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一元二次方程应用题经典题型汇总


一元二次方程应用题经典题型汇总
同学们知道,学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生 活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔, 事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已 知的条件和未知问题, 必要时可以通过画图、 列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的

关系, 找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答 .现就 列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目,举例说明 . 一、增长率问题 例1 恒利商厦九月份的销售额为 200 万元,十月份的销售额下降了 20%,商厦从十一月份

起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了 193.6 万元,求这两个月 的平均增长率. 解

说明

这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个

数据的意义,即可利用公式 m(1+x)2=n 求解,其中 m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等 下降后,则有公式 m(1-x)2=n 即可求解,其中 m>n. 二、商品定价 例2 益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价

a 元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过 20%,商店计划要盈利 400 元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解

说明

商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点 .

三、储蓄问题 例3 王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本

金和利息取出,并将其中的 500 元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款 的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90%,这样到期后,可得本金和利息共 530 元,求第一 次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解

说明

这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税.

四、趣味问题 例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽 4 米,旁边一

个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高 2 米,二人没办法, 只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知 道竹竿有多长吗? 解

说明

求解本题开始时好象无从下笔,但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等量关系,

列出方程求解. 五、古诗问题 例5 读诗词解题:(通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄) .

大江东去浪淘尽,千古风流数人物; 而立之年督东吴,早逝英年两位数; 十位恰小个位三,个位平方与寿符; 哪位学子算得快,多少年华属周瑜? 解

说明 口味.

本题虽然是一道古诗问题,但它涉及到数字和年龄问题,通过求解同学们应从中认真

六、象棋比赛 例6 象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记 2 分,输者记 0 分.

如果平局,两个选手各记 1 分,领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数,分别是 1979, 1980,1984,1985.经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加 . 解

说明 解.

类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些方法求

七、情景对话 例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图 1 对话中收费标准.

某单位组织员工去天水湾风景区旅游, 共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元.请问该单位这次共 有多少员工去天水湾风景区旅游? 解

说明

求解本题要时刻注意对话框中的数量关系,求得的解还要注意分类讨论,从中找出符

合题意的结论. 如果人数超过 25 人,每增加 1 人,人均旅游费用降低 20 元, 但人均旅游费用不得低于 700 元.

如果人数不超过 25 人, 人均旅游费用为 1000 元.

图1

八、等积变形 例8 将一块长 18 米,宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来

荒地面积的三分之二.(精确到 0.1m) (1)设计方案 1(如图 2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路 . (2)设计方案 2(如图 3)花园中每个角的扇形都相同 .

以上两种方案是否都能符合条件 ?若能,请计算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半径; 若不能符合条件,请说明理由 . 解

说明

等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式;其原则是形变积不变;或形

变积也变,但重量不变,等等.

B

www.czsx.com.cn

Q A C P www.czsx.com.cn 图4

图2

图3

九、动态几何问题 例9 如图 4 所示,在△ABC 中,∠C=90° ,AC=6cm,BC=8cm,点 P 从点 A 出发沿边 AC

向点 C 以 1cm/s 的速度移动,点 Q 从 C 点出发沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动. (1)如果 P、Q 同时出发,几秒钟后,可使△PCQ 的面积为 8 平方厘米? (2)点 P、Q 在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一 半.若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由 . 解

说明

本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据路程=

速度×时间. 十、梯子问题 例 10 一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角 6m.

(1)若梯子的顶端下滑 1m,求梯子的底端水平滑动多少米? (2)若梯子的底端水平向外滑动 1m,梯子的顶端滑动多少米? (3)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米? 解

说明

求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动,梯子始终与墙上、地面构成直角三角形 .

十一、航海问题 例 11 如图 5 所示, 我海军基地位于 A 处, 在其正南

A D

方向 200 重要目标 F 位于 BC

海里处有一重要目标 B,在 B 的正东方向 200 海里处有一 C,小岛 D 恰好位于 AC 的中点,岛上有一补给码头;小岛 上且恰好处于小岛 D 的正南方向,一艘军舰从 A 出发,经 速巡航.一艘补给船同时从 D 出发,沿南偏西方向匀速直 欲将一批物品送往军舰 . (1)小岛 D 和小岛 F 相距多少海里?

