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向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇


向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
天津四中:刘晖
一、四心的概念介绍 (1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成 2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3) 内心——角平分线的交点 (内切圆的圆心) 角平分线上的任意点到角两边的距离相等; : (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心) :外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四

心与向量的结合 (1) OA ? OB ? OC ? 0 ? O 是 ?ABC 的重心. 证法 1:设 O( x, y), A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), C ( x3 , y3 )

x1 ? x 2 ? x3 ? ?x ? ?( x1 ? x) ? ( x 2 ? x) ? ( x3 ? x) ? 0 ? 3 OA ? OB ? OC ? 0 ? ? ?? ( y1 ? y ) ? ( y 2 ? y ) ? ( y 3 ? y ) ? 0 y1 ? y 2 ? y 3 ? ?y ? ? 3 ? ? O 是 ?ABC 的重心.
证法 2:如图
A

? OA ? OB ? OC ? OA ? 2OD ? 0 ? AO ? 2OD ? A、O、D 三点共线,且 O 分 AD
为 2:1 ? O 是 ?ABC 的重心
B

O

E

D

C

(2) OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ? O 为 ?ABC 的垂心. 证明:如图所示 O 是三角形 ABC 的垂心,BE 垂直 AC,AD 垂直 BC, D、E 是垂足.

OA ? OB ? OB ? OC ? OB (OA ? OC ) ? OB ? CA ? 0

A

? OB ? AC
O

E

同理 OA ? BC , OC ? AB

? O 为 ?ABC 的垂心
(3)设 a , b , c 是三角形的三条边长,O 是 ? ABC 的内心

B

D

C

aOA ? bOB ? cOC ? 0 ? O 为 ?ABC 的内心.
证明:?

AB AC AC 、 分别为 AB、 方向上的单位向量, c b

?

AB AC ? 平分 ?BAC , c b
AB AC bc ? ),令 ? ? c b a?b?c

? AO ? ? (

? AO ?

AB AC bc ? ( ) c b a?b?c 化简得 (a ? b ? c)OA ? b AB ? c AC ? 0

? aOA ? bOB ? cOC ? 0
(4) OA ? OB ? OC ? O 为 ?ABC 的外心。 典型例题: 例 1 : O 是 平 面 上 一 定 点 , A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

OP ? OA ? ? ( AB ? AC ) , ? ? ?0,?? ? ,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的(
A.外心 B.内心 C.重心 分析:如图所示 ?ABC , D、E 分别为边 BC、AC 的 中点. D.垂心
A



? AB ? AC ? 2 AD
E

? OP ? OA ? 2? AD
? OP ? OA ? AP ? AP ? 2? AD
B D C

? AP // AD

?点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的重心,即选 C .
例 2: (03 全国理 4)O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点, 动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( A.外心 分析:?

AB AB

?

AC AC

则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的 ( B ) ) ,? ? ?0,?? ? , C.重心 D.垂心

B.内心

AB

AC AC 分别为 AB、 方向上的单位向量, 、 AB AC

?

AB AB

?

AC AC

平分 ?BAC ,

?点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的内心,即选 B .
例 3 : O 是 平 面 上 一 定 点 , A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

OP ? OA ? ? (

AB AB c o sB

?

AC AC c o sC

) , ? ? ?0,?? ? ,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的



) A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心
A

分析:如图所示 AD 垂直 BC,BE 垂直 AC, D、E 是垂足.

(

AB AB cos B

?

AC AC cosC

) ? BC
E

=

AB ? BC AB cos B

?

AC ?BC AC cos C
? AC BC cos C AC cos C
B D C

? AB BC cos B
=

AB cos B
= ? BC + BC =0

?点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的垂心,即选 D .
练习: 1.已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P ,满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,若实 数 ? 满足: AB ? AC ? ? AP ,则 ? 的值为( A.2 B. ) D.6 )

3 2

C.3

2. ?ABC 的外接圆的圆心为 O, 若 半径为 1,OA ? OB ? OC ? 0 , OA ? OB ? ( 则 A.

1 2

B.0

C.1

D. ?

1 2

3 . 点 O 在 ?ABC 内 部 且 满 足 OA ? 2OB ? 2OC ? 0 , 则 ?ABC 面 积 与 凹 四 边 形

ABOC 面积之比是(
A.0

) B.

3 2

C.

5 4

D.

4 3


4. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,若 OH ? OA ? OB ? OC ,则 H 是 ?ABC 的( A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
2 2

5. O 是平面上一定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,若 OA ? BC ? OB

2

? CA ? OC ? AB ,则 O 是 ?ABC 的(
A.外心 B.内心

2

2

2

) D.垂心

C.重心

OH ? m(OA ? OB ? OC ) , 6. ABC 的外接圆的圆心为 O, 两条边上的高的交点为 H, ?

则实数 m = → → → → AB AC AB AC 1 → → → 7. (06 陕西)已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0 且 · = , 则 → → → → 2 |AB| |AC| |AB| |AC| △ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形 B.直角三角形 D.等边三角形
2

8.已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C ,若 AB ? AB ? AC ? AB ? CB ? BC ? CA ,则

?ABC 为(

) A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.既非等腰又非直角三角形 练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C


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