,则下列命题成立的是( A.ac>bc B. C. ) D.ac2≥bc2

3.若函数 f(x)=x3+x2﹣2x﹣2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数 据如下表: f(1)=﹣2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=﹣0.984 f(1.375)=﹣0.260 f(1.438)=0.165 f(1.4065)=﹣0.052 那么方程 x3+x2﹣2x﹣2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为( A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5 4.某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内为( )



A.k>4?

B.k>5?

C.k>6?

D.k>7? ,③y=|x2﹣2x|,④ ) D.①③

5.给定函数①

,②

,其中在区间

(0,1)上单调递减的函数序号是( A.①④ B.②④ C.②③

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6.已知 a= ,b=20.3,c=0.30.2,则 a,b,c 三者的大小关系是( A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a



7.函数

的图象的大致形状是(



A.

B.

C.

D.

8.某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况,从两块地各随机抽 取了 10 株树苗,用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据,对两块地抽取树苗的高度的平均 数 甲, 乙和方差进行比较,下面结论正确的是( )

A. B. C. D.

> 甲< 甲< 甲>


,乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 乙,甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定 乙,乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 乙,甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定


9.如图是王老师锻炼时所走的离家距离(S)与行走时间(t)之间的函数关系图,若用黑 点表示王老师家的位置,则王老师行走的路线可能是( )

A.

B.

C.

D.

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10.已知函数 f(x)=a(x﹣a) (x+a+3) ,g(x)=2x﹣2,若对任意 x∈R,总有 f(x)<0 或 g(x)<0 成立,则实数 a 的取值范围是( ) A. C. D. (﹣∞,﹣4) B.[﹣4,0) (﹣4,0) (﹣4,+∞)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 11.已知函数 则 的值是 .

12.从某小学随机抽取 100 名同学,将他们身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图 130﹚, [130, 140﹚, [140, (如图) . 由图中数据可知 a= . 若要从身高在[120, 150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动,则从身高在[140,150] 内的学生中选取的人数应为 .

13.已知 0<x<1.5,则函数 y=4x(3﹣2x)的最大值为



14.如图,一不规则区域内,有一边长为 1 米的正方形,向区域内随机地撒 1000 颗黄豆, 数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为 360 颗,以此实验数据 1000 为依据可以估计 出该不规则图形的面积为 平方米. (用分数作答)

15.若函数

的图象关于 y 轴对称,则 a=



16.关于函数

有以下四个命题:

①对于任意的 x∈R,都有 f(f(x) )=1;
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②函数 f(x)是偶函数; ③若 T 为一个非零有理数,则 f(x+T)=f(x)对任意 x∈R 恒成立; ④在 f(x)图象上存在三个点 A,B,C,使得△ ABC 为等边三角形. 其中正确命题的序号是 .

三、解答题:本大题共 4 小题,共 40 分. 17.已知函数 的定义域为集合 A,函数 g(x)=lg(﹣x2+2x+m)的

定义域为集合 B. (Ⅰ)当 m=3 时,求 A∩?RB; (Ⅱ)若 A∩B={x|﹣1<x<4},求实数 m 的值. 18.空气质量指数 PM2.5(单位:μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个 值越高,解代表空气污染越严重: PM2.5 日均浓度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 >250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某市 2012 年 3 月 8 日﹣4 月 7 日(30 天)对空气质量指数 PM2.5 进行检测,获得数据后整 理得到如图条形图: (1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率; (2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取 2 个,求至少有一天空气质量类别为中度 污染的概率.

19.已知定义域为 R 的单调减函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时,



(Ⅰ)求 f(0)的值; (Ⅱ)求 f(x)的解析式; (Ⅲ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0 恒成立,求实数 k 的取值范围. 20.定义在(0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对任意 x∈(0,+∞) ,都有 f(kx)=kf(x) (k≥2, * k∈N )成立,则称 f(x)为 k 阶伸缩函数.

