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高中数学选修1-2及选修4-4试卷


湛江市 2013—2014 学年度第二学期期末调研考试 高中数学 (选修 1- 2 、 4- 4)试卷
说明:本卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 题号 得分 参考公式: 线 用最小二乘法求线性回归方程系数公式: 一 二 三 15 16 17 18 19 20 总分

学号

?x ? a 线性回归方程 y ? ?b ?

. 其中 b ?

?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y )
i

__

__

? x y ? nx y
=
i ?1 n i i

n

? (x
i ?1

? x)

__

2

?x
i ?1

2 i

? nx

2

?x , a ? ? y ?b

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请把正确答案的代号填入下面的表格内. 题号 选项 姓名 1.已知集合 M={2,3,4},N={0,2,3,5},则 M ? N= A. {3,5} C. {2,3} B. {3,4} D. {0,2} C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分



班级

?x ? 1 ? 2.若 x,y ? R,且 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z=x+2y 的最小值等于 B ?y ? x ?
A.2 B.3 C.5 D.9 3.已知向量 a=(1, -2) , b=(1+m , 1-m) , 若 a ∥ b,则实数 m 的值为 B A.3 B.-3 C.2 D.-2 4.若 a , b ? R , i 为虚数单位,且 (a ? i )i ? b ? i ,则 密 A. a ? 1 , b ? 1
2 x

B.a ? ?1 , b ? 1
3

C.a ? 1 , b ? ?1
x

D.a ? ?1 , b ? ?1

5.下列函数为奇函数的是 D A.x +2 B.2cosx+1 C.x sinx D.2 -

1 2x

学校

6.若函数 y=f(x)的定义域为 M={x|-2≤x≤2},值域为 N={y|0≤y≤2},则函数 y=f (x)
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的图象可能是

(

)

答案

B x ? R}, B={x|x﹤a},则“A ? B”是 “a﹥5” 的 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.已知集合 A={x︱|x| ? 4 , B A.充分不必要条件 C.充要条件 8.若椭圆 为A A. y= ?

x2 y2 x2 y2 3 + = 1 ( a ﹥ b ﹥ 0 )的离心率为 ,则双曲线 - =1 的渐近线方程 b2 a 2 b2 a2 2
1 x 2 1 x 4

B.

y= ? 2x

C. y= ? 4x

D. y= ?

9.已知 ? 、 ? 是两个不同的平面,a、b 是两条不同的直线,给出下列四个命题,其中正 确的是 C A. a∥ ? , b∥ ? , 则 a∥b B. a∥ ? , b∥ ? , a∥b, 则 ? ∥ ? C. a ? D.

? , b ? ? , a ? b, 则? ? ? 若 a、b 在平面 ? 内的射影互相垂直,则 a ? b。

10.若 Sn 是等差数列{an }的前 n 项和,a2 + a10 =4,则 S11 的值为 C A.12 B.18 C.22 D.44 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分 ,其中 14- 15 选做一题. 11.若抛物线的焦点在直线 x-2y-4=0 上,则抛物线的标准方程是 .y2 =16x 或 x2 = -8y 12.按如图的程序计算,若开始输入的值为 3,则最后输出的结果是 .

13.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q, 则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于 .
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1 · |AB|· |AD| S△ ABE 2 [这是一道几何概型的概率问题,点 Q 取自△ ABE 内部的概率为 = S矩形ABCD |AB|· |AD| 1 = . 2 14. (坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为 ?

? x ? 5 cos ? ? (0≤?<? ) 和 ? ? y ? sin ?

5 2 ? ?x ? t 4 (t ? R ) ,它们的交点坐标为 ? ? ?y ? t



?x ? 1 ? ? 2 5 x2 4 2 2 ? y ? 1( x ? 0) y ? x ?y ? 5 ,∴交 5 ,联立解得 ? 【答案】化为普通方程分别为 5 ,
2 5 点(1, 5 ) .
CD,AB =4,CD=2,E 、F 分 15(几何证明选讲选做题)如图 4,在梯形 ABCD 中,AB ∥ 别为 AD、BC 上点,且 EF =3,EF ∥ AB ,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 . 【答案】∵ AB ∥ CD,AB =4,CD=2, EF =3,EF ∥ AB ,∴ 2EF=AB+CD,

(4+3) h S梯形ABEF 7 2 ∴ EF 是梯形 ABCD 的中位线,设梯形 ABCD 的高为 2 h ,则 = = . (3 ? 2) h S梯形EFCD 5 2
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. π 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2,x∈R)的图象的一 部分如下图所示.

