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2016年贵州省黔东南州高考数学模拟试卷(理科)(解析版)


六盘水外国语实验学校 2016 年 8 月第一次月考数学试卷 (理科)
一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 題目要求的。 ) )

1.已知集合 A={x|x2﹣2x﹣3>0},B={x|2<x<4},则集合 A∩B=( A. (1,4)B. (2,4)C. (2,3)D. (3,4)

r />2.设 x∈R,则“ x ? 2 < 2”是“x 2 + x ? 2 > 0”的( ) A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 某几何体三视图如下, 图中三个等腰三角形的直角边长都是 2, 该几何体的体积为 ( )

A.

B.

C.4

D.

4.下列命题中正确的是( ① ?x ∈ R, x 4 > x 2



② 若 p∨q 是假命题,则 p,q 都是假命题 3 2 ③ 命题“?x ∈ R, x 3 ? x 2 + 1 ≤ 0”的否定是“?x0 ∈ R, x0 ? x0 + 1 > 0” A. 0 B.1 C.2 D.3 5.若{an}是等差数列,公差 d≠0,a2,a3,a6 成等比数列,则该等比数列的公比为( A.1 B.2 C.3 D.4 6.阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( ) )

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A.3

B.4

C.5

D .6 ,则(x﹣2)2+y2 的最小值为(

7.变量 x、y 满足条件



A.

B.

C.

D.5 )

f(2x) 8.函数 f(x)的定义域是[2,+∞),则函数 y= 的定义域是( x ?2 A.[1,+∞) B.(-∞, 1] C.[1,2)∪(2,+∞) D.[2,+∞)

9.过点(﹣2,0)的直线 l 与圆 x2+y2=5 相交于 M、N 两点,且线段 MN=2 的斜率为( ) A.± B.± C.±1 D.±

,则直线 l

10.设不等式组

表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐 ) D. +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A、B 分别是 C1、C2 在 )

标原点的距离小于 2 的概率是( A. B. C.

11.如图 F1、F2 是椭圆 C1:

第二、四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是(

A.

B.

C.

D.
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12.已知函数 f(x)=x﹣lnx+k,在区间[

,e]上任取三个数 a,b,c,均存在以 f(a) ,f

(b) ,f(c)为边长的三角形,则 k 的取值范围是( ) A. (﹣1,+∞)B. (﹣∞,﹣1)C. (﹣∞,e﹣3)D. (e﹣3,+∞) 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知向量 14.在 于 . ,若 f(x)≥ax﹣1 恒成立,则实数 a 的取值范围 ⊥ ,| |=3,则 ? = . 的系数等

(n∈N*)的展开式中,所有项系数的和为﹣32,则

15.已知函数 f(x)= 是 .

16.已知数列{an}满足:a1=2,an+1=an2﹣nan+1,令 bn= 和 Sn= .

,则数列{bn}的前 n 项

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.条件甲:x 2 + 3x ? 4 < 0 条件乙: x (x + a)(x ? 2a) < 0, 其中 a ∈ R 若条件甲是条件乙的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围。 18.已知二次函数 f(x)的图像过点 A(-1,0),B(3,0),C(1,-8) ① 求 f(x)的解析式。 ② 求 f(x)在 x∈[0,3]上的值域。 ③ 求不等式 f(x)≥0 的解集。 19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠ADC=60°,面 PCD⊥面 ABCD, PC=PD=CD=2,点 M 为线段 PB 上异于 P、B 的点. (Ⅰ)当点 M 为 PB 的中点时,求证:PD∥平面 ACM (Ⅱ)当二面角 B﹣AC﹣M 的余弦值为 时,试确定点 M 的位置.

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20. y2=2px x2﹣4x+3+y2=0 已知抛物线 E: (p>0) 的准线与 x 轴交于点 K, 过 K 点作曲线 C: 的切线,切点 M 到 x 轴的距离为 (Ⅰ)求抛物线 E 的方程 (Ⅱ)设 A,B 是抛物线 E 上分别位于 x 轴两侧的两个动点,且 ? = (其中 O 为坐

标原点) (i)求证:直线 AB 上必过定点,并求出该定点 Q 的坐标 (ii)过点 Q 作 AB 的垂线与抛物线交于 G,D 两点,求四边形 AGBD 面积的最小值.