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2]时, (Ⅰ) 若函数 f (x) 为二阶伸缩函数, 且当 x∈ (1, 的值; (Ⅱ)若函数 f(x)为三阶伸缩函数,且当 x∈(1,3]时,

, 求

,求证:函

数 在(1,+∞)上无零点; (Ⅲ)若函数 f(x)为 k 阶伸缩函数,且当 x∈(1,k]时,f(x)的取值范围是[0,1) ,求 n+1 * f(x)在(0,k ](n∈N )上的取值范围.

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2015-2016 学年北京市朝阳区高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列各组中的两个集合 M 和 N,表示同一集合的是( ) A.M={π},N={3.14159} B.M={2,3},N={(2,3)} C.M={x|﹣1<x≤1,x∈N},N={1} D. , 【考点】集合的相等. 【分析】根据两个集合相等,元素相同,排除 A; 根据两个集合相等,元素相同,排除 B 先解集合 M,然后判断元素是否相同,排除 C 先化简集合 N,然后根据集合元素的无序性,选择 D 【解答】解: A:M={π},N={3.14159},因为 π≠3.14159,故元素不同,集合也不同,故排除 B:M={2,3},N={(2,3)},因为 M 的元素为 2 和 3,而 N 的元素为一个点(2,3) , 故元素不同,集合不同,故排除 C:M={x|﹣1<x≤1,x∈N},N={1},由 M={x|﹣1<x≤1,x∈N}得,M={0,1},故两个集合 不同,故排除 D:∵ = ∴ ,根据集合元素的无序性可 以判断 M=N,故选择 D 故答案为 D 【点评】 本题考查两个集合相等的条件, 涉及到元素相同以及集合元素的三个性质: 无序性, 互异性,确定性,为基础题 2.若 a>b,则下列命题成立的是( A.ac>bc B. C. ) D.ac2≥bc2

【考点】不等式的基本性质. 【专题】计算题. 【分析】通过给变量取特殊值,举反例可得 A、B、C 都不正确,对于 a>b,由于 c2≥0,故 有 ac2≥bc2,故 D 成立. 【解答】解:∵a>b,故当 c=0 时,ac=bc=0,故 A 不成立. 当 b=0 时,显然 B、C 不成立. 对于 a>b,由于 c2≥0,故有 ac2≥bc2,故 D 成立. 故选 D. 【点评】本题主要考查不等式与不等关系,不等式性质的应用,通过给变量取特殊值,举反 例来说明某个命题不正确,是一种简单有效的方法,属于基础题. 3.若函数 f(x)=x3+x2﹣2x﹣2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数 据如下表: f(1)=﹣2 f(1.5)=0.625
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f(1.25)=﹣0.984 f(1.438)=0.165

f(1.375)=﹣0.260 f(1.4065)=﹣0.052

那么方程 x3+x2﹣2x﹣2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为( ) A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5 【考点】二分法求方程的近似解. 【专题】应用题. 【分析】由二分法的定义进行判断,根据其原理﹣﹣零点存在的区间逐步缩小,区间端点与 零点的值越越接近的特征选择正确选项 【解答】解:由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间(1.4065,1.438)中, 观察四个选项,与其最接近的是 C, 故应选 C 【点评】 本题考查二分法求方程的近似解, 求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步 骤,根据其原理得出零点存在的区间,找出其近似解.属于基本概念的运用题 4.某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内为( )

A.k>4?

B.k>5?

C.k>6?

D.k>7?

【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是累加并输入 S 的值,条件框内的语句是决定是否结束循环,模拟执行程序即可得到答 案. 【解答】解:程序在运行过程中各变量值变化如下表: K S 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈 2 4 是 第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 否 故退出循环的条件应为 k>4 故答案选 A.
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【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程 ①分支的条件②循环的条件③变量的 序填空也是重要的考试题型, 这种题考试的重点有: 赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解 流程图的含义而导致错误. ,③y=|x2﹣2x|,④ ) D.①③

5.给定函数①

,②

,其中在区间

(0,1)上单调递减的函数序号是( A.①④ B.②④ C.②③

【考点】函数单调性的判断与证明. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据增函数、减函数的定义,对数函数的单调性,二次函数的单调性,以及指数函 数的单调性即可判断每个函数在(0,1)上的单调性,从而找出正确选项. 【解答】解:①y= ,x 增大时, 增大,即 y 增大;

