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归纳推理与类比推理


归纳推理与类比推理
1.设平面内有 n 条直线(n≥3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用 则 f ( 4) = ; 当 n>4 时,f (n) = . f (n) 表示这 n 条直线交点的个数, (用 n 表示) 2.在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间, 某商场橱窗里用同样的乒乓球 堆成若干准“正三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,就一个乒乓球; 第 2、3、4、?堆最底层(第一层)分别按图 4 所示方式固定摆放.从第一 层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓 球,以 f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数,则 f (3) ? 3.将全体正整数排成一个三角形数阵:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ??????

; f ( n) ?

(答案用 n 表示).

按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 4.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式:
22 ? 1 ? 3 23 ? 3 ? 5 32 ? 1 ? 3 ? 5 33 ? 7 ? 9 ? 11 42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19

根据上述分解规律,则 53 ? _______,若 m3 (m ? N * ) 的分解中最小的数是 21 ,则 m 的值为______. 5.设 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 对于等比数列 ?an ? ,有命题 p : 若 S3 , S9 , S6 成等差数列,则 成等差数列.

a2 , a8 , a5 成等差数列成立;对于命题 q :若 Sm , Sn , Sl 成等差数列, 则
请将命题 q 补充完整,使它也是真命题.(只要一个符合要求的答案即可)

6.观察下列的图形中小正方形的个数,则第 6 个图中有_______个小正方形,第 n 个图中有 ________________个小正方形.

7.图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届 北京奥运会吉祥物“福娃迎迎” ,按同样的方式构造图形,设第 n 个图形 包含 f (n) 个“福娃迎迎” ,则 f (5) ? ;

f (n) ? f (n ? 1) ?

. (答案用数字或 n 的解析式表示

8.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面积比为 1:4,类似地,在空间内, 若两个正四面体的棱长的比为 1:2,则它们的体积比为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列.类比以上结论
1

有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 ,



T16 成等比数列. T12
1 1 1 ? 2 ? 2 ,由此类比:三棱锥 2 h a b

10.在 Rt?ABC 中,两直角边分别为 a 、 b ,设 h 为斜边上的高,则

S ? ABC 中的三条侧棱 SA 、 SB 、 SC 两两垂直,且长度分别为 a 、 b 、 c ,设棱锥底面 ABC 上的高

为 h ,则

. ;将这个结 .

11.边长为 a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值,这个定值等于 论推广到空间是:棱长为 a 的正四面体内任一点到各面距离之和等于

12.若点 O 在 ? ABC 内,则有结论 S?OBC ? OA ? S?OAC ? OB ? S?OAB ? OC ? 0 ,把命题类比推广到空间, 若点 O 在四面体 ABCD 内,则有结论:_____________________________. 13.设 P 是 ?ABC 内一点,?ABC 三边上的高分别为 hA 、hB 、hC ,P 到三边的距离依次为 la 、lb 、lc , 则有
la lb lc ? ? ? _________;类比到空间,设 P 是四面体 ABCD 内一点,四顶点到对面的距离分 hA hB hC

别是 hA 、 hB 、 hC 、 hD ,P 到这四个面的距离依次是 la 、 lb 、 lc 、 ld ,则有_________________。
B C 外接圆半径 r ? 14.在 Rt ?ABC 中, 若 ?C ? 900 , AC ? b, BC ? a , 则 ?A

a 2 ? b2 . 运用类比方法, 2


若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a, b, c ,则其外接球的半径 R =

15.在长方形中,设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是 ? , ? ,则有

cos2 ? ? cos2 ? ?

。类比到空间,在长方体中,一条对角线与从某一顶点出发的三条棱 。

所成的角分别是 ? , ? , ? ,则有正确的式子是

16.数列 {an } 的前 n 项和是 Sn ,若数列 {an } 的各项按如下规则排列:
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 , , , , , , , , , , 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 1 2 , , , n n , n ?1 , n

则 a15 ?

,若存在正整数 k ,使 Sk ? 10 , Sk ?1 ? 10 ,则 ak ?
n为 偶 数



? 1 a ? 1 ? 2 n 17.设数列{an}的首项 a1=a≠ ,且 an ?1 ? ? 4 ?a ? 1 n ? ? 4

, 记 bn ? a2 n ?1 ?
n为 奇 数

1 ,n==l,2, 4

3,?·. (I)求 a2,a3; (II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; 18.在数列 ?an ?与 ?bn ?中, a1 ? 1, b1 ? 4 ,数列 ?an ?的前 n 项和 S n 满足

nSn?1 ? ?n ? 3?S n ? 0 , 2a n ?1 为 bn 与 bn ?1 的等比中项, n ? N * .
(Ⅰ)求 a2 , b2 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ?与 ?bn ?的通项公式.
2


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