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辽宁省2008-2009学年第一学期期末模拟试题分类汇编——02函数(包含导数)


辽宁省 2008-2009 学年第一学期期末模拟试题分类汇编 第 2 部分:函数(包含导数)
一、选择题 1.(沈阳市回民中学 2008-2009 学年度上学期高三第二次阶段测试文科) 函数 f ( x ) ? x ? ln x 的零点所在的区间为 A. (-1,0) 答案:B. ( )

B. (0,1) C. (1,2) D. (1,e)

/>
2.(沈阳市回民中学 2008-2009 学年度上学期高三第二次阶段测试文科) 具有性质: f ( ) ? ? f ( x ) 的函数, 我们称为满足 “倒负” 变换的函数,下列函数:① y ? x ?
x 1 1 x



? ? x , (0 ? x ? 1) ? 1 ② y ? x ? ;③ y ? ? 0, ( x ? 1) 中满足“倒负”变换的函数是( x ? 1 ? ? ( x ? 1) ? x



A.①② 答案:B.

B.①③

C.②③

D.只有①

3.(沈阳二中 2009 届高三期末数学试题) 已知 | a |? 2 | b |? 0 , 且关于 x 的函数 f ( x ) ? 夹角范围为( ? A. [ 0 , )
6 1 3 x ?
3

1 2

| a | x ? a ? b x 在 R 上有极值, a 与 b 的 则
2

) B. (
?
6 ,? ]

C. (

?
3

,? ]

D. [

?
3

,

2? 3

]

答案:C. 4.(沈阳二中 2009 届高三期末数学试题)
4] 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且对任意 x ? R , 都有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 3) 。 x ? [,6 当

时, f ( x ) ? 2 ? 1 ,设函数 f ( x ) 在区间 [ ? 2, 0 ] 上的反函数为 f
x

?1

( x ) ,则 f

?1

(1 9 ) 的值为

A. ? log 2 3 答案:D.

B. ? 2 lo g 2 3 C. 1 ? 2 lo g 2 3

D. 3 ? 2 lo g 2 3

5.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 已知 f ( x ) ? ?
? (3 ? a ) x ? a ? log
a

( x ? 1)

x

( x ? 1)

, 是 ( ?? , ?? ) 上是增函数,那么实数 a 的取值范围是

( A. (1,+ ? ) 答案:C. 6.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 若关于 x 的方程 a 2 x ? (1 ? A. [ ?
1 3 ,0 ) 1 m )a
x



B. ? ? ,3 ) (

C. [ , 3 )
2

3

D. (1,3)

? 1 ? 0 , (a>0,且 a ? 1 )有解,则 m 的取值范围是(



B. [ ?

1 3

, 0 ) ? ( 0 ,1]

C. ( ?? , ? ]
3

1

D. (1, ?? )

答案:A. 7.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且对任意 x ? R , 都有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 3 ) 。 x ? [ 4 , 6 ] 当
x ?1 时, f ( x ) ? 2 ? 1, 设函数 f ( x ) 在区间 [ ? 2 , 0 ] 上的反函数为 f ( x ), 则 f ?1

(19 ) 的值为

( A. ? log 答案:D.
2

) D. 3 ? 2 log
2

3

B. ? 2 log

2

3

C. 1 ? 2 log 2 3

3

8.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 在下列图象中,二次函数 y ? ax
2

? bx 与指数函数

b x y ? ( ) 的图象只可能是 a





答案:A. 9.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 已知 a 为参数(a>0)的 x 的二次函数 y ? ax 是关于 a 的函数 f ( a ) ,则 f ( a ) 的最小值为 A.-2 答案:A. 10.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) B. ?
137 64
2

?

1? a x ? a
2

2

? 3a ?

1 4

?

1 4a

( x ? R ) 的最小值

( C.-
1 4



D.以上结果都不对

若关于 x,y 的方程组 ?

? ax ? by ? 1 ?x ? y
2 2

? 17

有解,且所有解都是整数,则有序数对(a,b)的数目为 ( ) D.32

A.8 答案:D.

B.16

C.24

11.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考)
?3x , x ? 1 ? 函数 f ( x ) ? ? lo g x , x ? 1 1 ? 3 ?

,则 y ? f ( x ? 1) 的象大致是 y y y

y

。 O x A. 答案:B. x x B.

O



x C.

。 O

x D.



O

x

D

12.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 偶函数 f ( x ) 满足 f ? x ? 1 ? = f ? x ? 1 ? ,且在 x ? ? 0 , 1? 时, f ( x ) ? ? x ? 1 ,则关于 x 的方程
f (x) ? ( 1 10 ) ,在 x ? ? 0, 3 ? 上解的个数是
x

A.1 答案:D.

B.2

C.3

D.4

13.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 函数 y=
a?x x ? a ?1

,的反函数的图象关于点 ? ? 1, 4 ? 成中心对称,则实数 a= B.3 C.-2 D.-3

A.2 答案:B.

