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解三角形高考题


历届高考中的“解三角形”试题精选(自我测试)
一、选择题: (每小题 5 分,计 40 分)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8


1. 、已知△ABC 中,a= 2 ,b= 3 ,B=60°,那么角 A 等于( (A)135° (B)90° (C)45° (D)30° 2.、在 ?ABC 中, AB ? 3, A ? 450 , C ? 750 , 则 BC =( A. 3 ? 3 B. 2 C.2 D. 3 ? 3



3.、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A= (A)1 (B)2 (C) 3 —1 (D) 3
2 2 2

? ,a= 3 ,b=1,则 c=( 3

)

4.在中,角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,若 a ? c ? b ? 3ac ,则角 B 的值为( A.



? 6

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3
) (D)等腰直角三角形.

5.在△ ABC 中,若

a b c ,则△ ABC 是( ? ? cos A cos B cos C
(C)钝角三角形.

(A)直角三角形. (B)等边三角形.

6. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? ( ) A.

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

7.在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 8.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边.如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为 A. 1 ? 3
2

B. 1 ? 3

C. 2 ?
2

3 ,那么 b=( ) 2 3 D. 2 ? 3

二.填空题: (每小题 5 分,计 30 分) 9.在△ABC 中,AB=1, BC=2, B=60°,则 AC=



10.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,已知 a ? 3, b ? 3, c ? 30?, 则 A= . 11.在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则 ? B 的大小是___ __.

1

12. 在 △ ABC 中,若 tan A ?

1 , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? ________. 3

13. 在△ABC 中, 三个角 A, B, C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值为 .

14.在 ?ABC 中,若 ?A ? 120 , AB ? 5 , BC ? 7 ,则 ?ABC 的面积 S=_______ 三.解答题: (15、16 小题每题 12 分,其余各题每题 14 分,计 80 分) 15.在 △ ABC 中, cos A ? ? (Ⅰ)求 sin C 的值;

王新敞
奎屯

新疆

5 3 , cos B ? . 13 5 (Ⅱ)设 BC ? 5 ,求 △ ABC 的面积.

16.在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ; (2)若 CB ? CA ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

2

17、如图,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD 交 AC 于 E,AB=2。 (1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE。
D C E

A

B

18.在 ?ABC中,?B ? 45?, AC ? 10, cos C ? (1) BC ? ?

2 5 ,求 5 (2)若点 D是AB的中点,求中线CD的长度。

3

19.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a=2bsinA (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.

20.在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南 2 方向 300km 的海面 P 处,并以 20km/h 的速度向西偏北 45 ? 方向移动,台风侵 ? (cos ? ? ) 10 袭的范围为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大,问几小时后该城 市开始受到台风的侵袭? y O 海 岸 线

北 东 O

?
O

x

Q r(t ))

45 ?

P

4

历届高考中的“解三角形”试题精选(自我测试) 参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,计 40 分)

题号 答案

1 C

2 A

3 B

4 A

5 B

6 B

7 B

8 B

二.填空题: (每小题 5 分,计 30 分) 9. 3 ; 10. 30° ; .11. __ 60 _.
O

12.

10 ; 2

13.

61 2

; 14.

15 3 4

王新敞
奎屯

新疆

三.解答题: (15、16 小题每题 12 分,其余各题每题 14 分,计 80 分)

5 12 3 4 ,得 sin A ? ,由 cos B ? ,得 sin B ? . 13 13 5 5 16 所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? . 65 4 5? BC ? sin B 5 ? 13 . (Ⅱ)由正弦定理得 AC ? ? 12 sin A 3 13 1 1 13 16 8 ? . 所以 △ ABC 的面积 S ? ? BC ? AC ? sin C ? ? 5 ? ? 2 2 3 65 3
15.解: (Ⅰ)由 cos A ? ?

16.解: (1) 又

tan C ? 3 7, ?

sin C ?3 7 cos C
解得 cos C ? ?

1 . 8 1 tan C ? 0 ,? C 是锐角. ? cos C ? . 8 5 1 5 ? ab ? 20 . (2)∵ CB ? CA ? ,即 abcosC= ,又 cosC= 2 8 2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? 81 . ? a 2 ? b2 ? 41. 又 a?b ?9 ?c ? 6 . ?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 .

sin 2 C ? cos2 C ? 1

17.解: (Ⅰ)因为∠BCD ? 90 ? 60 ? 150 , CB ? AC ? CD ,所以∠CBE ? 15 . 所以 cos∠CBE ? cos(45 ? 30 ) ? (Ⅱ)在 △ ABE 中, AB ? 2 , AE 由正弦定理 ?
sin(45 ? 15 )

6? 2 . 4

D C E

2 . sin(90 ? 15 )

故 AE ?

2sin 30 cos15 ?

