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2013届广东省湛江二模数学文科试题含答案


试卷类型:A

湛江市 2013 年普通高考测试题(二) 数学(文科)
本试卷共 4 页,共 21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡 上。 用 2B 铅笔将答题卡试卷类型(A)填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和 “座位 号”栏填写试室号、座位号,将相应的试室号、座位号信息点涂黑。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试卷上。 答案必须写在答题卡各题目指定区域内 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。 不按以上要求作答的答案无效。 4. 考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 锥体的体积公式: V 参考数据:
? 1 3 Sh

,其中 S 是底面面积,h 是高.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A= {x|x>1},B={x|x2

<4},则 A∩B = C. {X | x > 1} D. {X| 1 < x <

A. {X | x < 2} 2}

B. {x|-2<x<2}

2. 向量 a=(1,2) ,b=(0,2) ,则 a·b= A. 2 B (0,4) C.4 D.(1,4)

3. 如果命题“ ? ( p ? q ) ”是真命题,则 A.命题 p、q 均为假命题 C.命题 p、q 中至少有一个是真命题 B.命题 p、q 均为真命题 D.命题 p、q 中至多有一个是真命题

4. 下列函数中既是奇函数,又在(0,+ ? )上单调递增的是

A. y = x2
5、已知函数 f ( x ) ? ?
1 2

B. y = x3
?2   ( x ? 0)
x

C. y = -x
,那么 f [ f ( ) ] =
3 1

D. y = tanx

(x ? lo g 3 x     ? 0 )

A、2

B、

C、-2

D、-

1 2

6、若三条线段的长分别为 3、5、7,则用这三条线段 A、能组成直角三角形 C、能组成钝角三角形 B、能组成锐角三角形 D、不能组成三角形

7、一个几何体的三视图是三个边长为 1 的正方形和对角线,如图所示,则 此几何体的体积为 A、
1 6

B、

1 3

C、

5 6

D、 1

8. 运行如图的程序框图,输出的结果是

A. 510

B. 1022
2

C. 254

D. 256

9.函数 f(x)= (x-1)cosx 在区间[0,4]上的零点个数是

A. 4

B. 5

C. 6
n n ?1

D. 7
| n ? Z , n ? 0} ; { x ? R | x ? 0} ; ②

10、对集合 A,如果存在 x0 使得对任意正数 a,都存在 x ? A,使 0<|x-x0|<a,则 称 x0 为集合 A 的 “聚点” 给出下列四个集合: { , ① ③{
1 n | n ? Z , n ? 0 } ;④ Z 。

上述四个集合中,以 0 为聚点的集合是( A. ②③ B. ①② C. ①③

) D. ②④

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

(一)必做题(11?13 题)

11、已知 i 是虚数单位,则

2 1? i

=___
x
2

12、若抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点与双曲线
2

?

y

2

? 1 的右焦点重复,则 p=___

12

4

?x ? 2y ? 5 ? 0 ? 13、在圆 ( x ? 2 ) ? ( y ? 2 ) ? 4 内任取一点,则该点恰好在区域 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 内的概率 ?x ? 3 ?
2 2

为___ (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题)

14.(坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C 的参数方程是 ?
? x ? 2 ? 2 cos ? ? y ? 2 sin ?

( ? ? [ 0 , 2 ? ], ? 为参数),

若以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,则曲线 C 的极坐标方程是________. 15.( 几何证明选讲选做题) 如图,点 A、B、C 都在⊙ O 上,过点 C 的切线交 A B 的延长线于点 D , 若 AB = 5, BC = 3,CD = 6,则线段 AC 的长为_______ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 8 0 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.( 本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 3 s in x c o s x ? c o s 2 x (1)求 f (
?
6 ) 的值;

(2)设 x ? [ 0 ,

?
4

] ,求函数 f(x)的值域。

17.( 本小题满分 12 分) 某市甲、乙两校高二级学生分别有 1100 人和 1000 人,为了解两校全体高二级学生期末 统考的数学成绩情况,采用分层抽样方法从这两所学校共抽取 105 名高二学生的数学成绩,

并得到成绩频数分布表如下,规定考试成绩在[120,150]为优秀. 甲校:

乙校:

(1) 求表中 x 与 y 的值; (2) 由以上统计数据完成下面 2x2 列联表,问是否有 99%的把握认为学生数学成绩优秀与 所在学校有关?

18.( 本小题满分 14 分) 三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AB=BC=AC=AA1,CD⊥AC1,E、F 分别是 BB1、 CC1 中点。 (1)证明:平面 DEF∥平面 ABC; (2)证明:CD⊥平面 AEC1。

19.( 本小题满分 14 分)
2 已知函数 f(x)=x -2x+4,数列{ a n }是公差为 d 的等差数列,若 a 1 ? f ( d ? 1) ,

a 3 ? f ( d ? 1)

(1)求数列{ a n }的通项公式;

(2) S n 为{ a n }的前 n 项和,求证:

1 S1

?