21.已知函数 f(x)=

lnx+

﹣x﹣3(a>1)

(Ⅰ)讨论函数 f(x)在(0,1)上的单调区间 (Ⅱ)当 a≥3 时,曲线 y=f(x)上总存在相异两点 P,Q,使得曲线 y=f(x)在 P,Q 处的 切线互相平行,求线段 PQ 中点横坐标的取值范围.

[选修 4-1:几何证明选讲】 22. CD 是∠ACB 的角平分线, AB=2AC △ ADC 的外接圆交 BC 于点 E, 如图, 在△ ABC 中, BE=2AD (Ⅰ)求证: ; (Ⅱ)当 AC=3,EC=6 时,求 AD 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知曲线 C:9x2+4y2=36,直线 l:

(t 为参数)

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小 值. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (选做题)已知函数 f(x)=|2x﹣1|+2,g(x)=﹣|x+2|+3. (Ⅰ)解不等式:g(x)≥﹣2; (Ⅱ)当 x∈R 时,f(x)﹣g(x)≥m+2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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2016 年贵州省黔东南州高考数学模拟试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、一、选择题(本大題共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合題目要求的?) 1.已知集合 A={x|x2﹣2x﹣3>0},B={x|2<x<4},则集合 A∩B=( ) A. (1,4)B. (2,4)C. (2,3)D. (3,4) 【考点】交集及其运算. 【分析】先求出集合 A,再由交集定义能求出集合 A∩B. 【解答】解:∵集合 A={x|x2﹣2x﹣3>0}={x|x<﹣1 或 x>3},B={x|2<x<4}, ∴集合 A∩B={x|3<x<4}=(3,4) . 故选:D.

2.已知复数 z=

,则 对应的点在(



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】化简已知复数,可得其共轭复数 ,由复数的几何意义可得. 【解答】解:化简可得 z= = = =﹣2+i, ∴ =﹣2﹣i, 对应的点为(﹣2,﹣1) ,在第三象限, 故选:C 3. 某几何体三视图如下, 图中三个等腰三角形的直角边长都是 2, 该几何体的体积为 ( )

A.

B.

C.4D.

【考点】由三视图求面积、体积.

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【分析】由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,代入锥体体积 公式,可得答案. 【解答】解:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 其底面面积 S= 高 h=2, 故几何体的体积 V= 故选:A. 4.下列命题中正确的是( A.cosα≠0 是 α≠2kπ+ ) = , ×2×2=2,

(k∈Z)的充分必要条件

B.函数 f(x)=3ln|x|的零点是(1,0)和(﹣1,0) C.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1) ,若 P(ξ>1)=p,则 P(﹣1<ξ<0)= D.若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后,则样本的方差会改变 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】A.根据充分条件和必要条件的定义进行判断. B.根据函数零点的定义进行判断. C.根据正态分布的大小进行求解. D.根据方差的性质 进行判断. 【解答】解:A.由 cosα≠0 得 α≠kπ+ ,则 cosα≠0 是 α≠2kπ+ (k∈Z)的充分不必要条 ﹣p

件,故 A 错误, B.由 f(x)=0 得 ln|x|=0,z 则|x|=1,即 x=1 或 x=﹣1,即函数 f(x)=3ln|x|的零点是 1 和 ﹣1,故 B 错误, C.随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1) ,则图象关于 y 轴对称, 若 P(ξ>1)=p,则 P(0<ξ<1)= ﹣p,即 P(﹣1<ξ<0)= ﹣p,故 C 正确,

D.若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后,则样本的方差不会改变,故 D 错 误, 故选:C 5.若{an}是等差数列,公差 d≠0,a2,a3,a6 成等比数列,则该等比数列的公比为( A.1B.2C.3D.4 【考点】等比数列的通项公式. 【分析】由已知条件求出 ,所以该等比数列的公比为 d= ,由此能求出结 )

果. 【解答】解:∵{an}是等差数列,公差 d≠0,a2,a3,a6 成等比数列, ∴(a1+2d)2=(a1+d) (a1+5d) ,

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解得



∴该等比数列的公比为 d=

=

=3.