14.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 已知直线 y=kx 是 y=lnx 的切线,则 k 的值为 A.e 答案:C. 15.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) B.-e C.
1 e

D. ?

1 e

?

2

?? 1

2 x ? 1 dx =

A

3

B

3-

1 3

C

3

9 ?1

D

2

?

3

9 ?1 3

?

答案:B. 16.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 已知 f(x) ,g(x)都是定义在 R 上的函数,对任意 x、y 满足 f(x-y)=f(x) ·g(y)-g(x) ·f (y) ,且 f(-2)=f(1)≠0,则 g(1)+g(-1)= A -1 B 1 C 2 D -2 答案:A. 17.(抚顺一中 2009 届高三第一次模拟考试) 函数 y= log
1 2

( x ? 1) 的定义域是
2

A

[- 2 ,-1)∪(1, 2 ]

B D

(- 2 ,-1)∪(1, 2 ) (-∞,-1)∪(1,+∞)

C [-2,-1)∪(1,2] 答案:A.

18.(抚顺一中 2009 届高三第一次模拟考试) 2 2 y =x 与 y=x 所围成图形的面积(阴影部分)是 A
1 3

B

2 3

C

1 4

D

1 2

答案:A. 19.(抚州一中 2009 届高三第四次同步考试) 设定义在 R 上的函数 f(x)存在反函数,且对于任意 x ? R 恒有 f ( x ? 1) ? f ( ? x ? 3 ) ? 2 ,则
f
?1

( 2009 ? x ) ? f

?1

( x ? 2007 ) 的值是

A.-2 答案:A.

B.0

C.2

D.不确定,与 x 有关

20.(2008 年东北三省三校高三第一次联合模拟考试)
? x3 ? a2x ? 已知函数 f ( x ) ? ? x ? a ?2 ?
?1 A. 答案:C.

x ? a x ? a

是连续函数,则实数 a 的值是(



B.

1

C. ? 1

D. ? 2

21.(2008 年东北三省三校高三第一次联合模拟考试) 函数 f ( x ) 在定义域 R 内可导,若 f ( x ) ? f ( 2 ? x ) ,且当 x ? ( ?? , 1) 时, ( x ? 1) f ? ( x ) ? 0 ,设

1 a ? f ( 0 ), b ? f ( ), c ? f ( 3 ). 则( 2

) C. c ? b ? a D. b ? c ? a

A. a ? b ? c 答案:B.

B. c ? a ? b

22.(2008 年东北三省三校高三第一次联合模拟考试) 若函数 f ( x ? 2 ) ? ?
1 2
? tan x ? log 2 ( ? x ) x ? 0 x ? 0

,则 f (

?
4

? 2 ) f ( ? 2 ) 等于

A.

B. ?

1 2

C.2

D. ? 2

答案:C. 23.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟)
?1 2 ? x ,x ? 2 已知函数 f ( x ) ? ? 2 在定义域内是连续函数,则 a= ? log ( x ? a ), x ? 2 2 ?





A.-1 答案:D.

B.1

C.

1 2

D.2

二、填空题 1.(沈阳市回民中学 2008-2009 学年度上学期高三第二次阶段测试) 已知 f (3 ) ? 4 x log 2 3 ? 233 ,则 f (2) ? f (4) ? f (8) ? ? ? f (2 ) 的值等于
x

9



答案:2277. 2.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 定义在[-2,2]上的偶函数 g ( x ), 当 x ? 0 时, g ( x ) 单调递减,若 g (1 ? m ) ? g ( m ) ? 0 , 则实数 m 的取值范围是 答案: ? 1 ? m ?
1 2



3.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 函数 f ( x ) ?
| x ? 2 | ?1 lo g 2 ( x ? 1)

的定义域为

.

答案: [3, ? ? )

4.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考)

函数 f ( x ) 具有如下两个性质: (1)对任意的 x1 , x 2 ? R ( x1 ? x 2 ) 有 象关于点(1,0)成中心对称图形。写出 f ( x ) 的一个解析表达式 个表达式即可) 。 答案:y=x-1(不唯一) 5.(抚州一中 2009 届高三第四次同步考试) 设 函 数 f (x) ?
a a
x x

f

? x2 ? ?

f

? x1 ?

x 2 ? x1

>0; (2)图

.(只要求写一

?1

( a ? 0 , a ? 1) , [ m ] 表 示 不 超 过 实 数 m 的 最 大 整 数 , 则 函 数

[ f (x) ?

1 2

] ? [ f (? x) ?

1 2

] 的值域是



答案: {0,1} 6.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟) 函数 f ( x ) ? ln x , 则 f [ f 答案:-3. 7.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟) 曲线 y ?
2 x
?1

( ? 3 )] ?