1 S2

? ??? ?

1 Sn

?

1 3

20.( 本小题满分 14 分) 已知三角形 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(3,2) B(1,3) C(2,5) 为 BC 边上的 , , ,l 高所在直线。 (1)求直线 l 的方程; (2)直线 l 与椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 相交于 D、E 两点,△CDE 是以 C(2,5)为直角顶点的等腰

直角三角形,求该椭圆的方程。

21.( 本小题满分 1 4 分) 已知 a < 2 , 底) (1) 求 f(x)的单调区间;
f ( x ) ? x ? a ln x ? a ?1 x , g (x) ? 1 2 x
2

? e

x

? xe

x

.(注:e 是自然对数的

(2)若存在 x1∈[ e 求实数 a 的取值范围.

, e ],使得对任意的 x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,
2

湛江市 2013 年普通高考测试(二) 数学(文)参考答案
一、选择题 1、D 2、C 3、D 4、B 5、B 6、C 7、C(正方体截去一个三棱锥) 8、A 10、A 二、填空题 11、1-i 三、解答题 16、解: f ( x ) ? 2 3 s in x c o s x ? c o s 2 x = 3 s in 2 x ? c o s 2 x =2 s in ( 2 x ? (1) f (
?
6 ) =2 s in (

9、C

12、8

13、

1 2?

14、 ? ? 4 c o s ?

15、

9 2

?
6

)

2? 6

?

?
6

) =2

(2)因为 0 ? x ?

?
4

,所以

?
6

? 2x ?

?
6

?

2? 3

,所以 1≤2 s in ( 2 x ?

?
6

) ≤2

即函数 f(x)的值域为[1,2] 17、

18、 (1)证明:依题意,知 CA=CC1,又 CD⊥AC1,所以,D 为 AC1 的中点, 又 F 为 CC1 的中点,所以,DF∥AC,而 AC ? 平面 ABC,所以,DF∥平面 ABC, 同理可证:EF∥平面 ABC,又 DF ? EF=F,所以,平面 DEF∥平面 ABC;

(2)设 AB=2,则 DF=1,EF=2,∠DFE=60°,由余弦定理,求得:DE= 3 , 又 CD=
1 2 A C1 ? 2 ,CE=
5 ,所以,CD +DE =CE ,所以,CD⊥DE,
2 2 2

又 CD⊥AC1, A C 1 ? DE=D,所以,CD⊥平面 AEC1。 (此答案由邱金龙解答,仅供参考) 。
2 2 19、解: (1) a 1 ? f ( d ? 1) =d -4d+7, a 3 ? f ( d ? 1) =d +3,

又由 a 3 ? a 1 ? 2 d ,可得 d=2,所以, a 1 =3, a n =2n+1
n (3 ? 2 n ? 1) 2
1 S2 1 Sn 1 2 1 3

(2) S n =

? n(n ? 2) ,

1 Sn

?

1 n(n ? 2) 1 3 1 5

?

1 2

(

1 n 1 n

?

1 n ? 2 1 n ? 2

)

所以,
1 3

1 S1

?

? ??? ?

?

(1 ?

?

1 2

?

1 4

?

?

? ??? ?

?

)



(

?

1 n ?1

?

1 n? 2

)≥

1

(

3

?

1 1?1

?

1 1? 2

)=

1 3 1 2

2 2

2 2

20、解: (1) k B C ? 2 ,因为 l 为 BC 边上的高所在直线,所以, k l ? ? 直线 l 的方程为:y-2= ?
1 2



(x-3) ,即:x+2y-7=0

(2)过 C 作 CF⊥DE,依题意,知 F 为 DE 中点,直线 CF 可求得为:2x-y+1=0 联立两直线方程可求得:F(1,3) , 由椭圆方程与直线 CD 联立方程组,可得: ( a ? 4 b ) y ? 2 8 b y ? 4 9 b ? a b ? 0
2 2 2 2 2 2 2

y1 ? y 2 ?

2 8b
2

2 2

a ? 4b
2

? 6 ,即: b

2

?

3 2

a ,又 CF=

2

5 ,所以,DE=2

5

( x 2 ? x 1 ) ? ( y 2 ? y 1 ) =2
2

5 ,即

5 ( y 2 ? y1 )
2

2

=2 5 ,
2

2 所以, ( y 2 ? y 1 ) ? 4 y 1 y 2 =4,即 36-4

49b ? a b
2

a ? 4b
2

2

=4,解得: a ?
2

35 3

,b

2

?

35 2



x

2

所以,所求方程为: 3 5
3

?

y

2

35 2

?1

21、


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