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江苏省宿迁市马陵中学2015届高三数学复习课件:4.7 正弦定理、余弦定理应用举例


§4.7 要点梳理 正弦定理、余弦定理应用举例 基础知识 自主学习 1.解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的 6 个元素中要已知三个(除三角外)才能求 解,常见类型及其解法如表所示. 已知条件 应用定理 一般解法 由 A+B+C =180° ,求角 一边和两角 (如 a,B,C) 正弦定理 A;由正弦定 理求出 b 与 c 在有解时只 有一解. 由余弦定理求第三边 两边

和夹角(如 a,b,C) 余弦定理 正弦定理 c;由正弦定理求出小 边所对的角; 再由 A+B +C=180°求出另一 角.在有解时只有一解 由余弦定理求出角 A、 B;再利用 A+B+C= 180° ,求出角 C. 在有 解时只有一解 三边(a,b,c) 余弦定理 由正弦定理 求出角 B;由 A+B+C= 两边和其中 一边的对角 (如 a,b,A) 正弦定理 余弦定理 180° ,求出角 C;再利用正 弦定理或余 弦定理求 c. 可有两解,一 解或无解 2. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题 型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计 算面积问题、航海问题、物理问题等. 3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和 目标视线的夹角,目标视线在水平视线上 方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯 角(如图①). (2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏 东 30° ,北偏西 45° ,西偏北 60° 等; (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角,如 B 点的方位角为 α(如图②). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 基础自测 1.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船, 船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部 测得俯角分别为 45° 和 60° ,而且两条船与 炮 台 底 部连 线 成 30° 角 , 则 两 条船 相 距 10 3 ________ m. 解析 如图,OM=AOtan 45° =30, 3 ON=AOtan 30° = ×30=10 3, 3 由余弦定理得, MN = 3 900+300-2×30×10 3× = 2 300=10 3(m). 2.在某次测量中,在 A 处测得同一半平面方 向的 B 点的仰角是 60° , C 点的俯角是 70° , 130° 则∠BAC=________. 解析 由已知∠BAD=60° ,∠CAD=70° , ∴∠BAC=60° +70° =130° . 3.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔的塔 顶与塔底的俯角分别是 30° 、60° ,则塔高 400 为________ 3 m. 解析 如图所示,设塔高为 h m. 由题意及图可知: 200 (200-h)· tan 60° = . tan 60° 400 解得:h= (m). 3 4. 某人向正东方向走 x km 后, 他向右转 150° , 然后朝新方向走 3 km,结果他离出发点恰 3或 2 . 3 好 3 km,那么 x 的值为______ 解析 如图,在△ABC 中,AB=x,BC=3, AC= 3,∠ABC=30° , 由余弦定理得( 3)2=32+x2-2×3x×cos 30° , 即 x2-3 3x+6=0,解得 x1= 3,x2=2 3, 经检验均合题意. 5.如图,在△ABC 中,若 A=120° , AB=5,BC=7,则△ABC 的面积 15 3 S=________. 4 解析 设 AC=x,则 72=x2+

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