在点(1,2)处的切线为



答案: y ? ? 2 x ? 4

8.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟)
?x ? 1 ? 若函数 f ( x ) ? ? a ?x ? b ? ( x ? 0) ( x ? 0 ) 是奇函数,则 a+b= ( x ? 0)



答案:1. 9.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟) 当 x= 答案:-1. 三、解答题 1.(沈阳二中 2009 届高三期末数学试题) 已知函数 f ( x ) ? 1 ? sin x cos x , g ( x ) ? cos ( x ?
2

时,函数 f ( x ) ? xe 取得最小值。
x

?
12

).

(Ⅰ)设 x ? x 0 是函数 y ? f ( x ) 图象的一条对称轴,求 g ( x 0 ) 的值; (Ⅱ)求使函数 h ( x ) ? f (
?x
2 ) ? g(

?x
2

)( ? ? 0 ) 在 区 间 [ -

2? 3

,

?
3

]上

是增函数的 ? 的最大值. 答案: (Ⅰ) 由题设知 f ( x ) ? 1 ? 以 2 x 0 ? k? ?
g (x0 ) ? 1

1 2

sin 2 x ,因为 x ? x 0 是函数 y ? f ( x ) 图象的一条对称轴, 所

?
2

, ( k ? Z ) ,??????2 分

? )] 6 2 3 1 2 1 当 k 为偶数时, g ( x 0 ) ? (1 ? cos ? ) ? ; 2 3 4 1 ? 3 当 k 为奇数时, g ( x 0 ) ? (1 ? cos ) ? ??????6 分 2 3 4 1 1 ? (Ⅱ)因为 h ( x ) ? (1 ? sin ? x ) ? [1 ? cos( ? x ? )] 2 2 6
2 [1 ? cos( 2 x 0 ? )] ?
? 1 2 (sin ? x ? 3 2 cos ? x ? 1 2 sin ? x ) ? 3 2 ? 1 2 sin( ? x ?

?

1

[1 ? cos( k ? ?

2

?
3

)?

3 2

??????8 分

当 x ? [?

2? 3

,

?

] 时, ? x ? ,

?
3

? [?

2 ?? 3

?

? ??
, 3 3

?

?
3

],

因为 h ( x ) 在 [ ? 所以 [ ?
2 ?? 3

3 2? 3 ?

?
3

] 上是增函数,且 ? ? 0 , ?

? ??
, 3 3

?
3

] ? [?

? ?
, 2 2

],

? ? ? 2?? ?? 3 ? 3 ? ? 2 1 ? 即? ,解得 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ? ? 3 3 2 ?

所以 ? 的最大值为

1 2

???12 分

2.(沈阳二中 2009 届高三期末数学试题) (理)已知函数 f ? x ? ? ln x ?
1 x ? a x , x ? ? 0, ? ? ? (a 为实常数).

(Ⅰ)当 a = 0 时,求 f ? x ? 的最小值; (Ⅱ)若 f ? x ? 在 [ 2, ? ? ) 上是单调函数,求 a 的取值范围; (Ⅲ)设各项为正的无穷数列 { x n } 满足 ln x n ? 证明: x n ≤1(n∈N ).
*

1 x n ?1

? 1?n ? N

*

?,

(文) 设定义在 R 上的函数 f ( x ) ? a 0 x 4 ? a1 x 3 ? a 3 x ? a 4 取极大值
2 3

( a 0 , a1 , a 3 , a 4 ? R ) ,当 x=-1 时,f(x)

, 且函数 y=f(x)的图象关于点(0,0)对称.

(Ⅰ)求 f(x)的表达式; (Ⅱ)试在函数 y=f(x)的图象上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在
[? 2, 2 ] 上;

(Ⅲ)设 x n ? [ ,1)
2

1

ym ? (?

2,?

2 3

2]

,求证: | f ( x n ) ? f ( y m ) |?

4 3

.

答案: (理)(1)a = 0 时, f ? ( x ) ? ∴

x ?1 x
2

, 当 0<x<1 时 f ?( x ) ? 0 ,当 x>1 时 f ?( x ) ? 0 ,

f ( x ) min ? f (1) ? 1 ??????????????2 分

(2)

f ?( x ) ?

1 x

?

1 x
2

? a ?

ax

2

? x ?1 x
2

a≥0 时, ax 2

? x ? 1 在[2,+∞)上恒大于零,即 f ? ( x ) ? 0

,符合要求?4 分

当 a<0 时,令 g ( x ) ? ax 2 ? x ? 1 ,g (x)在[2,+∞)上只能恒小于零
? ?1 ? 4 a ? 0 ? 或 ? g (2) ? 0 ? 1 ? 2 ?? ? 2a
,? 1 4

故△=1+4a≤0

,解得:a≤ ?

1 4

∴a 的取值范围是 ( ??