故选:C. 6.阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( )

A.3B.4C.5D.6 【考点】程序框图. 【分析】通过程序框图的要求,写出前四次循环的结果得到输出的值. 【解答】解:该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1,a=2; 经第二次循环得到 i=2,a=5; 经第三次循环得到 i=3,a=16; 经第四次循环得到 i=4,a=65 满足判断框的条件,执行是,输出 4 故选 B

7.变量 x、y 满足条件

,则(x﹣2)2+y2 的最小值为(



A.

B.

C.

D.5

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,设 z=(x﹣2)2+y2,利用距离公式进行求解即可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域, 设 z=(x﹣2)2+y2,则 z 的几何意义为区域内的点到定点 D(2,0)的距离的平方, 由图象知 CD 的距离最小,此时 z 最小.

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,即 C(0,1) ,

此时 z=(x﹣2)2+y2=4+1=5, 故选:D.

8.在平行四边形 ABCD 中, ? =0,AC= ﹣AC﹣B,则 AC 与 BD 所成的角的余弦值为( A. B. C. D.

,BC=1,若将其沿 AC 折成直二面角 D )

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由 ? =0 得到 AC⊥CB,以 C 为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量方 法求出异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值 【解答】解:∵ ? =0,AC= ,BC=1,如图

∴AC⊥CB, ∴AC=CD= , 过点 A 作 AE⊥CD, 在 Rt△ CAD 和 Rt△ AEC,sin∠ACD= 则 AE= ,CE= , = = ,

在空间四边形中,直二面角 D﹣AC﹣B, ∵BC⊥AC,BC⊥CD, ∴BC⊥平面 ACD, 以 C 点为原点,以 CD 为 y 轴,CB 为 x 轴,过点 C 与 EA 平行的直线为 x 轴,建立空间直 角坐标系,

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∴C(0,0,0) ,A( ∴ ∴| =( ,



,0) ,B(0,0,1) ,D(0, =(0, =2, ,﹣1) ,

,0) ,

,0) ,

|= =2, ? , 设 AC 与 BD 所成的角为 θ, 则 cosθ= 故选:B. =

=



9.过点(﹣2,0)的直线 l 与圆 x2+y2=5 相交于 M、N 两点,且线段 MN=2 的斜率为( ) A.± B.± C.±1D.±

,则直线 l

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+2) ,求出圆 x2+y2=5 的圆心,半 径 r= ,再求出圆心到直线 l:y=k(x+2)的距离 d,利用过点(﹣2,0)的直线 l 与圆 x2+y2=5 相交于 M、N 两点,且线段 MN=2 ,由勾股定理得 ,由此能求

出 k 的值. 【解答】解:设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+2) , 2 2 圆 x +y =5 的圆心 O(0,0) ,半径 r= , 圆心 O(0,0)到直线 l:y=k(x+2)的距离 d= , ,

∵过点(﹣2,0)的直线 l 与圆 x2+y2=5 相交于 M、N 两点,且线段 MN=2 ∴由勾股定理得 ,

即 5=

+3,

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解得 k=±1. 故选:C.

10.设不等式组

表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐 ) D.

标原点的距离小于 2 的概率是( A. B. C.

【考点】几何概型. 【分析】根据题意,区域 D: 表示矩形,面积为 3.到坐标原点的距离小于 2 的

点,位于以原点 O 为圆心、半径为 2 的圆内,求出阴影部分的面积,即可求得本题的概率. 【解答】解:区域 D: 表示矩形,面积为 3.

到坐标原点的距离小于 2 的点,位于以原点 O 为圆心、半径为 2 的圆内,则图中的阴影面 积为 ∴所求概率为 P= 故选:D. + =

11.如图 F1、F2 是椭圆 C1:

+y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A、B 分别是 C1、C2 在 )

第二、四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是(

A.

B.

C.

D.

