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第3讲:数函专题(一)


只要我们每天多一点点努力,多一点点自律,并付诸于行动,那么我们将逐步走向成功。

2015 年高考数学考点复习讲义
第3讲
考纲定位
一.函数概念与基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数) (1)函数
① 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。 ② 在实际情境中,会根据不同的需要选择适当的

方法(如图像法、列表法、解析法) 表示函数。 ③ 了解简单的分段函数,并能简单应用。 ④ 理解函数的单调性、最大(小)值以及几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性 的含义。 ⑤ 会运用函数图象理解和研究函数的性质。 (2)指数函数 ① 了解指数函数模型的实际背景。 ② 理解有理数指数幂的含义,了解实数幂的意义,掌握幂的运算。 ③ 理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点。 (3)对数函数 ① 理解对数函数的概念以及运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数 或常用对数;了解对数在简化运算中的作用。 ② 理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点。 ③了解指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? loga x 互为反函数( a ? 0, a ? 1 ) (4)幂函数 ① 了解幂函数的概念。 ② 结合函数 y ? x, y ? x , y ? x , y ?
2 3

函数专题(一)

(5)函数与方程 在性及根的个数。

1 , y ? x 2 的图像,了解它们的变化情况。 x

1

① 结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存 ② 根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解。 (6)函数模型及其应用 ① 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数 增长等不同函数 类型增长的含义 ②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用 的函数模型)的广泛应用。

1

只要我们每天多一点点努力,多一点点自律,并付诸于行动,那么我们将逐步走向成功。

二、历年情况
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 题号 3、5、12、21 4、17 4、8、21 2、3、20、21 4、10、12、19 4、11、21 2、12、21 8,10,11,21 分值 29 17 24 34 29 24 24 29 比例 19.3% 11.3% 16% 22.7% 19.3% 16% 16% 19.3% 难易 较难 中等 较难 较难 较难 较难 较难 较难 备注 函数的性质、图像、导数、零点 极值点、函数与导数应用题 反函数、导数与单调性、极值、零点 函数定义域、性质、解析式,抽象函数、导数应用 函数定义域、性质、应用,导数与单调性 函数定义域、性质,函数与导数应用、极值点 函数定义域、函数与导数应用、单调性、最值 函数的性质、应用,导数与单调性

三.函数框架
指数函数 对数函数

函数的表示法 函数的三要素 基本初等函数: 幂函数 ; 二次函数 指数函数; 对数函数

映射

函数

函数的性质 反函数 初等函数

函数的应用

考点一、函数的有关概念
函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集 合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值 范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A } 叫做函数的值域.

2



只要我们每天多一点点努力,多一点点自律,并付诸于行动,那么我们将逐步走向成功。

函数的概念概括:一对一或多对一
2 如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这 注意:○ 3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 个式子有意义的实数的集合;○

例 1.下列图形中,不可能作为函数 y ? f ? x ? 图象的是( )

变式训练. (1)设集合 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的 4 个图形中,能表示集 合 M 到集合 N 的函数关系的有( )

A.①②③④ C.②③

B.①②③ D.②

(2) 、设集合 A ? {x | 0 ? x ? 2}, B ? { y | 1 ? y ? 2} ,在下图中能表示从集合 A 到集合 B 的映射的是( y 2 1 O
A

) y 2 1 2 1 2
B

y

y 2 1 2
C

2

x

O

x

O

x
D

2 x

(3) .下列四个图形中,不是 以 x 为自变量的函数的图象是 ( ..

)

y
O

y

y

y

O
(A)

x

x
O
(C)

x

O
(D)

x

(B)

3

只要我们每天多一点点努力,多一点点自律,并付诸于行动,那么我们将逐步走向成功。

题型1:如何求函数定义域
函数的定义域:即是指能使这个式子有意义的前提下x的取值范围; 模块一: 平面向量的线性运

算 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域, 求函数的定义域时列不等式组的主要 依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必 须大于零; (4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通 模块一: 平面向量的线性运 过四则运算结合而成的 .那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指 算 数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 模块一: 平面向量的线性运 例 1 求下列函数的定义域:

?1?



f ? x? ?

1 ; ? 2? x?2

f ? x ? ? 3x ? 2 ; ? 3?

f ? x? ? x ?1 ?

1 2? x

变式训练.函数 y ? 2x ?1 ? 3 ? 4x 的定义域为( A

) D

1 3 (? , ) 2 4

B

1 3 [? , ] 2 4

C

1 3 (??, ] ? [ ,??) 2 4


1 (? ,0) ? (0,??) 2

例 2.函数 y ?