] ? [ 0 ,? ? )

?6 分
? b xn ? 1 ? ln x n ? 1 x n ?1

(3)反证法:假设 x1 = b>1,由 ( 2 ) ln ∴
1?

xn b

, ??? 8 分 故

b xn
b x1

? ln b ?
? ln b ? 1 x2

1 x n ?1

(n ? N )
1 b (ln b ? 1 x3 ) ? ln b ? ln b b ? 1 b
2

*

? ln b ?

( lbn ?

1 x4

) ??

? (1 ?

1 b
1 b

?

1 b
2

?? ?

1 b
n

? ? ) ln b ?

1 1? 1 b

ln b

,即

1 1? 1 b

ln b ? 1

① 又 由 (2) 当 b > 1 时 ,

ln b ?

? 1 ,∴ ln b ? 1 ?

1 b

?

1 1? 1 b

ln b ? 1

与①矛盾,故 b≤1,即 x1≤1; * 同理可证 x2≤1,x3≤1,?,xn≤1(n∈N )

????14 分

3 (文)解:由 f(x)的图象关于点(0,0)对称,即 f(x)是奇函数,所以 f ( x ) ? a1 x ? a 3 x .

? f '( ? 1) ? 3 a 1 ? a 3 ? 0 ? 由题意,得 ? 2, f ( ? 1) ? ? a 1 ? a 3 ? ? 3 ?

1 ? ? a1 ? 所以 ? 3 , ?a ? ?1 ? 3

f ( x) ?

1 3

x ?x.
3

可以检验 f(x)满足题意:当 x=-1 时,f(x)取极大值 所以,所求 f ( x ) ?
2

2 3

.

1 3

x ? x . ?????4 分
3

(II) f '( x ) ? x ? 1

设 所 求 两 点 为 (x1,f(x1)),(x2,f(x2))

x1,x2 ∈ [ [ ? 2 , 2 ] , 得
? x12 ? 1 ? ? 1 ? ? x2 ? 1 ? 1 ?
2

f '( x1 ) f '( x 2 ) ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? ? 1
2 2

2 因 为 x12 ? 1, x 2 ? 1 ? [ ? 1,1] , 所 以 ?



? x12 ? 1 ? 1 ? 即 ( x1 , x 2 ) ? (0, ? ? 2 ? x2 ? 1 ? ? 1 ?

2 ) 或 (?

2 , 0 ) 从而可得所求两点的坐标为:

(0,0), ( 2 , ?
1

2 3

) 或者(0,0), ( ?
1

2,

2 3

). ?????9 分
1 1 , 1 )上 递 减 , 得 f ( x n ) ? ( f (1), f ( )] , 即 2 2

(III) x n ? [ ,1) , 当 x ? [ ,1) 时 f '( x ) ? 0 , 即 在 [
2 2 f ( xn ) ? (? 2 3 ,? 11 24 ] . ym ? (? 2,? 2 3

( 2 ] , 用 导 数 可 求 得 f ( ym )? ( f ?

2 )f ?( ,即 , 1)]

f ( ym ) ? (

2 2 , ], 3 3

所以 | f ( x n ) ? f ( y m ) |? f ( y m ) ? f ( x n ) ?

2 3

? (?

2 3

)?

4 3

??????14 分

3.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 已知函数 f ( x ) ? mx ? 3 ( m ? 1) x ? ( 3 m ? 6 ) x ? 1, 其中 m ? 0 。
3 2

(1)若 f ( x ) 的单调增区间是(0,1)求 m 的值。 (2)当 x ? [? 1,1] 时,函数 y ? f ( x ) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m,求 m 的取值范围。 答案: (1) f ? ( x ) ? 3 mx
? f ( x )的单调增区间是
2

? 6 ( m ? 1) x ? 3 m ? 6
( 0 ,1),

? f ( x ) ? 3 mx

2

? 6 ( m ? 1) x ? 3 m ? 6 ? 0 的解集为(0,1) ,
2

则 0,1 是关于 x 的方程 3 mx
? m ? ?2

? 6 ( m ? 1) x ? 3 m ? 6 ? 0 的两根

(2)由已知,当 x ? [ ? 1,1]时 , f ? ( x ) ? 3 m ,
? mx
2

? 2 ( m ? 1) x ? 2 ? 0

又 m<0,要使 g ( x ) ? mx
? g ( ? 1) ? 0 ? g (1) ? 0

2

? 2 ( m ? 1) x ? 2 ? 0 在 x ? [ ? 1,1] 上恒成立
4 3

只需满足 ?

, 解得 ?

? m ? 0

4.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 已知函数 f ( x ) ?
1 2 x ? ln x ? ( a ? 4 ) x 在 (1, ?? ) 上是增函数。
2

(1)求实数 a 的取值范围; (2)在(1)的结论下,设 g ( x ) ? | e ? a | ?
x

a

2

, 其中 x ? [ 0 , ln 3 ], 求函数 g ( x ) 的最小值。

2

答案: (1) f ? ( x ) ? x ?