【考点】椭圆的简单性质.
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【分析】不妨设|AF1|=x,|AF2|=y,依题意 用双曲线的定义及性质即可求得 C2 的离心率. 【解答】解:设|AF1|=x,|AF2|=y,∵点 A 为椭圆 C1: ∴2a=4,b=1,c= ; ∴|AF1|+|AF2|=2a=4,即 x+y=4;① 又四边形 AF1BF2 为矩形, ∴ + =

,解此方程组可求得 x,y 的值,利

+y2=1 上的点,

,即 x2+y2=(2c)2=

=12,②

由①②得:

,解得 x=2﹣

,y=2+

,设双曲线 C2 的实轴长为 2m,焦距

为 2n, 则 2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2 ∴双曲线 C2 的离心率 e= 故选 D. =

,2n=2c=2 = .



12.已知函数 f(x)=x﹣lnx+k,在区间[

,e]上任取三个数 a,b,c,均存在以 f(a) ,f

(b) ,f(c)为边长的三角形,则 k 的取值范围是( ) A. (﹣1,+∞)B. (﹣∞,﹣1)C. (﹣∞,e﹣3)D. (e﹣3,+∞) 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】由条件可得 2f(x)min>f(x)max 且 f(x)min>0,再利用导数求得函数的最值, 从而得出结论. 【解答】解:任取三个实数 a,b,c 均存在以 f(a) ,f(b) ,f(c)为边长的三角形, 等价于 f(a)+f(b)>f(c)恒成立,可转化为 2f(x)min>f(x)max 且 f(x)min>0. 令 当 时,f'(x)<0; 得 x=1.

当 1<x<e 时,f'(x)>0; 则当 x=1 时,f(x)min=f(1)=1+k, 1+k}=e﹣1+k, 从而可得 故选:D. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知向量 ⊥ ,| |=3,则 ? = 9 .
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=max{

+1+k,e﹣

,解得 k>e﹣3,

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案. 【解答】解:由 ∵| ∴ 故答案为:9. (n∈N*) 的展开式中, 所有项系数的和为﹣32, 则 |=3, . ⊥ ,得 ? =0,即 ?( )=0,

14. 在

的系数等于 ﹣270 .

【考点】二项式定理的应用. 【分析】根据题意,在 中,令 x=1 可得,其展开式所有项系数的和为(﹣2)n, 的指数为 2,可得 r

结合题意可得 n 的值,进而由二项式定理可得其展开式的通项,令 的值,将 r 的值代入展开式的通项,可得答案. 【解答】解:在

中,令 x=1 可得,其展开式所有项系数的和为(﹣2)n,

又由题意可得, (﹣2)n=﹣32,则 n=5, 则( ﹣3)5 的展开式的通项为 Tr+1=C5r( )5﹣r(﹣3)r,

令 5﹣r=2,可得 r=3, 则含 的为 T4=C53( )2(﹣3)3=﹣270,

故答案为﹣270.

15. = 已知函数 f (x)

≥ax﹣1 恒成立, , 若f (x) 则实数的取值范围是 ﹣

2≤a≤0 . 【考点】函数恒成立问题. 【分析】 绘出函数图象, 利用数形结合的思想判断 a 的范围, 找出临界点即相切时 a 的取值, 进而得出 a 的范围. 【解答】解:绘制函数图象如图:

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由图象可知: 要使 f(x)≥ax﹣1 恒成立, 只需函数 g(x)=ax﹣1 的图象恒在图象 f(x)的下方, ∴a≤0, 设 g(x)=ax﹣1 与函数 f(x)=x2﹣4x 相切与点 P(m,n) , 2 ∴m ﹣4m=(2m﹣4)m﹣1, ∴m=1,a=﹣2, ∴﹣2≤a≤0. 故答案为:﹣2≤a≤0. 16.已知数列{an}满足:a1=2,an+1=an2﹣nan+1,令 bn=

,则数列{bn}的前 n 项

和 Sn= \frac{1}{2}﹣\frac{1}{n+2} . 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 根据数列的递推关系, 求出数列的前几项, 根据归纳推理得到数列{an}的通项公式, 利用裂项法即可求出数列的前 n 项和. 【解答】解:当 n=1 时,a2=a12﹣a1+1=4﹣2+1=3, 当 n=2 时,a3=a22﹣2a2+1=9﹣6+1=4, 当 n=3 时,a4=a32﹣3a3+1=16﹣12+1=5, 当 n=4 时,a5=a42﹣4a4+1=25﹣20+1=6, 则由归纳法可知 an=n+1, 则 bn= = , ﹣ = ﹣ ,