∴该函数在(0,1)上单调递增; ② ,x 增大时,x+1 增大, 减小;

∴该函数在(0,1)上单调递减; ③ ∴x∈(0,1)时,y=﹣x2+2x,对称轴为 x=1; ∴该函数在(0,1)上单调递增; ④ ,∴指数函数 在(0,1)上单调递减; ;

∴在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②④. 故选:B. 【点评】考查增函数、减函数的定义,根据单调性定义判断函数单调性的方法,对数函数的 单调性,含绝对值函数的处理方法:去绝对值号,二次函数的单调性,以及指数函数的单调 性. 6.已知 a= ,b=20.3,c=0.30.2,则 a,b,c 三者的大小关系是( A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a 【考点】不等关系与不等式. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】利用指数函数的单调性即可判断出. 【解答】解:∵ ∴b>c>a. 故选 A. 【点评】熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键. , )

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7.函数

的图象的大致形状是(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】数形结合. 【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号,将原函数化成分段函数的形式,再结合分段 函数分析位于 y 轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案. 【解答】解:∵y= =

当 x>0 时,其图象是指数函数 y=ax 在 y 轴右侧的部分,因为 a>1,所以是增函数的形状, 当 x<0 时,其图象是函数 y=﹣ax 在 y 轴左侧的部分,因为 a>1,所以是减函数的形状, 比较各选项中的图象知,C 符合题意 故选 C. 【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换,培养学生画图的能力, 属于基础题. 8.某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况,从两块地各随机抽 取了 10 株树苗,用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据,对两块地抽取树苗的高度的平均 数 甲, 乙和方差进行比较,下面结论正确的是( )

A. B. C. D.

> 甲< 甲< 甲>


,乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 乙,甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定 乙,乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 乙,甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定


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【考点】茎叶图. 【专题】对应思想;定义法;概率与统计. 【分析】根据茎叶图,计算甲、乙的平均数,再根据数据的分布情况与方差的概念,比较可 得答案. 【解答】解:根据茎叶图有: ①甲地树苗高度的平均数为 乙地树苗高度的平均数为 =28cm, =35cm,

∴甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数; ②甲地树苗高度分布在 19~41 之间,且成单峰分布,且比较集中在平均数左右, 乙地树苗高度分布在 10~47 之间,不是明显的单峰分布,相对分散些; ∴甲地树苗高度与乙地树苗高度比较,方差相对小些,更稳定些; 故选:B. 【点评】本题考查了利用茎叶图估计平均数与方差的应用问题,关键是正确读出茎叶图,并 分析数据,是基础题. 9.如图是王老师锻炼时所走的离家距离(S)与行走时间(t)之间的函数关系图,若用黑 点表示王老师家的位置,则王老师行走的路线可能是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】由题意可得在中间一段时间里,他到家的距离为定值,故他所走的路程是一段以家 为圆心的圆弧,结合所给的选项得出结论. 【解答】解:根据王老师锻炼时所走的离家距离(S)与行走时间(t)之间的函数关系图, 可得在中间一段时间里,他到家的距离为定值,故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧, 结合所给的选项, 故选:C. 【点评】本题主要函数的解析式表示的意义,函数的图象特征,属于中档题. 10.已知函数 f(x)=a(x﹣a) (x+a+3) ,g(x)=2x﹣2,若对任意 x∈R,总有 f(x)<0 或 g(x)<0 成立,则实数 a 的取值范围是( ) A. C. D. (﹣∞,﹣4) B.[﹣4,0) (﹣4,0) (﹣4,+∞) 【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用.

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【分析】由题意可知 x<1 时,g(x)<0 成立,进而得到 a(x+a) (x﹣2a+1)<0 对 x≥1

均成立,得到 a 满足的条件

,求解不等式组可得答案.

【解答】解:由 g(x)=2x﹣2<0,得 x<1,故对 x≥1 时,g(x)<0 不成立, 从而对任意 x≥1,f(x)<0 恒成立, 由于 a(x﹣a) (x+a+3)<0 对任意 x≥1 恒成立,如图所示,

则必满足



解得﹣4<a<0. 则实数 a 的取值范围是(﹣4,0) . 故选:C.