1 x

? a ? 4.

? f ( x ) 在 (1, ?? ) 上是增函数,

? x?

1 x

? a ? 4 ? 0 在 (1, ?? ) 上恒成立, 1 x ) 恒成立,

即a ? 4 ? (x ?
? x? 1 x ? 4 ? (x ? 1 x

? 2 (当且仅当 x ? 1时 , ? 成立 ) ) ? 2.

所以 a ? 2 (2)设 t ? e , 则 h ( t ) ? | t ? a | ?
x

a

2

.

2
? 0 ? x ? ln 3 , ? 1 ? t ? 3,
2 ? a ?t?a? ,1 ? t ? a , ? ? 2 当 2 ? a ? 3时 , h ( t ) ? ? 2 ?t ? a ? a , a ? t ? 3 . ? 2 ?

? h (t ) 的最小值为 h ( a ) ?

a

2

.

2 a
2

当 a ? 3时 , h ( t ) ? ? t ? a ?

.

2

? h (t ) 最小值为 h ( 3 ) ? a ? 3 ?

a

2

.

2 a
2

所以,当 2 ? a ? 3时 , g ( x ) 的最小值为

,当 a>3 时,

2 a
2

g ( x )的最小值为

a?3?

.

2

5.(辽宁省沈阳二中 2008—2009 学年上学期高三期中考试) 已知函数 f ( x ) ? ( x ? 1)
2.

(1)当 1 ? x ? m 时 , 为等式 f ( x ? 3 ) ? x 恒成立,求实数 m 的最大值; (2)在曲线 y ? f ( x ? t ) 上存在两点关于直线 y ? x 对称,求 t 的取值范围; (3)在直线 y ? ?
1 4 上取一点 P , 过点 P 作曲线 y ? f ( x ? t ) 的两条切线 l1、l2,求证:l1⊥l2
?y ? x ? y ? ( x ? 2)
2

答案: (1)直线 y=x 与曲线 y ? f ( x ? 3 ) 的交点可由 ?

? x ? 5x ? 4 ? 0
2

求得交点为(1,1)和(4,4) ,此时 y ? f ( x ? 3 ) 在区间[1,4]上图象在直线 y=x 的下面, 即 f ( x ? 3 ) ? x 恒成立,所以 m 的最大值为 4。 (2) 设曲线上关于直线 y=x 的对称点为 A x 1 , y 1 ) B x 2 , y 2 ) 线段 AB 的中点 M x 0 , y 0 ) ( 和( , ( , 直线 AB 的方程为: y ? ? x ? b .
? y ? ( x ? t ? 1) 2 2 2 ? x ? ( 2 t ? 3 ) x ? ( t ? 1) ? b ? 0 ? ?y ? ?x ? b
? ? ( 2 t ? 3 ) ? 4[( t ? 1) ? b ] ? 4 t ? 5 ? 4 b ? 0
2 2

(1 分)
2t ? 3 2 ?b

x1 ? x 2 ? ? 2 t ? 3, x 0 ? ?

2t ? 3 2

, y0 ? ? x0 ? b ?

又因为 AB 中点在直线 y=x 上,所以 y 0 ? x 0 , 得 b ? ? 2 t ? 3 , 代入 (1) 式 , 得 t ? ? (3)设 P 的坐标为 ( a , ?
1 4 7 4 ) ,过 P 的切线方程为: y ? 1 4 ? k ( x ? a ) ,则有 .

9分

? y ? ( x ? t ? 1) 2 1 ? 2 2 ? x ? [ 2 ( t ? 1) ? k ] x ? ( t ? 1) ? ka ? ? 0 ? 1 4 ? k (x ? a) ?y ? 4 ?

? ? [ 2 ( t ? 1) ? k ] ? ? 4 [( t ? 1) ? ka ?
2 2
2

1 4

]? k

2

? 4 (t ? 1 ? a ) k ? 1 ? 0 ,

直线 l 1 , l 2 的斜率 k 1 和 k 2 的方程 k ? 4 ( t ? 1 ? a ) k ? 1 ? 0 的两根, 则 k 1 ? k 2 ? ? 1, 所以 l 1 ? l 2 . 14 分

6.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 已知函数
? ( 2 , ?? )
f ( x ) ? ax
2

? ( b ? 8 ) x ? a ? ab ( a ? 0 ) ,当 x ? ( ? 3, 2 ) 时, f ( x ) ? 0

;当 x ? ( ? ? ,? 3 )

时, f ( x ) ? 0 .

(1)求 f ( x ) 在[0,1]内的值域; (2) c 为何值时,不等式 ax
2

? bx ? c ? 0 在[1,4]上恒成立.