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(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈[-6,-3]时,求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值. 解 (1)由图象知 A=2,

2π π ∵T = ω =8,∴ω=4. ??????????????????????????(2 分) π 又图象经过点(-1,0),∴2sin(-4+φ)=0. π π ∵|φ|<2,∴φ=4. π π ∴f(x)=2sin(4x+4).???????????????????????????(5 分) (2)y=f(x)+f(x+2) π π π π π =2sin(4x+4)+2sin(4x+2+4) π π π =2 2sin(4x+2)=2 2cos4x. ???????????????????????(8 分) 2 3π π π ∵x∈[-6,-3],∴- 2 ≤4x≤-6. π π 2 ∴当4x=-6,即 x=-3时,y=f(x)+f(x+2)取得最大值 6; π 当4x=-π,即 x=-4 时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2 2. ?????????(12 分)

17. (本小题满分 13 分) 一只口袋内装有大小相同的 5 只球,其中 3 只白球,2 只黑球,从中一次摸出 2 只球. (1)共有多少个基本事件? (2)摸出的 2 只球都是白球的概率是多少? 解 (1)分别记白球为 1、2、3 号,黑球为 4、5 号,从中摸出 2 只球,有如下基本事件(摸到 1、2 号球用(1,2)表示):(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5). 因此,共有 10 个基本事件. (2)上述 10 个基本事件发生的可能性相同,且只有 3 个基本事 件是摸到两只白球(记为事件 A),即(1,2)、(1,3)、(2,3),故 P(A)=3/10. 故共有 10 个基本事 件,摸出 2 只球都是白球的概率为 3/10

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18. (本题满分 13 分)

如下图, 在正方体 ABCD ? A 1 B 1 C 1 D 1 中, N、 C1D1 M、 P 分别是 C 1 C 、 B 1 C 1、 的中点, 求证:平面 M N P ∥ 平面 A 1 B D . 证明:连结 B 1 D 1 , P 、 N 分别是 D 1 C 1 、 B 1 C 1 的中点, ? P N ∥ B 1 D 1 .又 B 1 D 1 ∥ B D ,
D A B M D1 A1 P B1 N C1 C

? P N ∥ B D .又 P N 不在平面 A 1 B D 上, ? P N ∥ 平面 A 1 B D . ?平面 P M
N ∥ 平面 A 1 B D .

同理, M N ∥ 平面 A 1 B D .又 P N

M N =N ,

19. (本小题满分 14 分)中心在原点,焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1 , F2 ,且︱F1 F2 ︱=2 13 ,椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为 4,离心率之比为 3:7. (1)求这两曲线方程; (2)若 P 为这两曲线的一个交点,求 cos ? F1 PF2 的值。 解: (1)由已知:c = 13 ,设椭圆长、短半轴分别为 a、b,双曲线实半轴、虚半轴长分别 为 m、n,

?a ? m ? 4 ? 则? 13 13 , ?3 ?7 m ? a
解得 a=7 ,m=3, b=6,
2

n=2

?椭圆方程为

x y x2 y2 ? ? 1 ,双曲线方程为 ? ?1 49 36 9 4

2

(2)不妨设 F1 、F2 分别为左、右焦点,P 是第一象限的一个交点,则︱P F︳︳+︱PF2 |=14, ︱P F︳︳-︱PF2 |=6, ?︱P F︳︳=10,︱PF2 |=4 又︱F1 F2 ︱=2

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PF1 ? PF2 ? F1F2 102 ? 42 ? (2 13) 2 4 ? ? ? cos ? F1 PF2 = 2 PF1 ? PF2 2 ? 10 ? 4 5
20. (本题满分 14 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? 2 n?1 ? n ? 2 ( n ? N * ) . (1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ?的通项公式; (3)求证:

2

2

2

a a1 a2 n ? ??? n ? . a 2 a3 an?1 2

21. (本题满分 14 分)设函数 f(x)= ax ? 3x , a ? R , 且 x=2 是 y= f(x)的极值点。 (1)求函数 a 的值,并求函数的单调区间; x (2)求函数 g(x)=e f(x)的单调区间。 解: (1) f ? (x)=3ax2 -6x = 3x(ax-2), 因为 x=2 是函数 y= f(x)的极值点 , 所以 f ? (2)=0,
3 2

即 6(2a-2)=0, 因此 a=1. 经检验,当 a=1 时,x=2 是函数 y= f(x)的极值点。 2 所以 f ? (x)=3x -6x= 3x(x-2)。 所以函数 y= f(x)的单调递增区间是(- ? ,0) , (2,+ ? ) ,单调递减区间是(0,2) 。 (2)g(x)= ex ( x ? 3x ) ,
3 2

g ? (x)=

e (x -3x +3x -6x) =

x

3

2

2

e (x -6x)

x

3

=

x x(x+ 6 )(x- 6 ) e ,

因为 ex ﹥0,所以 y= g(x)的单调增区间是(- 6 ,0) , ( 6 ,+ ? ) ;单调减区间是 (- ? ,- 6 ) , (0, 6 ) 。

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湛江市 2013—2014 学年度第二学期期末调研考试 高中数学选修 1-2 及选修 4-4 试题 参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 选项 1 C 2 B 3 B 4 C 5 D 6 B 7 B 8 A 9 C 10 C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. y =16x 或 x =-8y
2 2

12. 231

1 13. 2

2 5 14. (1, 5 )