C F B E www.czsx.com.cn 图5

B到C匀 线航行,

(2)已知军舰的速度是补给船的 2 倍,军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处,那么 相遇时补给船航行了多少海里?(精确到 0.1 海里) 解

说明

求解本题时,一定要认真地分析题意,及时发现题目中的等量关系,并能从图形中寻

找直角三角形,以便正确运用勾股定理布列一元二次方程 . 十二、图表信息 例 12 如图 6 所示,正方形 ABCD 的边长为 12,划分成 12×12 个小正方形格,将边长为 n

(n 为整数,且 2≤n≤11)的黑白两色正方形纸片按图中的方式,黑白相间地摆放,第一张 n×n 的纸片正好盖住正方形 ABCD 左上角的 n×n 个小正方形格,第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰 好为(n-1)×(n-1)个小正方形.如此摆放下去,直到纸片盖住正方形 ABCD 的右下角为止. 请你认真观察思考后回答下列问题: (1)由于正方形纸片边长 n 的取值不同,? 完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同,请 填写下表: 纸片的边长 n 使用的纸片张数 2 3 4 5 6

(2)设正方形 ABCD 被纸片盖住的面积(重合部分只计一次)为 S1,未被盖住的面积为 S2. ①当 n=2 时,求 S1∶S2 的值; ②是否存在使得 S1=S2 的 n 值?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由 .



图6

说明

求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表,及时挖掘其中的隐含条件,对于求解

第(3)小题,可以先假定问题的存在,进而构造一元二次方程,看得到的一元二次方程是否有 实数根来加以判断. 十三、探索在在问题 例 13 将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.

(1)要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少 ? (2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm2 吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明 理由. 解

说明

本题的第(2)小问也可以运用求根公式中的 b2-4ac 来判定.若 b2-4ac≥0,方程有

两个实数根,若 b2-4ac<0,方程没有实数根,本题中的 b2-4ac=-16<0 即无解. 十四、平分几何图形的周长与面积问题 例 14 如图 7,在等腰梯形 ABCD 中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点 E? 在下底边 BC 上,

点 F 在腰 AB 上. (1)若 EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长,设 BE 长为 x,试用含 x 的代数式表示△BEF 的面积; (2)是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时平分?若存在,求出此时 BE 的 长;若不存在,请说明理由; (3)是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成 1∶2 的两部分?若存在, 求此时 BE 的长;若不存在,请说明理由 . 解

A F

D

BG K E C www.czsx.com.cn 图7

说明

求解本题时应注意:一是要能正确确定 x 的取值范围;二是在求得 x2=5 时,并不属

于 7≤x≤10,应及时地舍去;三是处理第( 3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题 的存在性. 十五、利用图形探索规律 例 15 在如图 8 中,每个正方形有边长为 1 的小正方形组成:

图8

(1)观察图形,请填写下列表格: 正方形边长 黑色小正方形个数 1 3 5 7 ? ? n(奇数)

正方形边长 黑色小正方形个数

2

4

6

8

? ?

n(偶数)

(2)在边长为 n(n≥1)的正方形中,设黑色小正方形的个数为 P1,白色小正方形的个数 为 P2,问是否存在偶数 ..n,使 P2=5P1?若存在,请写出 n 的值;若不存在,请说明理由. 解

说明

本题的第(2)小问是属于存在性问题,求解时,可以先假设结论存在,进而从中找到

数量关系,使问题获解 . 综上所言,列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和 发展,列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型,然后通过解方程获得对实际问题的解 决.列一元二次方程解应用题的关键是:找出未知量与已知量之间的联系,从而将实际问题转化为 方程模型,要善于将普通语言转化为代数式,在审题时,要特别注意关键词语,如“多少、快、 慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等,此外,还要掌握一些常用的公式或特殊 的等量关系,如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等 .


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