答案:由题意得 x ? ? 3 和 x ? 2 是函数 f ( x ) 的零点且
? 0 ? a ( ? 3 ) 2 ? ( b ? 8 ) ? ( ? 3 ) ? a ? ab ( a ? 0 ) ,则 ? (此 2 ? 0 ? a ? 2 ? ( b ? 8 ) ? 2 ? a ? ab

处也可用韦达定理解)解得: ?
? f ( x ) ? ? 3 x ? 3 x ? 18
2

?a ? ?3 ? b ? 5

----------------------------6 分

(1)由图像知,函数在 ?0 ,1? 内为单调递减,所以:当 x ? 0 时, y ? 18 ,当 x ? 2 时, y ? 12 .
? f ( x ) 在 ?0 ,1? 内的值域为 ?12 ,18 ?

---------------------------- 8 分

(2)令 g ( x ) ? ? 3 x ? 5 x ? c
2

因为 g ( x ) 在 [ , ? ? ] 上单调递减,要使 g ( x ) ? 0 在[1,4]上恒成立,
6

5

则需要 g (1) ? 0 ,即 ? 3 ? 5 ? c ? 0 解得 c ? ? 2 ? 当 c ? ? 2 时,不等式 ax
2

? bx ? c ? 0 在[1,4]上恒成立.

------12 分

7.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考)

已知函数 f ( x ) ? 4 x ? 3 x co s ? ?
3 2

1 32

,其中 x ? R , ? 为参数,且 0≤ ? ≤

?
2

.

(1)当 cos ? ? 0 时,判断函数 f ( x ) 是否有极值; (2)要使函数 f ( x ) 的极小值大于零,求参数 ? 的取值范围; (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 ? ,函数 f ( x ) 在区间 ? 2 a ? 1, a ? 内都是增函数, 求实数 a 的取值范围。 答案: (1)当 cosθ =0 时, 4x + (2)f (x)=12x(x/ / 3

1 32

在 R 上为增函数,无极值;----------------2 分 -------------------------------------4 分

cos ?

) ;

令 f (x)=0,x1=0,x2= 列表可知: (列表正确) f(x)极小= f(
?
3
cos ? 2

2 cos ? 2

)=

1 32

-

cos ?
3

>0

4



<θ <

?
2

---------------------------------------------------------8 分

(3)a<0 且 2a-1<a ∴a<0 cos ? 5 或 2a-1<a 且 2a-1> 恒成立, ∴ <a<1 。
2 8 5 8

∴a 的取值范围是:a<0 或

<a<1 。

------------------------------------14 分

8.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 已知函数 f ? x ? ? lo g a
2? x 2?x

(0<a<1) 。

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性; (3)解不等式 f(x)≤loga(3x) 答案: (-2,2) (1) -------------------------------------------------3 分 (2)奇函数 ----------------------------------------------------------6 分
?2 ? x ? 3x ? (3) ? 2 ? x ?3 x? 0 ?

--------------------------------------------------------8 分

∴{x|0<x≤

2 3

或 1 ≤x <2}

--------------------------------------12 分

9.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考)

函数 f ? x ? ? x ? x ? 1 ? ? x ? a ? (a>1) (1)证明:函数 f(x)有两个不同的极值点 x1、x2; (2)若不等式 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 0 成立,求 a 的范围。 答案: (1)f(x)=x -(a+1)x +ax, / 2 f (x)=3x -2(a+1)x+a, ----------------------------------------------2 分 / 令 f (x)=0,得 x1,x2 其中:x1≠x2;可设 x1<x2 列表可知(略) 1,x2 是 f(x)的极值点。 ---------------------------------6 分 ,x
2 ( a ? 1) ? ? x1 ? x 2 ? ? 3 (2) ? , a ?x x ? ? 1 2 3 ?
3 2

------------------------------------------------8 分

由 f(x1)+ f(x2)≤0 得

a≤

1 2

或 a≥2 又 a>1 ∴{a|a≥2} 。------------12 分

10.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) f(x)=
1 3

ax +bx +cx+d,其中 a、b、c、是以 d 为公差的等差数列,且 a>0,d>0,设 x0 为 f
2b a

3

2

(x)的极小值点。在[1/

,0]上,f (x)在 x1 处取最大值,在 x2 处取最小值,记点 A(x0 ,
/

/

f(x0),B(x1 ,f (x1),C(x2 ,f (x2)。 ) ) ) (1)求 x0 的值; (2)若△ABC 有一条边平行于 x 轴,且面积为 2+ 3 ,求 a、d 的值。 答案: (1)∵2b=a+c f (x)=ax +2bx+c= ax +(a+c)x+c=a(x+1) (x+ ∵a>0,d>0,∴
/ / 2 2

