当前位置:首页 >> 数学 >> 第三章

第三章


第三章测试题
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.一个物体的运动方程为 s=1-t+t2,其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( A.7 米/秒 C.6 米/秒 答案 B B.5 米/秒 D.4 米/秒 )

2.若二次函数 y=f(x)的图象过原点,且它的导数 y=f′(x)的图 象是经过第一、 二、 三象限的一条直线, 则 y=f(x)的图象顶点在( A.第一象限 C.第三象限 解析
2 2

)

B.第二象限 D.第四象限

b b 2 b2 b 设 f(x)=ax +bx=a(x +ax)=a(x+2a) -4a,顶点(-2a,

b2 -4a),f′(x)=2ax+b 过第一、二、三象限的一条直线,∴b>0,a>0, b b2 ∴-2a<0,-4a<0,∴顶点在第三象限. 答案 C )

3.曲线 y=x3-2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( A.30° C.60° 解析 B.45° D.120°

y′=3x2-2,∴y′|x=1=3×12-2=1,

∴倾斜角为 45° . 答案 B
1

15 4.已知函数 f(x)=-x2-2x+3 在区间[a,2]上的最大值为 4 ,则 a 等于( ) 1 B.2 1 3 D.-2或-2

3 A.-2 1 C.-2 解析 f(x)=-(x+1)2+4.

f(x)的开口向下,对称轴为 x=-1, 15 当 x=-1,f(-1)=4> 4 ,∴a>-1. ∴f(x)在[a,2]是减函数. 15 1 3 ∴f(a)= 4 ,解得 a=-2,或 a=-2(舍去). 答案 C )

5.已知函数 f(x)=x3 的切线的斜率等于 3,则这样的切线( A.有 1 条 C.多于 2 条 解析 答案 B.有 2 条 D.不确定

令 f′(x)=3x2=3,得 x=± 1,故应有 2 条. B )

6.若 f(x)=x2-2x-4lnx,则 f′(x)>0 的解集为( A.(0,+∞) C.(2,+∞) 解析

B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0)

2 4 2x -2x-4 f′(x)=2x-2-x = >0,∵x>0, x

∴2x2-2x-4>0, 即 x2-x-2>0.解得 x<-1 或 x>2.又 x>0, ∴x>2. 答案 C

7.函数 f(x)在其定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函
2

数 y=f′(x)的图象为(

)

答案

D

8.定义在(0,+∞)上的可导函数 f(x)满足 f′(x)· x<f(x),且 f(2) f ?x ? =0,则 x >0 的解集为( A.(0,2) C.(2,+∞) 解析 ) B.(0,2)∪(2,+∞) D.?

f′?x?· x-f?x? f ?x ? [ x ]′= <0, x2

3

f ?x ? f?2? ∴ x 为减函数,∵f(2)=0,∴ 2 =0. f ?x ? ∴ x >0 的解为 0<x<2,故选 A. 答案 A

1 9.下列图象中有一个是函数 f(x)=3x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R, a≠0)的导数 f′(x)的图象,则 f(-1)=( )

1 A.3 7 C.3 解析

1 B.-3 1 5 D.-3或3 f′(x)=x2+2ax+a2-1=(x+a)2-1,∵a≠0,∴图象应

为(3).此时 f′(0)=a2-1=0,又-a>0,∴a<0,∴a=-1.∴f(-1) 1 =-3. 答案 B

π π 10. 已知函数 f(x)=x-sinx, 若 x1, x2∈[-2, 且 f(x1)+f(x2)>0, 2], 则下列不等式中正确的是( A.x1>x2 C.x1+x2>0 解析 易知函数 f(x)为奇函数,
4

) B.x1<x2 D.x1+x2<0

又 f′(x)=1-cosx≥0,所以函数 f(x)为增函数, 由 f(x1)+f(x2)>0?f(x1)>-f(x2) ?f(x1)>f(-x2)?x1>-x2?x1+x2>0. 答案 C

11.曲线 y=x3 上一点 B 处的切线 l 交 x 轴于点 A,△OAB(O 是 原点)是以 A 为顶点的等腰三角形,则切线 l 的倾斜角为( A.30° C.60° 解析 B.45° D.120° )

3 设 B(x0,x0 ),由于 y′=3x2,

3 2 故切线 l 的方程为 y-x0 =3x0 (x-x0),

2 x0 令 y=0 得点 A( 3 ,0), 由|OA|=|AB|,得 2 x0 2 x0 2 ( 3 )2=(x0- 3 )2+(x3 0-0) , 1 当 x0=0 时,题目中的三角形不存在,故得 x4 0= , 3 3 2 故 x2 0= 3 ,直线 l 的斜率为 3x0= 3, 故直线 l 的倾斜角为 60° . 答案 C 3]上取值,则函数 f(x)=ax3+bx2+ax 在 ) 3 B. 3 3 D.1- 6
5