【点评】本题考查了函数的值,考查了不等式的解法,体现了恒成立思想的应用,属于中档 题. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 11.已知函数 则 的值是 ﹣2 .

【考点】函数的值. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】将 x= 代入函数的表达式,求出函数值即可. 【解答】解:f( )= =﹣2,

故答案为:﹣2. 【点评】本题考查了求函数值问题,考查分段函数以及对数函数的性质,是一道基础题. 12.从某小学随机抽取 100 名同学,将他们身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图 (如图) .由图中数据可知 a= 0.03 .若要从身高在[120,130﹚,[130,140﹚,[140,150] 三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的 学生中选取的人数应为 3 .

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【考点】频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】欲求 a,可根据直方图中各个矩形的面积之和为 1,列得一元一次方程,解出 a, 欲求选取的人数,可先由直方图找出三个区域内的学生总数,及其中身高在[140,150]内的 学生人数,再根据分层抽样的特点,代入其公式求解. 【解答】解:∵直方图中各个矩形的面积之和为 1, ∴10×(0.005+0.035+a+0.02+0.01)=1, 解得 a=0.03. 由直方图可知三个区域内的学生总数为 100×10×(0.03+0.02+0.01)=60 人. 其中身高在[140,150]内的学生人数为 10 人, 所以身高在[140,150]范围内抽取的学生人数为 ×10=3 人.

故答案为:0.03,3. 【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识.直方图中的各个矩形的面积代表了频率,所 以各个矩形面积之和为 1.同时也考查了分层抽样的特点,即每个层次中抽取的个体的概率 都是相等的,都等于 .

13.已知 0<x<1.5,则函数 y=4x(3﹣2x)的最大值为



【考点】二次函数的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】将二次函数进行配方,根据二次函数的图象和性质进行求值即可. 【解答】解:∵y=4x(3﹣2x)=﹣8x2+12x=﹣8(x﹣ )2+ , ∴当 x= 时,函数取得最大值 , 故答案为: . 【点评】 本题主要考查二次函数的图象和性质, 利用配方得到函数的对称轴是解决二次函数 的关键. 14.如图,一不规则区域内,有一边长为 1 米的正方形,向区域内随机地撒 1000 颗黄豆, 数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为 360 颗,以此实验数据 1000 为依据可以估计 出该不规则图形的面积为 平方米. (用分数作答)
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【考点】模拟方法估计概率. 【专题】计算题;方程思想;综合法;概率与统计. 【分析】根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积,利用面积比可得结论. 【解答】解:∵向区域内随机地撒 1000 颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆 数为 360 颗, 记“黄豆落在正方形区域内”为事件 A, ∴P(A)= ∴S 不规则图形= 故答案为: = , 平方米, .

【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且 这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.

15.若函数

的图象关于 y 轴对称,则 a=



【考点】函数的图象. 【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】由题意可得函数 f(x)为偶函数,函数 f(x)的定义域关于原点对称,从而求得 a 的值. 【解答】解:由于函数 数, 故函数 f(x)的定义域关于原点对称,故 a=﹣ , 故答案为:﹣ . 【点评】本题主要考查偶函数的图象特征,偶函数的定义域关于原点对称,属于基础题. 的图象关于 y 轴对称,故该函数为偶函

16.关于函数

有以下四个命题:

①对于任意的 x∈R,都有 f(f(x) )=1; ②函数 f(x)是偶函数; ③若 T 为一个非零有理数,则 f(x+T)=f(x)对任意 x∈R 恒成立;
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④在 f(x)图象上存在三个点 A,B,C,使得△ ABC 为等边三角形. 其中正确命题的序号是 ①②③④ . 【考点】命题的真假判断与应用;分段函数的应用. 【专题】函数思想;函数的性质及应用;简易逻辑. 【分析】①根据函数的对应法则,可得不管 x 是有理数还是无理数,均有 f(f(x) )=1; ②根据函数奇偶性的定义,可得 f(x)是偶函数; ③根据函数的表达式,结合有理数和无理数的性质; ④取 x1=﹣ ,x2=0,x3= ,可得 A( ,0) ,B(0,1) ,C(﹣ ,0) ,三点恰好构