(14 分)

a ? 2d a



-----------------4 分

a ? 2d a

>1, ,x2=-1,x1<x2,

令 f (x)=0,得:x1=-

a ? 2d a

列表可知,x1 为极小值点,x2 为极大值点;∴x0=-1;
b a

---------------------------6 分
b a

(2)f (x)的图象是开口向上,对称轴为 x=由 f (x)在[12b a
/

/

的抛物线,/

<-1,

2b a

,0]上的图象可知:最大值为 f (0)=c,即 x1=0,
b a

f (x)在[1-

/

,0]上的最小值为 f (-

/

)=-

d a

2

,即 x2=-

b a

,-----------------8 分

∴A(-1,-

a 3

) ,B(0,c) ,C(-

b a

,-

d a

2

) ,

--------------------------------10 分

∵△ABC 的一边平行于 x 轴,∴AC 平行于 x 轴, ∴a 3

=-

d a

2

∴a= 3 d, ---------------------------------------------------12 分

b=( 3 +1)d,c=( 3 +2)d,代入 S△=
1 2

|(

b a

-1) (C+

a 3

)|=2+ 3 得:

∴d=3,a=3 3 。 ---------------------------------------------------------14 分

11.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 函数 f(x)=ax·2
X

(1)若 f(x)在 x=0 处的切线为 y=x,求实数 a 的值; (2)若 a≠0,求函数 f(x)的增区间。 答案: (1)f (x)= a·2 +ax·2 ln2 --------------------------------------------(2 分) K= f (0)=1,得:a·2 =1,a=1
/ X X / 0 / X X

---------------------------------------(6 分)

(2)令 f (x)= a·2 +ax·2 ·ln2>0, ①当 a>0 时,x>-log2e,∴f(x)增区间是: (-log2e,+∞) ---------------(9 分) ; ②当 a<0 时,x<-log2e,∴f(x)增区间是: (-∞,-log2e) ;----------------(12 分)

12.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 2 2 已知 m∈R,设 p:x1 和 x2 是方程 x -ax-2=0 的两个实根,不等式|m -5m-3|≥|x1-x2|对任意实数 a ∈[-1,1]恒成立;Q:函数 f(x)=x +mx +(m+ 且 Q 正确的 m 的取值范围。
?? ? a 2 ? 8 ? 0 ? 2 2 答案:P: ? x 1 ? x 2 ? a ,又∵|x1 –x2| =(x1 +x2) -4x1x2≤ 9 ? x x ? ?2 ? 1 2
3 2

4 3

)x+6 在(-∞,+∞)上有极值,求使 P 正确

∴ |m -5m-3|≥3,--------------------------------------------------------(4 分) m ≤-1 或 0≤m ≤5 或 m≥6, -------------------------------------------(6 分)

2

Q:f (x)=3x +2mx+(m+

/

2

4 3

)=0,①△<0,无极值;②△=0 时,列表可知,无极值;

③△>0 时,列表可知,有极值。 ------------------------------------------(10 分)解 得: m<-1 或 m>4 ∵P、Q 同时为真,则:m<-1 或 4<m≤5 或 m≥6 。-----------------------(12 分) 13.(抚州一中 2009 届高三第四次同步考试) 已知函数 f ( x ) ? ax ? bx
3 2

? cx ( a ? 0 ) ,当 x ? ? 1 时 f ( x ) 取得极值 5,且 f (1) ? ? 11 .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间和极值; (Ⅱ)证明对任意 x1 , x 2 ? (? 3 ,3 ) ,不等式 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? 32 恒成立. 答案: (Ⅰ) f ( x ) ? ax ? bx
3 2

? cx ( a ? 0 )

f ? ( x ) ? 3 ax

2

? 2 bx ? c

? f (1) ? ? 11 ? a ? b ? c ? ? 11 ? a ?1 ? ? ? 由题意可得: ? f ( ? 1) ? 5 ? ? ? a ? b ? c ? 5 ? ? b ? ? 3 ? f ? ( ? 1) ? 0 ?3a ? 2b ? c ? 0 ?c ? ?9 ? ? ?
3 2 因此, f ( x ) ? x ? 3 x ? 9 x , f ? ( x ) ? 3 ( x ? 1)( x ? 3 )

当 x ? ( ?? , ? 1) ? ( 3 , ?? ) 时, f '( x ) ? 0 ,当 x ? (? 1,3 ) 时, f '( x ) ? 0 , 所以函数单调增区间为 ( ?? , ? 1) , ( 3 , ?? ) ,单调减区间为 ( ? 1, 3 ) .
f ( x ) 在 x ? ? 1 处取得极大值 5,在 x ? 3 处取得极小值–27
3 2



(7 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) ? x ? 3 x ? 9 在 ( ? 3 , ? 1) 上递增,在 ( ? 1, 3 ) 上递减, 所以, x ? (? 3 ,3 ) 时, f ( x ) ? f ( ? 1) ? 5 , f ( x ) ? f ( ? 3 ) ? ? 27 所以,对任意 x1 , x 2 ? (? 3 ,3 ) 恒有 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? | 5 ? ( ? 27 ) |? 32 . (12 分)

14.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟) 已知函数 f ( x ) ?
1 2 x ? bx
4 3