12.若 a,b 在区间[0,

R 上有两个相异极值点的概率是( 1 A.2 3 C. 6

解析

易得 f′(x)=3ax2+2bx+a,

函数 f(x)=ax3+bx2+ax 在 R 上有两个相异极值点的充要条件是 a≠0,且其导函数的判别式大于 0,即 a≠0,且 4b2-12a2>0,

又 a,b 在区间[0, 3]上取值,则 a>0,b> 3a, 点(a,b)满足的区域如图中阴影部分所示, 3 其中正方形区域的面积为 3,阴影部分的面积为 2 , 3 故所求的概率是 6 . 答案 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确 答案填在题中横线上) 13.已知曲线 y=x2-1 在 x=x0 点处的切线与曲线 y=1-x3 在 x =x0 点处的切线互相平行,则 x0 的值为________. 解析 y=x2-1 的导数为 y′=2x,

y=1-x3 的导数为 y′=-3x2, 2 ∴由题可知 2x0=-3x2 0,∴x0=0,或 x0=- . 3 答案 2 0 或-3
6

14.已知函数 f(x)=x3+ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取 值范围是________. 解析 a<0. 答案 (-∞,0) f′(x)=3x2+a,由题可知 f′(x)=0 有两个不等的根,∴

15.若 f′(x)=3x2-6x,且 f(0)=4,则不等式 f(x)>0 的解集是 ________. 解析 由题可设 f(x)=ax3+bx2+cx+d,

∴f′(x)=3ax2+2bx+c, 3a=3, ? ?2b=-6, ∴? c=0, ? ?d=4, a=1, ? ?b=-3, ∴? c=0, ? ?d=4.

∴f(x)=x3-3x2+4=x3+x2-4(x2-1). =x2(x+1)-4(x-1)(x+1)=(x+1)(x-2)2, ∴f(x)>0 的解为 x>-1,且 x≠2. 答案 {x|x>-1,且 x≠2} 3x+a 在区间(-2,+∞)上单调递减,则实 x+2

16.已知函数 f(x)=

数 a 的取值范围是________. 解析 由题可知,函数 f(x)= 3x+a 在区间(-2,+∞)上单调递 x+2

减,所以其导函数 f′(x)= 上小于零,解得 a>6. 答案 (6,+∞)

3?x+2?-?3x+a? 6-a = 在 (-2,+∞) ?x+2?2 ?x+2?2

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出必要的文
7

字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)求函数 f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1]的最值. 解 f′(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)

=3(x-1)2+3>0, ∵f′(x)在[-1,1]内恒大于 0, ∴f(x)在[-1,1]上为增函数. 故 x=-1 时,f(x)min=-12; x=1 时,f(x)max=2. 即 f(x)的最小值为-12,最大值为 2. 18.(12 分)设函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8(a∈R),若 f(x) 在区间(-∞,0)上是增函数,求 a 的取值范围. 解 f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1),

令 f′(x)=0,得 x1=a,x2=1. (1)当 a<1 时, 则 x<a 或 x>1 时, f′(x)>0, ∴f(x)在(-∞, a)和(1, +∞)上是增函数. 故当 0≤a<1 时,f(x)在(-∞,0)上是增函数. (2)当 a≥1 时,则 x<1 或 x>a 时,f′(x)>0. ∴f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上是增函数. 从而 f(x)在(-∞,0)上是增函数. 综上可知,当 a∈[0,+∞)时,f(x)在(-∞,0)上是增函数. 1 19.(12 分)已知函数 f(x)=3x3-4x+m 在区间(-∞,+∞)上有 28 极大值 3 . (1)求实数 m 的值; (2)求函数 f(x)在区间(-∞,+∞)的极小值.

8



f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2).

令 f′(x)=0 得,x=-2,或 x=2. 故 f(x)的增区间为(-∞,-2)和(2,+∞), 减区间为(-2,2). (1)当 x=-2 时,f(x)取得极大值, 8 28 故 f(-2)=-3+8+m= 3 ,∴m=4. 1 (2)由(1)得 f(x)=3x3-4x+4 4 又当 x=2 时,f(x)有极小值 f(2)=-3. 20.(12 分)已知某工厂生产 x 件产品的成本为 C=25 000+200x 1 +40x2(元). (1)要使平均成本最低应生产多少件产品? (2)若产品以每件 500 元出售,要使利润最大,应生产多少件产 品? 1 25 000+200x+40x2 25 000 x (1)设平均成本为 y,则 y= = x x +40



25 000 1 +200,y′=- x2 +40.令 y′=0,得 x=1 000. 当 x<1 000 时,y′<0; 当 x>1 000 时,y′>0. ∴当 x=1 000 时,y 取得极小值,也是最小值. 因此,要使平均成本最低,应生产 1 000 件产品. (2)设利润为 L(x),则 x ? ? x L(x)=500x-?25 000+200x+40?=300x-25 000-40, ? ?
9 2 2

x L′(x)=300-20. 令 L′(x)=0,得 x=6 000. 当 x<6 000 时,L′(x)>0;当 x>6 000 时,L′(x)<0, ∴当 x=6 000 时,L(x)取得极大值,也是最大值. 因此,要使利润最大,应生产 6 000 件产品. a-2 1 1 21.(12 分)已知函数 f(x)=3x3+ 2 x2-2ax-3,g(a)=6a3+5a -7. (1)a=1 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)在区间[-2,0]上不单调,且 x∈[-2,0]时,不等式 f(x)<g(a)恒成立,求实数 a 的取值范围. 解 1 1 (1)当 a=1 时,f(x)=3x3-2x2-2x-3,