则数列{bn}的前 n 项和 Sn= 故答案为: ﹣

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17. B, C 所对的边分别是 a, b, c, 在△ ABC 中, 角 A, 已知 3cosAcosC+2=3sinAsinC+2cos2B (Ⅰ)求角 B 的大小 (Ⅱ)若 a+c=1,求 b 的取值范围. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;余弦定理. 【分析】 (Ⅰ)由题意和三角函数公式化简可得 cosB= (Ⅱ)由余弦定理和基本不等式可得 b2≥ ,可得 B= ;

,再由三角形三边关系可得.

【解答】解: (Ⅰ)∵在△ ABC 中 3cosAcosC+2=3sinAsinC+2cos2B, ∴3(cosAcosC﹣sinAsinC)=2cos2B﹣2 ∴3cos(A+C)=2cos2B﹣2 ∴﹣3cosB=2cos2B﹣2 解得 cosB= ,B= ;

(Ⅱ)∵a+c=1,∴由余弦定理可得
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b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=(a+c)2﹣3ac =1﹣3ac≥1﹣3( ∴b≥ )2= ,当且仅当 a=c= 时取等号,

,再由三角形三边关系可得 b<a+c=1, ,1)

综合可得 b 的取值范围为[

18.某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况,抽取甲、乙两班,调查这两个班的学 生在寒假期间每天平均学习的时间 (单位: 小时) , 统计结果绘成频率分布直方图 (如图) . 已 知甲、乙两班学生人数相同,甲班学生每天平均学习时间在区间[2,4]的有 8 人.

(1)求直方图中 a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间(10,12]的人数; (2)从甲、乙两个班每天平均学习时间大于 10 个小时的学生中任取 4 人参加测试,设 4 人中甲班学生的人数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (1)由直方图能求出 a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间(10,12]的人数. (2)由已知得 ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分 布列和数学期望. 【解答】解: (1)由直方图知, (0.150+0.125+0.100+0.0875+a)×2=1, 解得 a=0.0375, 因为甲班学习时间在区间[2,4]的有 8 人, 所以甲班的学生人数为 ,

所以甲、乙两班人数均为 40 人. 所以甲班学习时间在区间(10,12]的人数为 40×0.0375×2=3(人) . (2)乙班学习时间在区间(10,12]的人数为 40×0.05×2=4(人) . 由(1)知甲班学习时间在区间(10,12]的人数为 3 人, 在两班中学习时间大于 10 小时的同学共 7 人, ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3. ,



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. 所以随机变量 ξ 的分布列为: ξ 0 1 P . 19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠ADC=60°,面 PCD⊥面 ABCD, PC=PD=CD=2,点 M 为线段 PB 上异于 P、B 的点. (Ⅰ)当点 M 为 PB 的中点时,求证:PD∥平面 ACM (Ⅱ)当二面角 B﹣AC﹣M 的余弦值为 时,试确定点 M 的位置.

2

3

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【分析】 (Ⅰ)当点 M 为 PB 的中点时,根据线面平行的判定定理即可证明 PD∥平面 ACM (Ⅱ)建立坐标系设出点的坐标,求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可. 【解答】证明: (I)设 AC、BD 的交点为 N,连结 MN, 因为 M、N 分别为 BP、BD 的中点, 所以 PD∥MN, 又 MN?平面 ACM, 所以 PD∥平面 ACM; (II)设 CD 的中点为 O,因为 PC=PD=CD=2,面 PCD⊥面 ABCD, 所以 PO⊥面 ABCD, 又因为在菱形 ABCD 中,∠ADC=60°, 所以 OA⊥CD, 建立以 O 为坐标原点,OA,OC,OP 分别为 x,y,z 轴的空间直角坐标系如图: 则 A( ,0,0) ,B( ,2,0) ,C(0,1,0) ,P(0,0, ) , 设 =λ , (0<λ<1) , λ,1﹣2λ, λ) 则 = + = +λ =( ﹣ , =( ,﹣1,0) , 设平面 ACM 的法向量为 =(x,y,z) , 由 ,得

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令 x=1,则 y=

,z=3﹣

,即 =(1, =(0,0,

,3﹣ ) ,

) ,

又平面 ABCD 的法向量为 =

所以 cos< , >|=|

|=

=



解得:λ=

或 λ=1(舍去) ,

所以点 M 为线段 PB 的中点.