1 2? 2 ? 6? 2 6? 2 4

A

B

5

18.解: (1)由 cos C ?

2 5 5 得 sin C ? 5 5 2 3 10 sin A ? sin(180 ? 45 ? C ) ? (cos C ? sin C ) ? 2 10 AC 10 3 10 BC ? ? sin A ? ? ?3 2 由正弦定理知 sin B 2 10 2 AC 10 5 AB ? ? sin C ? ? ?2 1 2 ( ) , B D? AB ?1 sin B 2 5 2 2

由余弦定理知 CD ?

BD2 ? BC 2 ? 2BD ? BC cos B ? 1 ? 18 ? 2 ? 1? 3 2 ?

2 ? 13 2
1 , 2

19.解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ?

π . 6 ? ? ? ?? ? (Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ? ? A ? ? cos A ? sin ? ? A ? ? ? ? ?6 ?
由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

1 3 ?? ? ? cos A ? cos A ? sin A ? 3 sin ? A ? ? . 2 2 3? ? ? ? ? 由 △ ABC 为锐角三角形知, 0 ? A ? , ? A ? ? ? . 2 2 6 ? ? 2? ? 5? ?A? ? 解得 ? A ? 所以 , 3 2 3 3 6 1 ? ?? 3 3 ?? 3 ? 所以 sin ? A ? ? ? .由此有 ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 ? 3? 2 2 3? 2 ?
所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ?

? 3 3? ? ? 2 , ?. 2 ? ?

20.解:设在 t 时刻台风中心位于点 Q,此时|OP|=300,|PQ|=20t, 台风侵袭范围的圆形区域半径为 r(t)=10t+60, 由 cos? ?

2 7 2 2 ,可知 sin ? ? 1 ? cos ? ? , 10 10
o o o

y O 海 岸 线

北 东 O

cos∠OPQ=cos(θ -45 )= cosθ cos45 + sinθ sin45 =
2

2 2 7 2 2 4 ? ? ? ? 10 2 10 2 5
2 2

?
O

x

在 △OPQ 中,由余弦定理,得

OQ

? OP ? PQ ? 2 OP ? PQ cos ?OPQ
2 2

= 300 ? (20t ) ? 2 ? 300 ? 20t ?
2

4 5
r(t ))

t ? 90000 = 400t ? 9600 若城市 O 受到台风的侵袭,则有|OQ|≤r(t),即

Q

45 ? P
6

400t 2 ? 9600 t ? 90000? (10t ? 60) 2 , 2 整理,得 t ? 36t ? 288 ? 0 ,解得 12≤t≤24,
答:12 小时后该城市开始受到台风的侵袭.

7

2010 届高考数学目标训练(1) (文科版) 时量:60 分钟 满分:80 分 班级: 姓名:

计分:

个人目标:□优秀(70’~80’) □良好(60’~69’) □合格(50’~59’) 一、选择题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分. 1、若复数 (a2 ? 3a ? 2) ? (a ?1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1

2、设等比数列 ?an ? 的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 A. 2 B. 4 C.

S4 =( a2



15 2

D.

17 2

3、设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为

? ?? ?0, 4 ? ,则点 P 横坐标的取值范围为 ? ?
(A) ? ? 1,? ? 2

? ?

1? ?

(B)[-1,0]

(C)[0,1]

(D) ? ,1? 2

?1 ? ? ?

4、在△ABC 中,角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若 (a 2 +c2 -b2 )tanB= A.

3ac ,则角 B 的值为

5、用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 ? ,则球的体积为 A.

? 6

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

8? 3
?

B.

8 2? 3

C. 8 2?

D.

32? 3

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分. 6、 a, b 的夹角为 120 , a ? 1, b ? 3 ,则 5a ? b ?

? ?

? x ? y ≥ 0, ? 7、若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ≥ 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?0 ≤ x ≤ 3, ?
8、若直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与圆 ? 则实数 m 的取值范围是



? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数)没有公共点, ? y ? ?2 ? sin ?

8

三、解答题:本大题共 3 小题,满分 40 分,第 9 小题 12 分,第 10、11 小题各 14 分. 解答须 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9、因冰雪灾害,某柑桔基地果林严重受损,为此有关专家提出一种拯救果树的方案,该方 案需分两年实施且相互独立.该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.4、0.4;第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.5 倍、1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4. (1)求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率; (2)求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.

10、设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? b( x ? R) 的图像与两坐标轴有 三个交点,经过这三个交点的圆记为 C。求: (1)求实数 b 的取值范围 (2)求圆 C 的方程 (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论。

11、在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . (Ⅰ)设 bn ?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 2 n ?1

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

9

答案详解 一、选择题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分. 1、若复数 (a2 ? 3a ? 2) ? (a ?1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 A.1
2

B.2

C.1 或 2

D.-1

解:由 a ? 3a ? 2 ? 0 得 a ? 1或2 ,且 a ? 1 ? 0得a ? 1? a ? 2 (纯虚数一定要使虚部不为 0) 2、设等比数列 ?an ? 的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 A. 2 B. 4 C.