( x ? 1)0 x ?x

的定义域是( B、?x x ? 0?

A、?x x ? 0?

C、?x x ? 0且x ? ?1?

D、?x x ? 0且x ? ?1?

变式训练. (1)函数 f ? x ? ?

x 的定义域是( x ?3

) D. 以上都不对

A. x ? 3

B. x ? 0

C. 0 ? x ? 3 或 x>3

题型2:如何求函数解析式
x2 1 1 1 ,则 f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =____________ 模块一:平面向量的线性运 1 ? x2 2 3 4
例 3.函数 f ( x ) ?



变式训练.函数 f ? x ? ?

x ,则 x ?1
2

?1? f ? ? 等于( ? x?
C. y ?

)

模块一:平面向量的线性运 A. y ? f ? x ? B. y ? ? f ? x ? 算 模块一:平面向量的线性运 算
4

1 f ? x?

只要我们每天多一点点努力,多一点点自律,并付诸于行动,那么我们将逐步走向成功。

例 4、若函数 f ( x )满足 f ( x + 1) = x2-2x,则 f ( 2 ) = 变式训练: 若 f ?x ? 1? ? x 2 ? 5x ? 6, 则 f ?x ? 1? =_________________ 例 5.已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是{1,2,3},其定义如下表: x f(x) 1 2 2 3 1 3 1 2 3 x g(x) 1 1 2 3 3 2

x g[f(x)]

填写前面表格,其三个数依次为:____________.

变式训练:已知函数 f ( x ) , g ( x) 分别由下表给出

x
f ( x)

1 1

2 1

3 2 .

x
g ( x)

1 2

2 3

3 1

则 f [ g (2)] 的值为

题型 3:如何判断两个函数是否为同一函数
例 6.下列函数中哪一个与函数 y ? x 是同一个函数?

模块一:平面向量的线性运算 2
(1) y ?

模块一:平面向量的线性运算 模块一:平面向量的线性运算

? x ? ;(2)

y ? 3 x3 ;(3) y ? x 2 .

变式训练.判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由? ① f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1 ③ f ( x ) = x 2;f ( x ) = (x + 1) 2 ② f ( x ) = x; g ( x ) = ④ f ( x ) = | x | ;g ( x ) =

x2 x2

5

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题型 4:分段函数

模块一:平面向量 ? ? x2 , x ? 0 的线性运算
例 7、已知函数 f ( x) ? ?1, x ? 0

?

? 1 模块一:平面向量 ?? , x ? 0 的线性运算 ? x

求 f (1) , f (?1) , f [ f (?1)] 的值

变式训练:

?3x ? 2, x ? 1 (1).(2010 广东)已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f [ f (0)] ? 4a ,则实数 a= ? x ? ax, x ≥1
? x ? 1, ( x ? 0) (2).设 f ( x ) ? ? ?? , ( x ? 0) ,则 f { f [ f (?1)]} ? ( ?0, ( x ? 0) ?
A. ? ? 1 B.0 C. ?

) D. ? 1

(3)、设函数 f ( x) ? ?

? x ? 3,( x ? 10) ,则 f (5) =______________ ? f ( f ( x ? 5)),( x ? 10)

?x2+4x,x≥0, ? 例 8、已知函数 f(x)=? 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是( 2 ? 4 x - x , x <0. ?

)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

变式训练. (1)设 f ( x) ? ? A
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? x ? 2, ( x ? 10) 则 f (5) 的值为( ? f [ f ( x ? 6)],( x ? 10)
C
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B

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D

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(2)设函数 f ( x) ? ?

? x ? 2, ( x ? 2)
2

?2 x, ( x ? 2)

,若 f ( x0 ) ? 8 ,求 x0 =

?1 ? x ? 1, x ? 0 (3)已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f (a) ? a ,则 a 取值范围为___________ ?? x 2, x ? 0 ?
x ?1 ? x?2 ? 2e , (4) 、设 f ( x) ? ? ,则 f ( f (2)) 的值为( 2 log x ? 1 , x ? 2 ? ? ? ? 3 A. 0 B. 1 C. 2

) D. 3

6

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?2? x ? 1, x ? 0, ? 若f ( x0 ) ? 1 ,则 x 0 的取值范围是( (5)设函数 f ( x) ? ? 1 2 ? x?0 ?x , A. (?1,1) B. (-1,??)
C. (??,?2) ? (0,??) D. (??,?1) ? (1,??)