成等边三角形. 【解答】解:对于①,若 x 是有理数,则 f(x)=1,则 f(1)=1,若 x 是无理数,则 f(x) =0,则 f(0)=1, 即对于任意的 x∈R,都有 f(f(x) )=1;故①正确, 对于②,∵有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数, ∴对任意 x∈R,都有 f(﹣x)=﹣f(x) ,则函数 f(x)是偶函数,故②正确; 对于③,若 x 是有理数,则 x+T 也是有理数; 若 x 是无理数,则 x+T 也是无理数, ∴根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数 T,f(x+T)=f(x)对 x∈R 恒成立,故③ 正确; 对于④,取 x1=﹣ ∴A( ,x2=0,x3= ,可得 f(x1)=0,f(x2)=1,f(x3)=0, ,0) ,恰好△ ABC 为等边三角形,故④正确.

,0) ,B(0,1) ,C(﹣

故答案为:①②③④. 【点评】本题主要考查命题的真假判断,给出特殊函数表达式,求函数的值并讨论它的奇偶 性,着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识,属于中档题. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 40 分. 17.已知函数 的定义域为集合 A,函数 g(x)=lg(﹣x2+2x+m)的

定义域为集合 B. (Ⅰ)当 m=3 时,求 A∩?RB; (Ⅱ)若 A∩B={x|﹣1<x<4},求实数 m 的值. 【考点】对数函数的定义域;交集及其运算;交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】 (Ⅰ)先化简集合 A,B,再根据补集和交集的定义即可求出; (Ⅱ)根据交集的定义即可求出 m 的范围. 【解答】解: (Ⅰ)由 的定义域得 A={x|﹣1<x≤5}.

当 m=3 时,B={x|﹣1<x<3}, 则?RB={x|x≤﹣1 或 x≥3}. 所以 A∩?RB={x|3≤x≤5}. (Ⅱ)因为 A={x|﹣1<x≤5},A∩B={x|﹣1<x<4},
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所以有﹣42+2×4+m=0. 解得 m=8. 此时 B={x|﹣2<x<4},符合题意. 所以 m=8. 【点评】本题考查了函数的定义域的求法和集合的基本运算,属于基础题. 18.空气质量指数 PM2.5(单位:μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个 值越高,解代表空气污染越严重: PM2.5 日均浓度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 >250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某市 2012 年 3 月 8 日﹣4 月 7 日(30 天)对空气质量指数 PM2.5 进行检测,获得数据后整 理得到如图条形图: (1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率; (2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取 2 个,求至少有一天空气质量类别为中度 污染的概率.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;分布的意义和作用. 【专题】图表型;概率与统计. 【分析】 (1)由条形统计图可知,空气质量类别为良的天数为 16 天,从而可求此次监测结 果中空气质量类别为良的概率; (2)样本中空气质量级别为三级的有 4 天,设其编号为 a,b,c,d.样本中空气质量级别 为四级的有 2 天,设其编号为 e,f.列举出基本事件及符合条件的事件,根据概率公式求出 相应的概率即可. 【解答】解: (1)由条形统计图可知,空气质量类别为良的天数为 16 天, 所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为 .…

(2)样本中空气质量级别为三级的有 4 天,设其编号为 a,b,c,d. 样本中空气质量级别为四级的有 2 天,设其编号为 e,f.则基本事件有: (a,b) , (a,c) , (a,d) , (a,e) , (a,f) , (b,c) , (b,d) , (b,e) , (b,f) , (c,d) , (c,e) , (c,f) , d e d f e f 15 ( , ) , ( ,) , ( ,) ,共 个. 其中至少有一天空气质量类别为中度污染的有 9 个, ∴至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为
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【点评】本题考查条形图,考查学生的阅读能力,考查列举法计算基本事件数及事件发生的 概率,属于基础题.

