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函数y=Asin(ωx φ)的图像


新洲三中

(一).探究ψ对y=sin(x+ψ), X∈R的图像的影响

1.若y=sinx的图像过点(a,b), (a-π/3, b) 则y=sin(x+π/3)的图像过点 , y=sin(x-π/4)的图像过点(a+π/4, b) 。 这三个点有什么关系?
点向左右横向平移

2.三个函数的周期和值域分

别是多少?

例1: y=sin(x+π/3)及y=sin(x-π/4)的 作函数
简图

用什么方法作函数y=sin(x+π/3) 及y=sin(x-π/4)的简图?有哪几 个步骤?

例1
x+
X
?
3

画出函数 Y=Sin (X+ 3 ),X∈R ? Y=Sin(X) ,X∈R 的简图。 4
0 -π/3 0 0 π/4 0 π/2 π/6 1 π/2 3π/4 1 π 2π/3 0 π 5π/4 0 3π/2 7π/6 -1 3π/2 7π/4 -1 2π 5π/3 0 2π 9π/4 0

?

Sin(X+ 3) x- ? 4

?

X

Sin(X- 4)

?

1
? ? 2

Y
7? 6

3? 2
5? 4

7? 4

9? 4
2?

X

? ? 3

O

? ? ? 2? 3? ? 6 4 2 3 4

5? 3

-1

函数
y=sin(x+π/3)

与y=sinx的图像的关系
(各点)沿x轴方向向左 平移π /3 个单位

y=sin(x-π/4)

(各点)沿x轴方向向右 平移π /4 个单位
1.当ψ>0时,各点沿x轴方向向左 平移 | ψ |个单位 2.当ψ<0时,各点沿x轴方向 向右 平移 |ψ|个单位

y=sin(x+ψ) (ψ≠0)

思考:左右平移改变了φ的值,对A,?的值有没有影响?

(二). 探究ω (ω >0)对 y=Asin(ωx+φ)的图像的影响

1.若y=sinx的图像过点(a,b), (a/2, b) 则y=sin2x的图像过点 , y=sin(x/2)的图像过点(2a, b) 。 这三个点有什么关系?
纵坐标不变,横坐标伸长或缩短

2.三个函数的周期和值域分别是多少?

例2
2X X Sin2X 0.5X

画出函数 Y=Sin2X,X∈R Y=Sin0.5X,X∈R 的简图。
0 0 0 0 π/2 π/4 1 π/2 π π/2 0 π 3π/2 3π/4 -1 3π/2 2π π 0 2π

X
Sin0.5X

0
0

π
1


0


-1


0

1 O -1

Y X
? 4 ? 2
3? 4
?

3? 2

2?

3?

4?

Y=Sin2X

Y=SinX

Y=Sin0.5X

函数 y=sin2x y=sin(x/2) y=sinωx (ω>0且 ω≠1)

与y=sinx的图像的关系
各点横坐标缩短到原来的1/2倍
(纵坐标不变)

各点横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标不变)
1.ω>1时,各点横坐标缩短到原来的1/ω倍 2.0<ω<1时,各点横坐标伸长到原来的1/ω倍 (纵坐标不变)

思考:横向伸缩改变了?的值,对A,φ的值有没有影响?

?(三). 探究A(A>0)对 y=Asin(ωx+ψ) , X∈R的 图像的影响

1.若y=sinx的图像过点(a,b), 则y=2sinx的图像过点 (a,2b) , y=1/2sinx的图像过点(a, b/2) 。 这三个点有什么关系?
横坐标不变,纵坐标伸长或缩短

2.三个函数的周期和值域分别是多少?

例3
x Sin X 2Sin X

画出函数 Y=2 SinX,X∈R

Y=1/2 SinX,X∈R 的简图。
0 0 0 0 π/2 1 2 1/2 π 0 0 0 3π/2 -1 -2 -1/2 2π 0 0 0

1/2sinx

2 这两个函数的 周期都是2π , 我们先画出它们 在[0, 2π]上的简图。 1
0.5 -0.5

Y

X
? 2
?

O

3? 2

2?

-1 -2

结论: 由以上观察可知,对于同一个x
值,y=2sinx的图像上点的纵坐标等于 y=sinx的图像上点的纵坐标的2倍.因 此,y=2sinx的图像可以看作是把y=sinx 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变)而得到的.

y=2sinx,x∈R的值域是: [-2,2]
最大值是: 2
最小值是: -2

类似地,y=1/2sinx的图像可以看作是 把y=sinx的图像上所有点的纵坐标缩短 到原来的1/2倍(横坐标不变)而得到的.

y=1/2sinx,x∈R的值域是: [-1/2,1/2] 最大值是: 1/2 最小值是: -1/2

结论: 一般地,函数y=Asinx(A>0且
A≠1)的图像可以看作是把y=sinx的 图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1 时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A
倍(横坐标不变)而得到的.
y=Asinx,x∈R的值域是: 最大值是:

[-A,A]

A
-A

最小值是:

函数 y=2sinx

与y=sinx的图像的关系
各点纵坐标伸长为原来的2倍 (横坐标不变)

y=1/2sinx
y=Asinx
(A>0且A≠1)

各点纵坐标缩短为原来的1/2倍 (横坐标不变)
伸长 为原来的A倍 1.A>1时,各点纵坐标 2.0<A<1时,各点纵坐标缩短 为原来的A倍 (横坐标不变)

思考:纵向伸缩改变了A的值,对?,φ的值有没有影响?

变换方法:先平移后伸缩
函数 y=Sinx
(1)向左(? >0)或向右(? <0) 平移| ? |个单位

y=Sin(x+ ? ) 的图象

(2)横坐标缩短(? >1)或伸长(0<?<1) 到原来 倍,(纵坐标不变) ?
1

y=Sin(? x+ ? ) 的图象

(3)纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)

y=ASin(?x+ ? )的图象

到原来的A倍(横坐标不变)

用两种方法(五点作图法和变换关系) 作函数y=3sin(2x+π/3),x∈[π/6, 5π/6]的图象。

周期:

T=2π/2=π

值域: [-3,3]

x
2x+π /3 3sin(2x+π /3)

-π /6 0

π /12 π /2

π /3 π

7π /12 5π /6 3π /2 -3 2π

0
(π /12,3)

3

0

0

描点、连线

(π /3,0) (-π /6,0) O (5π /6,0)

(7π /12,-3)

方法2:先平移后伸缩
函数 y=Sinx 象
(1)向左平移π/3个单位

y=Sin(x+ π/3 ) 的图

(2)横坐标缩短到原来 1/2 倍,

y=Sin(2 x+ π/3 ) 的图象
(纵坐标不变)

(3)纵坐标伸长到原来的3倍

y=3Sin(2 x+ π/3 )的图象

(横坐标不变)

先平移后伸缩演示 y
3

? y=3sin(2x+ )③ 3

2
1

y=sinx ?
? 3
5? 6

o
?

5? 3

2?

? ? ? 6 3

x

-1

-2 -3

? y=sin(x+ )① 3 ? y=sin(2x + )② 3

作正弦型函数y=Asin(?x+?) 的图象的方法:
(1)用“五点法”作图 (2)利用变换关系作图

作业:P57 习题1.5A组 1、2(4)


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