(6) 、函数 y=x+

x x

的图象是下图中的(



考点二:函数单调性
1. 增函数与减函数 一般地,设函数 f ? x ? 的定义域为 I : 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , x2 , 当 x1 ? x2 时 , 都有

y1 ? f ? x1 ? ? y2 ? f ? x2 ? .这时我们就说函数 f ? x ? 在区间 I 上是增函数(图(1)).
如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , x2 , 当 x1 ? x2 时 , 都有

y1 ? f ? x1 ? ? y2 ? f ? x2 ? .这时我们就说函数 f ? x ? 在区间 I 上是减函数(图(2)).

2. 单调性与单调区间 若函数 y ? f ( x) 在某个区间是增函数或减函数, 则就说函数 f ( x) 在这一区间具有单调 性,这一区间叫做函数 f ( x) 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 注:在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的.

3.判断函数单调性的方法步骤(略):利用求导方法

7

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题型 1、一次函数的单调性 模块一: 平面向量的线性运 重要性质: y=kx+b 若 k〉0 时 图像是增函数 算
若 k〈0 时 图像是减函数

模块一: 平面向量的线性运 算
例 1.函数 y ? (2k +1) x ? b 在 R 上是减函数,则( ) D. k <- 1 2

模块一: 平面向量的线性运 1 1 1 算 k> A. B. k < C. k >-
2 2 2

变式训练.函数 y=-(k-3)x-8 在 R 上是增函数,则 K 满足

题型 2:巧妙利用单调性求范围 ‘ 模块一:平面向量的线性运算 例 2.已知 f ( x) 是定义在 [ ?1,1] 上的增函数,且 f ( x ? 2) ? f (1 ? x) ,则 x 的取值范围
为 。 模块一:平面向量的线性运算

模块一:平面向量的线性运算
的取值范围为( A. m>0 )

变式训练:已知函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ,实数 m
3 2 ?
D.

0<m<
B.

C. -1<m<3

1 3 ?m? 2 2

题型 3: 单调性与二次函数的结合
2 模块一:平面向量的线性运算 例 3.已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2, x ???5,5? ,若 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数 .

模块一:平面向量的线性运算
变式训练: 模块一:平面向量的线性运算

则实数 a 的取值范围



(1) .函数 f ( x) ? x2 ? 2kx ? k 在区间 [0,1] 上的最小值为 A、

1 ,则 k 是( 4

) D、不确定

1 4

B、

3 4

C、

1 2

8

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(2) . 函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在 (??,4) 上是增函数, 则实数 a 的范围是 ( A. a ≥ 5 B. a ≥ 3 ) C. [3, ??) D. (??, 3] C. a ≤ 3 D. a ≤ ? 5



(4).函数 y ? x 2 ? 6 x ? 4 的减区间是( A. (??, 2] B. [2, ??)

高考强化练习:

1.在(0,2)内是增函数的是( A. y ?
2 x



B. y ? x2 ? 3x ? 1
)

?1? C. y ? ? ? ?? ?

x

D. y ? x

2.下列函数中,在 (??, 0) 上为增函数的是 (

A. y ? 1 ? x2

B. y ?

1 1? x

C. y ? x2 ? 2x
) C. y ?

D. y ?

x x ?1

3.下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( A. y ? x B. y ? 3 ? x

4.已知函数 f ( x) 在(-∞,+∞)上是增函数, a , b ∈R,且 a ? b ? 0 ,则有( A. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) C. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b)

1 x

D. y ? ? x 2 ? 4 )

5.已知函数 f(x) = x2+2(a-1)x+2 的递减区间是 (-∞,4 ] ,则实数 a 的取值范围 是 .
6.函数 f(x)=ax,a>0,则必有( ) A.f(a)<f(-a) B.f(a)+f(-a)=0 C.f(a)>f(-a) D.f(a)=f(a+1)

考点三:函数的奇偶性
偶函数:
一般地,如果函数 f ? x ? 的定义域关于原点对称,且对于其定义域中的每一个 x ,都有

f ? ?x ? ? f ? x ? ,那么称函数 y ? f ? x ? 为偶函数.

9

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奇函数:

一般地,如果函数 f ? x ? 的定义域关于原点对称,且对于其定义域中的每一个 x ,都有

f ? ?x ? ? ? f ? x ? ,那么称函数 y ? f ? x ? 为奇函数.

偶函数的性质:①f(x)-f(-x)=0 ②图像关于 y 轴对称

题型 1:如何区别函数的奇偶性 模块一:平面向量的线性运算 例 1.判断下列函数是否具有奇偶性.

