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交集与并集


§3 3.1

集合的基本运算 交集与并集

某班50名学生中喜欢打篮球的有40人,喜欢踢足 球的有31人,两个都不喜欢的有4人,那么同时喜

欢两种运动的有多少人呢?如果喜欢打篮球的40
人构成集合A,喜欢踢足球的31人构成集合B,同 时喜欢两种运动的那些人构成集合C,想一想集合 C与集合A,B有什么关系呢?

1.理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个简单 集合的交集与并集.(重点) 2.能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观 图示对理解抽象概念的作用.(难点) 3.能够正确地理解不同语言表示的集合的本质并且 能够在解题时准确表达.

实例分析

观察下列各个集合,你能说出集合A,B与集合C之间的
关系吗?

(1)A={6,8,10,12}, B={3,6,9,12} ,C={6,12}.
(2)A={x|x是信丰二中2015年9月在校的女同学},

B={x|x是信丰二中2015年9月入学的高一年级同学},
C={x|x是信丰二中2015年9月入学的高一年级女同学}.

总结特征 发现:集合C(阴影部分)就是由集合A中和

集合B中的公共元素所组成的集合.

A

C

B

抽象概括 一般地,由既属于集合A又属于集合B的所有元素 组成的集合,叫作A与B的交集,记作A∩B(读作“A交 B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

A

A∩B

B

概念巩固 1.信丰二中开运动会,设 A={x|x是信丰二中高一年级参加百米赛跑的同学}, B={x|x是信丰二中高一年级参加跳高比赛的同学}, 求A∩B.

解:A∩B={x|x是信丰二中高一年级既参加百米赛跑
又参加跳高比赛的同学}.

2.集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},A∩B=___.
解: A∩B={x|-1<x<2}∩{x|1<x<3}={x|1<x<2}. 答案:{x|1<x<2}

【提升总结】
交集的性质

(1) A ? A ? A; (2) A ? ? ? ?; (3) A ? B ? B ? A; (4) A ? B ? A, A ? B ? B; (5) A ? B 则 A ? B ? A.

实例分析 考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B

之间的关系吗?
(1)A={1,3,5}, B={2,4,6} ,C={1,2,3,4,5,6}

(2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},
C={x|x是实数}.

总结特征

发现:集合C(阴影部分)就是由集合A中和集
合B中的所有元素所组成的集合.

A

B

C

抽象概括

一般地,由属于集合A或属于集合B的所有元素组
成的集合,叫作A与B的并集,记作A∪B (读作“A并

B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

A A∪ B

B

概念巩固 1.A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∪B. 解:A∪B={3,4,5,6,7,8}.

2.设集合A={x|x为等腰三角形},集合B={x|x为直
角三角形},求A∪B. 解:A∪B={x|x为等腰三角形或直角三角形}.

3.设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},求

A∪B.
解:

-1

1

2

3

x

所以,A∪B ={x|-1<x<3}.

【提升总结】 并集的性质

(1) A ? A ? A; (2) A ? ? ? A; (3) A ? B ? B ? A; (4) A ? A ? B,B ? A ? B,A ? B ? A ? B; (5) A ? B, 则A ? B ? B .

例题分析
例1 某学校所有男生组成集合A,一年级的所有学生组

成集合B,一年级的所有男生组成集合C,一年级的所有
女生组成集合D.求 A ? B,C ? D.
解:A ? B ? {x | x是该校一年级的男生} ? C; C ? D ? {x | x是该校一年级学生} ? B.

例2 设A={x|x是不大于10的正奇数},B={x|x是12的

正约数}.求 A ? B, A ? B.
交集,找公共元素

解: A={x|x是不大于10的正奇数}={1,3,5,7,9},

B={x|x是12的正约数}={1,2,3,4,6,12},
A ? B ? {1,3}, A ? B ? {1,2,3,4,5,6,7,9,12}.
并集,找所有元素

思考交流 举例验证下列等式,并与同学讨论交流:

(1) (A ? B) ? C ? A ? (B ? C); (2)(A ? B) ? C ? A ? (B ? C).
由上述结论, (A ? B) ? C可记作A ? B ? C;

(A ? B) ? C可记作A ? B ? C.

1.(2013?四川高考)设集合A={1,2,3},集合 B={-2,2},则A∩B=( B ) A .? B.{2} C.{-2,2} D.{-2,1,2,3}

解析:因为集合A={1,2,3},集合B={-2,2}, 所以A∩B={2}.

2.(2013?广东高考)设集合M={x|x2+2x=0,x∈R}, N={x|x2-2x=0,x∈R},则M∪N=( D ) A.{0} B.{0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2}

解析:分析可得,M为方程x2+2x=0的解集,则 M={x|x2+2x=0}={0,-2},N为方程x2-2x=0的解集, 则N={x|x2-2x=0}={0,2},故集合M∪N={0,-2,2},

3.(2013?北京高考)已知集合A={-1,0,1}, B={x|-1≤x<1},则A∩B=( B ) A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1}

解析:因为A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1}, 所以A∩B={-1,0}.

4.设A={x|x是小于9的正整数},B={1,2,3},C={3,
{1,2,3,4,5,6} . 4,5,6},则A∩(B∪C)= __________________

解析:由题知A={1,2,3,4,5,6,7,8},因为 B∪C={1,2,3,4,5,6},所以A∩(B∪C)={1,2,

3,4,5,6}.
5.若集合A={0,m},B={1,2},A∩B={1},则实数 1 . m=____ 解析:因为A={0,m},B={1,2},A∩B={1},所以 m=1.

6. 已知A={2,-1,x2-x+1}, B={2y,-4,x+4},C=
{-1,7}且A∩B=C,求x,y的值及A∪B.

解:由A ? B ? C, 得 x ? x ? 1 ? 7,
2

所以x ? 3或 ? 2,

1 当x ? 3时,A ? ?2, ?1,7? , B ? ?2y, ?4,7?,此时y ? ? , 2 当x ? ?2时,A ? ?2, ?1,7?,B ? ?2y, ?4, 2? , 此时y无解,

1 所以x ? 3, y ? ? , 2 A ? B ? ??1, ?4, 2,7?.

1.两个集合交集与并集的概念和性质.

2.求两个集合的交集与并集,常用数轴法和图示法.

昨天是已经走过的,明天是即将走过的,惟 有今天正在走过……


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