20. y2=2px x2﹣4x+3+y2=0 已知抛物线 E: (p>0) 的准线与 x 轴交于点 K, 过 K 点作曲线 C: 的切线,切点 M 到 x 轴的距离为 (Ⅰ)求抛物线 E 的方程 (Ⅱ)设 A,B 是抛物线 E 上分别位于 x 轴两侧的两个动点,且 ? = (其中 O 为坐

标原点) (i)求证:直线 AB 上必过定点,并求出该定点 Q 的坐标 (ii)过点 Q 作 AB 的垂线与抛物线交于 G,D 两点,求四边形 AGBD 面积的最小值. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 (I)求得 K 的坐标,圆心坐标和半径,由切线的性质和相似三角形解出 CK=3,从 而得出 p=2,进而得到抛物线方程; (II) (i)设出直线方程,联立抛物线方程,运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示,化 简整理,即可得到定点 Q; (ii)运用弦长公式和四边形的面积公式,换元整理,结合基本不等式,即可求得最小值. 【解答】 (1)解:K(﹣ ,0) ,圆 C 的圆心 C(2,0) ,半径 r=1. = . ,

作 MR⊥x 轴于 R,则|CR|= ∵KM⊥CM,∴|MR|2=|KR|?|CR|,即 ∴|KR|= ,|KC|=3.

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∴2+

=3,解得 p=2,

∴抛物线 E 的方程为 y2=4x; (2)①证明:设直线 AB:x=my+t,A( 联立抛物线方程可得 y2﹣4my﹣4t=0, ∴y1+y2=4m,y1y2=﹣4t, ∵ = ,即( )2+y1y2= , ,y1) ,B( ,y2) ,

解得 y1y2=﹣18 或 2(舍去) , 即﹣4t=﹣18,解得 t= . ,0) . |y2﹣y1|= ? ,

∴直线 AB 恒过定点 Q( ②解:由①可得|AB|=

同理|GD|=

?



则四边形 AGBD 面积 S=

|AB|?|GD|=

?

?

?

=4 令 m2+



=μ(μ≥2) ,则 S=4



∴S(μ)在[2,+∞)上是增函数. 则当 μ=2 时,S 取得最小值 88.

21.已知函数 f(x)=

lnx+

﹣x﹣3(a>1)

(Ⅰ)讨论函数 f(x)在(0,1)上的单调区间 (Ⅱ)当 a≥3 时,曲线 y=f(x)上总存在相异两点 P,Q,使得曲线 y=f(x)在 P,Q 处的 切线互相平行,求线段 PQ 中点横坐标的取值范围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (Ⅰ)求出 f′(x) ,当 x∈(0,1)时,解不等式 f′(x)>0,f′(x)<0 即可; (Ⅱ)由题意可得,当 a∈[3,+∞)时,f′(x1)=f′(x2) (x1,x2>0,且 x1≠x2) ,由此可得 a+ = > ,从而 x1+x2> ,只要求出 在[3,+∞)的最大值即可.

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【解答】解: (Ⅰ)由已知,得 x>0,f′(x)=



﹣1

=﹣

=﹣



由 f′(x)=0,得 x1= 因为 a>1,所以 0< 所以在区间(0, 故 f(x)在(0,

,x2=a. <1,且 a> . ,1)上,f′(x)>0.

)上,f′(x)<0;在区间( )上单调递减,在(

,1)上单调递增.

(Ⅱ)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 由题意可得,当 a∈[3,+∞)时,f′(x1)=f′(x2) (x1,x2>0,且 x1≠x2) . 即 ﹣ ﹣1= ﹣ ﹣1,

所以 a+

=

+

=

,a∈[3,+∞) . )2 恒成立,

因为 x1,x2>0,且 x1≠x2,所以 x1x2<( 所以 > ,又 x1+x2>0,

所以 a+

=



,整理得 x1+x2>



令 g(a)=

,因为 a∈[3,+∞) ,

所以 a+

单调递增,g(a)单调递减, , ,+∞) .