S4 =( a2



15 2

D.

17 2

a1 (1 ? q 4 ) S 1 ? 24 15 1? q 解: 4 ? ? ? a2 a1q ?2 2
3、设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为

? ?? ?0, 4 ? ,则点 P 横坐标的取值范围为 ? ?
(A) ? ? 1,? ? 2

? ?

1? ?

(B)[-1,0]

(C)[0,1]

(D) ? ,1? 2

?1 ? ? ?

解析:本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点 P 的横坐标 为 x0 , 且 y ' ? 2 x0 ? 2 ? tan ? ( ? 为点 P 处切线的倾斜角) ,又∵ ? ? [0, ∴ 0 ? 2 x0 ? 2 ? 1,∴ x0 ? [ ?1, ? ]. 4、在△ABC 中,角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若 (a 2 +c2 -b2 )tanB= A.

?
4

],

1 2

3ac ,则角 B 的值为

? 6

B.

? 3
3ac 得

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

解: 由 (a 2 +c2 -b2 )tanB=

(a 2 +c2 -b2 ) 3 cos B 3 cos B = 即 cos B = 2ac 2 sin B 2 sin B

? sin B=

? 2? 3 ,又在△中所以 B 为 或 3 3 2

5、 用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 ? ,则球的体积为 A.

8? 3

B.

8 2? 3

C. 8 2?

D.

32? 3
10

解:截面面积为 ? ? 截面圆半径为 1,又与球心距离为 1 ? 球的半径是 2 , 所以根据球的体积公式知 V球 ?

4? R3 8 2? ,故 B 为正确答案. ? 3 3

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分. 6、 a, b 的夹角为 120 , a ? 1, b ? 3 ,则 5a ? b ?
?

? ?

7

? x ? y ≥ 0, ? 7、若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ≥ 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?0 ≤ x ≤ 3, ?
8、若直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与圆 ? 则实数 m 的取值范围是

9



? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数)没有公共点, ? y ? ?2 ? sin ?

解:圆心为 (1, ?2) ,要没有公共点,根据圆心到直线的距离大于半径可得

d?

3 ?1 ? 2 ? (?4) ? m 32 ? 42

(-?,0)(10,+?) ? r ? 1 ,即 m ? 5 ? 5 , m ?

三、解答题:本大题共 3 小题,满分 40 分,第 9 小题 12 分,第 10、11 小题各 14 分. 解答须 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9、因冰雪灾害,某柑桔基地果林严重受损,为此有关专家提出一种拯救果树的方案,该方 案需分两年实施且相互独立.该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.4、0.4;第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.5 倍、1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4. (1)求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率; (2)求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率. 解: (1)令 A 表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件

P( A) ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.2
(2)令 B 表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件

P( B) ? 0.2 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.48
10、设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ( x) ? x ? 2x ? b( x ? R) 的图像与两坐标轴有 三个交点,经过这三个交点的圆记为 C。求: (1)求实数 b 的取值范围 (2)求圆 C 的方程 (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论。 【解析】 :本小题考查二次函数图像于性质、圆的方程的求法。 (1)令 x=0,得抛物线于 y 轴的交点是(0,b) 令 f(x)=0,得 x2+2x+b=0,由题意 b≠0 且△>0,解得 b<1 且 b≠0 (2)设所求圆的一般方程为 x2+ y2+Dx+Ey+F=0
2

11

令 y=0,得 x2+Dx+F=0,这与 x2+2x+b=0 是同一个方程,故 D=2,F=b 令 x=0,得 y2+ Ey+b=0,此方程有一个根为 b,代入得 E=-b-1 所以圆 C 的方程为 x2+ y2+2x -(b+1)y+b=0 (3)圆 C 必过定点(0,1) , (-2,1) 证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程,得左边= 02+ 12+2×0-(b+1)×1+b=0,右边 =0 所以圆 C 必过定点(0,1) ;同理可证圆 C 必过定点(-2,1) 。 11、在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . (Ⅰ)设 bn ?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 2 n ?1

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn . 解: (1) an?1 ? 2an ? 2n ,

an ?1 a ? nn ?1, n 2 2 ?1

bn?1 ? bn ? 1 ,
则 bn 为等差数列, b1 ? 1 ,

bn ? n , an ? n2n?1 .
(2) Sn ? 1 20 ? 2 21 ?

? (n ?1) 2n?2 ? n 2n?1

2Sn ? 1 21 ? 2 22 ?
两式相减,得

? (n ?1) 2n?1 ? n 2n

Sn ? n 2n ?1 20 ? 21 ?

2n?1 ? n 2n ? 2n ?1 .

12


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