19.已知定义域为 R 的单调减函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时,



(Ⅰ)求 f(0)的值; (Ⅱ)求 f(x)的解析式; (Ⅲ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0 恒成立,求实数 k 的取值范围. 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (Ⅰ)利用定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数,求 f(0)的值; (Ⅱ)求出 x<0 的解析式,即可求 f(x)的解析式; (Ⅲ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0 恒成立,f(x)在 R 上是减函 数,所以 t2﹣2t>k﹣2t2.即 3t2﹣2t﹣k>0 对任意 t∈R 恒成立,即可求实数 k 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)因为定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数, 所以 f(0)=0. (Ⅱ)因为当 x<0 时,﹣x>0, 所以 .

又因为函数 f(x)是奇函数,所以 f(﹣x)=﹣f(x) . 所以 .

综上,

(Ⅲ)由 f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0 得 f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k) . 2 2 因为 f(x)是奇函数,所以 f(t ﹣2t)<f(k﹣2t ) .又 f(x)在 R 上是减函数,所以 t2 ﹣2t>k﹣2t2. 即 3t2﹣2t﹣k>0 对任意 t∈R 恒成立. 方法一令 3t2﹣2t﹣k=0,则△ =4+12k<0.由△ <0,解得 方法二即 k<3t2﹣2t 对任意 t∈R 恒成立.令 g(t)=3t2﹣2t,t∈R 则 故实数 k 的取值范围为 . ∴ .

【点评】本题考查函数的解析式,考查不等式恒成立问题的解法,注意运用单调性和参数分 离,以及函数的最值的求法,属于中档题. 20.定义在(0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对任意 x∈(0,+∞) ,都有 f(kx)=kf(x) (k≥2, * k∈N )成立,则称 f(x)为 k 阶伸缩函数.

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2]时, (Ⅰ) 若函数 f (x) 为二阶伸缩函数, 且当 x∈ (1, 的值; (Ⅱ)若函数 f(x)为三阶伸缩函数,且当 x∈(1,3]时,

, 求

,求证:函

数 在(1,+∞)上无零点; (Ⅲ)若函数 f(x)为 k 阶伸缩函数,且当 x∈(1,k]时,f(x)的取值范围是[0,1) ,求 n+1 * f(x)在(0,k ](n∈N )上的取值范围. 【考点】函数的值. 【专题】证明题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (Ⅰ)当 x∈(1,2]时, (x)为二阶伸缩函数,由此能求出 (Ⅱ)当 x∈(1,3]时, 上无零点. (Ⅲ)当 x∈(kn,kn+1]时, ,由此得到 ,当 x∈ ,从而 f( 的值. ,由此推导出函数 在(1,+∞) )= ,由此能求出函数 f

(kn,kn+1]时,f(x)∈[0,kn) ,由此能求出 f(x)在(0,kn+1](n∈N*)上的取值范围是 [0,kn) . 【解答】解: (Ⅰ)由题设,当 x∈(1,2]时, ,





∵函数 f(x)为二阶伸缩函数, ∴对任意 x∈(0,+∞) ,都有 f(2x)=2f(x) . ∴ . (Ⅱ)当 x∈(3m,3m+1](m∈N*)时, 由 f(x)为三阶伸缩函数,有 f(3x)=3f(x) . ∵x∈(1,3]时, ∴ . .

. 令 ∴函数

,解得 x=0 或 x=3m,它们均不在(3m,3m+1]内. 在(1,+∞)上无零点. (Ⅲ) 由题设,若函数 f(x)为 k 阶伸缩函数,有 f(kx)=kf(x) , 且当 x∈(1,k]时,f(x)的取值范围是[0,1) . ∴当 x∈(kn,kn+1]时, .
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,所以



∴当 x∈(kn,kn+1]时,f(x)∈[0,kn) . 当 x∈(0,1]时,即 0<x≤1, 则?k(k≥2,k∈N*)使 ,

∴1<kx≤k,即 kx∈(1,k],∴f(kx)∈[0,1) . 又 ,∴ ,即 .

∵k≥2, ∴f(x)在(0,kn+1](n∈N*)上的取值范围是[0,kn) . 【点评】 本题考查函数值的求法, 考查函数值无零点的证明, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意函数性质的合理运用.

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2016 年 3 月 12 日

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