所以 g(a)在[3,+∞)上的最大值为 g(3)= 可得 x1+x2>

,可得线段 PQ 中点横坐标的取值范围是(

[选修 4-1:几何证明选讲】 22. CD 是∠ACB 的角平分线, AB=2AC △ ADC 的外接圆交 BC 于点 E, 如图, 在△ ABC 中, (Ⅰ)求证:BE=2AD; (Ⅱ)当 AC=3,EC=6 时,求 AD 的长.
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【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (Ⅰ)连接 DE,证明△ DBE∽△CBA,利用 AB=2AC,结合角平分线性质,即可 证明 BE=2AD; (Ⅱ)根据割线定理得 BD?BA=BE?BC,从而可求 AD 的长. 【解答】 (Ⅰ)证明:连接 DE, ∵ACED 是圆内接四边形, ∴∠BDE=∠BCA, 又∠DBE=∠CBA,∴△DBE∽△CBA,即有 又∵AB=2AC,∴BE=2DE, ∵CD 是∠ACB 的平分线,∴AD=DE, ∴BE=2AD;… (Ⅱ)解:由条件知 AB=2AC=6,设 AD=t, 则 BE=2t,BC=2t+6, 根据割线定理得 BD?BA=BE?BC, 即(6﹣t)×6=2t?(2t+6) ,即 2t2+9t﹣18=0, 解得 或﹣6(舍去) ,则 .… ,

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知曲线 C:9x2+4y2=36,直线 l:

(t 为参数)

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小 值. 【考点】参数方程化成普通方程.

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【分析】 (I)曲线 C:9x2+4y2=36,化为

=1,利用 cos2θ+sin2θ=1 可得参数方程.直

线 l:

(t 为参数) ,即

,即可化为普通方程.

3sinθ) (II) 点P (2cosθ, 到直线 l 的距离 d= ∈ ,利用|PA|= =2d 即可得出.

=

9x2+4y2=36, 【解答】 解: (I) 曲线 C: 化为 2π) ) .

=1, 可得参数方程:

(θ∈[0,

直线 l:

(t 为参数) ,即

,化为:2x+y﹣6=0.

3sinθ) (II) 点P (2cosθ, 到直线 l 的距离 d= ∈ |PA|= , =2d∈ . , .

=

∴|PA|的最大值与最小值分别为

[选修 4-5:不等式选讲] 24. (选做题)已知函数 f(x)=|2x﹣1|+2,g(x)=﹣|x+2|+3. (Ⅰ)解不等式:g(x)≥﹣2; (Ⅱ)当 x∈R 时,f(x)﹣g(x)≥m+2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;带绝对值的函数. 【分析】 (Ⅰ)由 g(x)=﹣|x+2|+3,g(x)≥﹣2,知|x+2|≤5,由此能求出不等式 g(x)≥ ﹣2 的解集. (Ⅱ)由 f(x)=|2x﹣1|+2,g(x)=﹣|x+2|+3,知 f(x)﹣g(x)=|2x﹣1|+|x+2|﹣1,设 h =|2x﹣1|+|x+2|﹣1, (x) 则 f x) ≥m+2 恒成立, . 由当 x∈R 时, ( ﹣g (x) 知 ,

由此能求出实数 m 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)∵g(x)=﹣|x+2|+3,g(x)≥﹣2, ∴|x+2|≤5, ∴﹣5≤x+2≤5, 解得﹣7≤x≤3, ∴不等式 g(x)≥﹣2 的解集为{x|﹣7≤x≤3}.
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(Ⅱ)∵f(x)=|2x﹣1|+2,g(x)=﹣|x+2|+3, ∴f(x)﹣g(x)=|2x﹣1|+|x+2|﹣1, 设 h(x)=|2x﹣1|+|x+2|﹣1,

则 h(x)=







∵当 x∈R 时,f(x)﹣g(x)≥m+2 恒成立, ∴ ,解得 , ].

所以,实数 m 的取值范围是(﹣∞,﹣

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2016 年 7 月 21 日

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