奇函数的性质: ①f(x)+f(-x)=0 ②图像关于原点对称 ③若 x=0 处有意义, 即 f(0)=0

模块一:平面向量的线性运算 ?1? f ? x ? ? x ? x3; ? 2 ? f ? x ? ? 3 x6 ; ?3? f ? x? ? x ? x3; (4) 模块一:平面向量的线性运算

?1 2 x ? 1 ( x ? 0) ? ?2 g ( x) ? ? ?? 1 x 2 ? 1 ( x ? 0) ? ? 2

变式训练:1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1
3

)

1 B.y=x3 C.y= x )

D.y=-x|x|

2.函数 y ? 3x ? x 的图象(

A. 关于原点对称 A. 关于原点对称

B. 关于 x 轴对称 B. 关于 x 轴对称

C. 关于 y 轴对称 C. 关于 y 轴对称

D. 关于 y ? x 对称 D. 关于 y ? x 对称

题型 2:利用奇偶性求函数解析式
特例:y=kx+b 是奇函数,即 b= 模块一:平面向量的线性运算 ; y?
10

ax

2

? bx ? c 是偶函数, 即 b=

模块一:平面向量的线性运算 模块一:平面向量的线性运算

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例 2.已知奇函数 f ? x ? ? 3ax3 ? 4bx ? 3a ? b 的定义域为 [2a ? 6, a] ,求 f ? x ? 的解析式.

变式训练 1.已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? (m 2 ? 7m ? 12) 为偶函数,则 m 的值 是___ 2、若函数 f ( x) ? (k ? 2) x2 ? (k ?1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x) 的递减区间是 3.定义在 (?1,1) 上的奇函数 f ( x) ?

x?m ,则常数 m ? ____, n ? _____ x ? nx ? 1
2

例 3.已知 y ? f ( x) 是偶函数, y ? g ( x) 是奇函数,它们的定义域均为 [?3, 3] ,且它们在

x ?[0, 3] 上的图象如图所示,解不等式

f ( x) ?0。 y g ( x)
O 1 2

y ? g ( x) y ? f ( x)
3

x

变式训练.奇函数 f ( x) 在 (??, 0) 上单调递增,若 f ( ?1) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 的解集是( A. (??, ?1) C. (?1 , 0)



(0,1) (0 , 1)

B. (??, ?1) D. (?1 , 0)

(1, ??) (1 , ? ?)

2 例 4.已知函数 y ? f ( x) 在 R 是奇函数, 且当 x ? 0 时,f ( x) ? x ? 2 x , 则 x ? 0 时,f ( x)

的解析式为____

__________
2

变式训练.已知函数 f(x),当 x<0 时,f(x)=x +2x-1,若 f(x)为 R 上的奇函数,则函数在 R 上的的解析式为______________________ 例 5.设 f(x)=ax +bx+5,已知 f(-2)=-10,求 f(2)的值____________
7

变式训练、已知 f ( x) ? ax3 ? bx , f (?9) ? 1 ,则 f (9) =

11

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例 6.若 f ?x ? 是奇函数,且在区间 ?? ?,0? 上是单调增函数,又 f (2) ? 0 ,则

xf ( x) ? 0 的解集为
变式训练、设奇函数 f(x)的定义域为[?5,5].若当 x∈ [0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式 f(x)<0 的解集是 .

例 7.设 f ?x ? 为定义在 ?? ?,??? 上的偶函数, 且 f ?x ? 在 ?0,??? 上为增函数, 则 f ?? 2? ,f ?? ? ? ,

f ?3? 的大小顺序是____________

变式训练 1. 函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0) 是奇函数,则函数 g ( x) ? ax2 ? bx ? c 是 ( )A、奇函数 B、偶函数 C、奇函数且偶函数 D、非奇非偶函数

2. 函数 f(x)是定义在区间[-5,5]上的偶函数,且 f(1)<f(3),则下列各式一定成立的 是( ) B、f (3) < f (2)
f ( x)

A、f (0) > f (5)

C、f (-1) > f (3)

D、f (-2) > f(1) ,有

3. 定 义 在 R 上 的 偶 函 数

满足:对任意的

x1 , x2 ? [0, ??)( x1 ? x2 )

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则( x2 ? x1
(A) (C)
f (3) ? f ( ?2) ? f (1) f (?2) ? f (1) ? f (3)

) (B) (D)
f (1) ? f (?2) ? f (3) f (3) ? f (1) ? f (?2)

? 4. 20.设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=2x+1,则 f? ?2?=
________.

3

5.

21.若函数 f(x)=

x 为奇函数,则 a=________. (2 x ? 1)(x ? a)

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