定义域为 R, f′(x)=x2-x-2=(x-2)(x+1). 令 f′(x)>0,得 x<-1,或 x>2. 所以函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(2,+∞). (2)f′(x)=x2+(a-2)x-2a=(x+a)(x-2). 令 f′(x)=0,得 x=2,或 x=-a. ∵函数 f(x)在区间[-2,0]上不单调, ∴-a∈(-2,0),即 0<a<2. 又∵在(-2,-a)上,f′(x)>0, 在(-a,0)上,f′(x)<0, 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: x -2 (-2,-a) -a (-a,0) 0

10

f′(x) f (x ) f(-2)

+ 单调递增

0

- f(0)

极大值 单调递减

∴f(x)在[-2,0]上有唯一的极大值点 x=-a. ∴f(x)在[-2,0]上的最大值为 f(-a). ∴当 x∈[-2,0]时,不等式 f(x)<g(a)恒成立,等价于 f(-a)<g(a). a-2 1 ∴-3a3+ 2 ×a2+2a2-3<g(a). 1 1 ∴6a3+a2-3<6a3+5a-7. ∴a2-5a+4<0,解得 1<a<4. 综上所述,a 的取值范围是(1,2). 1 22.(12 分)已知函数 f(x)=2x2-alnx(a∈R). (1)求 f(x)的单调区间; 1 2 (2)当 x>1 时,2x2+lnx<3x3 是否恒成立,并说明理由. 解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),

a 由题意得 f′(x)=x-x(x>0), ∴当 a≤0 时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
2 a x -a 当 a>0 时,f′(x)=x-x= x



?x- a??x+ a? . x

∴当 0<x< a时,f′(x)<0, 当 x> a时,f′(x)>0. ∴当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为( a,+∞),单调递减 区间为(0, a).
11

2 1 (2)设 g(x)=3x3-2x2-lnx(x>1) 1 则 g′(x)=2x2-x-x. ?x-1??2x2+x+1? ∵当 x>1 时,g′(x)= >0, x ∴g(x)在(1,+∞)上是增函数. 1 ∴g(x)>g(1)=6>0. 2 1 即3x3-2x2-lnx>0, 1 2 ∴2x2+lnx<3x3, 1 2 故当 x>1 时,2x2+lnx<3x3 恒成立.

12


更多相关文档:

自动控制原理 吴怀宇 课后习题 第三章

自动控制原理 吴怀宇 课后习题 第三章_工学_高等教育_教育专区。自动控制原理 吴怀宇 课后习题 第三章 第三章 3-1 已知系统脉冲响应 k (t ) ? 0.0125e?...

操作系统第三版第三章习题答案

操作系统第三版第三章习题答案_理学_高等教育_教育专区。第三章 处理机调与死锁 102260010065 黄兰 10 计科 3 班 P114 5.试说明低级调度的主要功能 答: (1...

普通化学第三章习题

普通化学第三章习题_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 普通化学第三章习题_理学_高等教育_教育专区。今日推荐 ...

大学物理第三章题目答案

第三章 3.10 平板中央开一小孔,质量为 m 的小球用细线系住,细线穿过小孔后挂一质量为 M 1 的 重物. 小球作匀速圆周运动, 当半径为 r0 时重物达到平衡. ...

组合数学第四版卢开澄标准答案-第三章

组合数学第四版卢开澄标准答案-第三章_理学_高等教育_教育专区。官方标准答案第三章 3.12.一年级有 100 名学生参加中文,英语和数学的考试,其中 92 人通过中文考...

八年级上科学第三章复习提纲

八年级上科学第三章复习提纲八年级上科学第三章复习提纲隐藏>> 杭师大东城实验学校 八年级上科学复习提纲 第三章《生命活动的调节》复习提纲班级___姓名___ 第...

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第三章习题详解

第三章习题 3-1 1. 设 s= 1 2 ds gt ,求 2 dt t =2 . 解: ds s (t ) ? s (2) = lim = lim 2 t →2 t →2 dt t = 2 t?2 1...

人教版高一化学第三章知识点总结

人​教​版​高​一​化​学​第​三​章​知​识​点​总​结§3.1 最简单的有机化合物---甲烷 有机化合物: (有机物) 含碳元素...

计算机网络第三章习题答案

第三章 数据链路层 3-01 数据链路(即逻辑链路)与链路(即物理链路)有何区别? “电路接通了”与”数 据链路接通了”的区别何在? 答:数据链路与链路的区别在于...

应用回归分析 第三章课后习题整理

应​用​回​归​分​析​ ​ ​第​三​章​课​后​习​题​整​理 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com