7 15. 5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 16.解 (1)由图象知 A=2,

2π π ∵T = ω =8,∴ω=4. ??????????????????????????(2 分) π 又图象经过点(-1,0),∴2sin(-4+φ)=0. π π ∵|φ|<2,∴φ=4. π π ∴f(x)=2sin(4x+4).???????????????????????????(5 分) (2)y=f(x)+f(x+2) π π π π π =2sin(4x+4)+2sin(4x+2+4) π π π =2 2sin(4x+2)=2 2cos4x. ???????????????????????(8 分) 2 3π π π ∵x∈[-6,-3],∴- 2 ≤4x≤-6. π π 2 ∴当4x=-6,即 x=-3时,y=f(x)+f(x+2)取得最大值 6; π 当4x=-π,即 x=-4 时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2 2. ?????????(12 分) 17.解 (1)分别记白球为 1、2、3 号,黑球为 4、5 号,从中摸出 2 只球,有如下基本事件(摸 到 1、2 号球用(1,2)表示):(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3), (2,4),(2,5),(3,4),(3,5), (4,5). 因此, 共有 10 个基本事件. ?????????????????????????(6 分)
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(2)上述 10 个基本事件发生的可能性相同,且只有 3 个基本事件是摸到两只白球(记为事件

A),即(1,2)、(1,3)、(2,3),故 P(A)=.

3 故共有 10 个基本事件,摸出 2 只球都是白球的 10

概率为 3

???????????????????????????????(13 分)

10
18.证明:连结 B 1 D 1 ,

P 、 N 分别是 D 1 C 1 、 B 1 C 1 的中
A

点, ? P N ∥ B 1 D 1 .又 B 1 D 1 ∥ B D ,

D B

C

? P N ∥ B D .又 P N 不在平面 A 1 B D 上, ? P N ∥ 平面 A 1 B D . ?平面 P M
M N =N ,
A1 D1

M P B1 N C1

同理, M N ∥ 平面 A 1 B D .又 P N
N ∥ 平面 A 1 B D .

19.解: (1)由已知:c = 13 ,设椭圆长、短半轴分别为 a、b,双曲线实半轴、虚半轴长 分别为 m、n,

?a ? m ? 4 ? 则? 13 13 , 7 ? 3 ? m ? a
解得 a=7 ,m=3,
2

b=6,
2

n=2

x y x2 y2 ? 1 ,双曲线方程为 ? ?1 ?椭圆方程为 ? 49 36 9 4
(2)不妨设 F1 、F2 分别为左、右焦点,P 是第一象限的一个交点,则︱P F︳︳+︱PF2 |=14, ︱P F︳︳-︱PF2 |=6, ?︱P F︳︳=10,︱PF2 |=4 又︱F1 F2 ︱=2

13
2 2 2

PF1 ? PF2 ? F1F2 102 ? 42 ? (2 13) 2 4 ? ? ? cos ? F1 PF2 = 2 PF1 ? PF2 2 ? 10 ? 4 5
20.解: (1) a1 ? S1 ? 2 2 ? 2 ? 1 ? 1 ,

a2 ? S 2 ? a1 ? 23 ? 2 ? 2 ? 1 ? 3 , a3 ? S3 ? a2 ? a1 ? 24 ? 3 ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 .????????????3 分
(2)当 n ? 1 时, an ? S n ? S n?1 ? 2
n?1

? n ? 2 ? 2n ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 .???6 分

1 当 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 1 ? 1 ? S1 ,??????????????????8 分

∴ an ? 2 ? 1 ( n ? N ) .?????????????????????9 分
n
*

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2k ? 1 1 ? .????????????????12 分 1 2 2( 2 k ? ) 2 an a1 a2 1 1 1 n ∴ ? ??? ? ? ? ? ? ? .????????????14 分 a 2 a3 an?1 2 2 2 2 2 21. 解: (1)f ? (x)=3ax -6x = 3x(ax-2), 因为 x=2 是函数 y= f(x)的极值点 , 所以 f ? (2)=0,
(3)∵ 即 6(2a-2)=0, 因此 a=1. 经检验,当 a=1 时,x=2 是函数 y= f(x)的极值点。 所以 f ? (x)=3x2 -6x= 3x(x-2)。 所以函数 y= f(x)的单调递增区间是(- ? ,0) , (2,+ ? ) ,单调递减区间是(0,2) 。 (2)g(x)= ex ( x 3 ? 3x 2 ) , e (x -3x +3x -6x) =
x 3 2 2

ak 2k ?1 ? k ?1 ? a k ?1 2 ? 1

g ? (x)=

e (x -6x)

x

3

=

x x(x+ 6 )(x- 6 ) e ,

因为 ex ﹥0,所以 y= g(x)的单调增区间是(- 6 ,0) , ( 6 ,+ ? ) ;单调减区间是 (- ? ,- 6 ) , (0, 6 ) 。

注:以上各题若有其它解法,请评卷老师酌情给分.

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