? cx

2

? dx ? e ( x ? R ) 在 x ? 0 和 x ? 1 处取得极值。

(1)求 d 的值及 b,c 的关系式(用 c 表示 b) ,并指出 c 的取值范围; (2)若函数 f ( x ) 在 x ? 0 处取得极大值 ①判断 c 的取值范围; ②若此时函数 f ( x ) 在 x ? 1 时取得最小值,求 c 的取值范围。
3 答案: (1)? f ? ( x ) ? 2 x ? 3 bx 2

? 2 cx ? d

又? f ? ( 0 ) ? f ? (1) ? 0 ,
?d ? 0 ?? ? 2 ? 3b ? 2 c ? d ? 0
?d ? 0 ? ?? 2 c ? 2 ????????????4 分 ?b ? ? 3 ?
3 2 ? f ? ( x ) ? 2 x ? 2 ( c ? 1) x ? 2 cx

即: f ?( x ) ? 2 x ( x ? 1)( x ? c )
? c ? 0 且 c ? 1 即:c 的取值范围是 { c | c ? 0 且 c ? 1} ????????6 分

(2)① f ?( x ) ? 2 x ( x ? 1)( x ? c )
? 当 c ? 0时 , 有
( ?? , c )

x
f ?( x ) f (x)

c 0 极小值

(c,0) + 递增

0 0 极大值

(0,1) - 递减

1 0 极小值

(1,+ ? ) + 递增

- 递减

符合题意 0<c<1 或 c>1 时,不符合题意 即:c 的取值范围是 { c | c ? 0} ????????10 分 ②由题意得 f ( c ) ? f (1), ??????12 分
1 2
4 3

?

c ?
4

2c ? 2c
4

?c ?e ?
3

1 2

?

2c ? 2 3

?c?e

3

? c ? 2c ? 2c ? 1 ? 0

即: ( c ? 1) ( c ? 1) ? 0
3

? ? 1 ? c ? 0即 : c 的取值范围是 { c | ? 1 ? c ? 0} ??????14 分

15.(2008 年东北三省三校高三第一次联合模拟考试) 已知函数 f ( x ) ?
1 2 x ? ln x ? ( a ? 4 ) x 在 (1, ?? ) 上是增函数.
2

(I)求实数 a 的取值范围; (II)设 g ( x ) ? e
2x

? 2 ae

x

?a

x ? [ 0 , ln 3 ] ,求函数 g ( x ) 的最小值.

答案: (I) f ? ( x ) ? x ?

1 x

? a ? 4 . ?????????????? 2 分

? f ( x ) 在 (1, ?? ) 上是增函数 ? x? ? x? 1 x 1 x ? 4 ? (x ? 1 x ) ? 2.

, 1 x ) 恒成立 .

? a ? 4 ? 0 在 (1, ?? ) 上恒成立 , 即 a ? 4 ? ( x ? ? 2 (当且仅当 x ? 1时 , 等号成立 ),

所以 a ? 2 . ???????????????????5 分 (II)设 t ? e , 则 g ( t ) ? t ? 2 at ? a ? ( t ? a ) ? a ? a ( t >0)
x 2 2 2

? 0 ? x ? ln 3 ,? 1 ? t ? 3 . ????????????????7 分

(1)当 2 ? a ? 3 时, g (t ) 最小值为 a ? a ;??????????10 分
2

(2)当 a ? 3 时, g (t ) 最小值为 9 ? 5 a 。????????????12 分

16.(2008 年东北三省三校高三第一次联合模拟考试) 已知函数 f ( x ) ? x ? ax
3 2

? bx ? c , g ( x ) ? 12 x ? 4 , 若 f ( ? 1) ? 0 , 且 f ( x ) 的图象在点 (1, f (1)) 处

的切线方程为 y ? g ( x ). (I)求实数 a,b,c 的值; (II)求函数 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 的单调区间. 答案: (I)? f ( ? 1) ? 0 ,
? ?1 ? a ? b ? c ? 0.
2 ? f ? ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? b ,



?2 分

又 f ( x )的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为
? f (1) ? g (1) ? 8 , 且 f ? (1) ? 12 .

y ? g ( x ),

即a ? b ? c ? 7 ,
2a ? b ? 9.

② ③

?4 分 ? 6分 ? 7分

联立方程①②③,解得 a ? 3 , b ? 3 , c ? 1 .

(II) h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? x ? 3 x ? 9 x ? 5 .
3 2

h ? ( x ) ? 3 x ? 6 x ? 9 ? 3 ( x ? 3 )( x ? 1).
2

? 9分

令 h ?( x ) ? 0 , 得 x ? ? 3, x ? 1 .

x f′(x) f(x)

(-∞,-3) +

-3 0 极大

(-3,1) -

1 0 极小

(1,+∞) +

故 h(x)的单调增区间为(-∞,-3)(1,+∞) , ,单调减区间为(-3,1)


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