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江苏省兴化市第一中学2014-2015学年高一下学期第14周数学周末练习


一中高一数学 2014 春学期第十四周双休练习
姓名 班级 成绩
▲ . 一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1.已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1,则 a12 的值是

2.在 △ ABC 中,角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,其中 a ? 1 ,b ? 则A? ▲ ▲<

br />
2 ,B ?

?
4



3.不等式 (1 - x)(2 x + 3) > 0 的解集是

, a4 ? a6 ? ?6, 则当 S n 取最小值时, 4. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? ?11
于 ▲ ▲ ▲

n 等

2 2 5.已知三角形 ABC 中,有: a tan B ? b tan A ,则三角形 ABC 的形状是

6.等比数列 {an } 的前 10 项和为 10,前 20 项和为 30,那么它的前 30 项和为

? x ? 0, ? 7.不等式组 ? x ? 3 y ? 4, 所表示的平面区域的面积等于 ?3 x ? y ? 4, ?



? x ? y ? 2, ? 8.若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 4, 则 2 x ? 3 y 的最小值是 ? x ? y ? 0, ?
9.在△ABC 中,BC=1, ?B ? 10.已知 lg x ? lg y ? 1 ,则



?
3

,且面积等于 3 ,则 AC = ▲



5 2 ? 的最小值是 x y

11.已知 x ? ?1 ,求 y ?

x 2 ? 3x ? 1 的最小值为 x ?1



12. 设函数 f ( x) ? ?

1 C 1 3 1 A、 B、 C 为△ABC 的三个内角, 若 cos B ? , f ( ) ? ? , sin 2 x ? , 3 2 4 2 2


且 C 为锐角,则 sin A ?

13.在锐角△ABC 中,已知 A ? 2 B ,则的

a 取值范围是 b



14.如图:将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律, 第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 ▲

一中高一数学 2014 春学期第十四周双休练习答题卡
1、__________________ 2、___________ _______ 3、__________________ 4、_________________ 5、_________________ 6、__________________ 7、__________________ 8、__________________ 9、_________________ 10、_________________ 11、________________ 12、________________ 13、________________ 14、________________

二、解答题(六道题,共 90 分) 15. (本小题满分 14 分) 在 △ ABC 中, 角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c . 已知 △ ABC 的周长为 2 +1 ,且 sin A + sin B = 2 sin C . (1)求边 c 的长; (2)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的大小. 6

16. (本小题满分 14 分)已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等差数列,且 2 cos 2 B ? 8cos B ? 5 ? 0 ,求角 B 的大小并判断△ABC 的形状.

17. (本小题满分 15 分)数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn ? 1(n ≥1) . (1)求证 ?an ? 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式; (2) 等差数列 ?bn ? 的各项为正, 其前 n 项和为 Tn , 且 T3 ? 15 , 又 a1 ? b1,a2 ? b2,a3 ? b3 成 等比数列,求 Tn .

18. (本小题满分 15 分)某机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入生产使 用,计划第一年维修、保养费用共计 12 万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用 比上一年增加 4 万元,该机床使用后,每年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床 的盈利额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值) ; (3)使用若干年后,对机床的处理方案有两种: 第一种方案:当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床; 第二种方案:当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处理该机床,问用哪种方案处 理较 为合算?请说明你的理由.

19. (本小题满分 16 分)已知不等式 x 2 ? 5mx ? 4m 2 ? 0 的 解集为 A, 不等式 ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 ? a ? 0 的解集为 B. (1)求 A; (2) 若 m=1 时, A ? B ? A ,求 a 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分)已知公差大于零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且满足:

a3 ? a4 ? 117, a2 ? a5 ? 22 .
(1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)若数列 {bn} 是等差数列,且 bn ?

Sn , 求非零常数 c; n?c

(3)若(2)中的 {bn} 的前 n 项和为 Tn ,求证: 2Tn ? 3bn ?1 ?

64bn . (n ? 9)bn ?1

一中高一数学 2014 春学期第十四周双休练习答案
一、填空题: 1、15 2、

? 6
6、70

3、 (? 7、

3 ,1 ) 2

4、6 8、4

5、等腰或直角三角形

4 3

9、 13

10、2

11、 2 5 ? 5

12、

2 2? 3 6

13、 ( 2, 3 ) 二、解答题:

n2 ? n ? 6 14、 2

15、解: (1)由 sin A + sin B = 2 sin C 及正弦定理可知: a ? b ? 又a?b?c ?

2c -------2 分

2 ?1

? 2c ? c ? 2 ? 1
1 1 ab sin C ? sin C 2 6
--------------8 分

从而 c ? 1 --------4 分 ---------6 分

( 2)三角形面积 S ?

1 ? ab ? , a ? b ? 2 3

? cosC ?

a2 ? b2 ? c2 2ab ----------10 分 2 (a ? b) ? 2ab ? 1 1 ? ? 2ab 2

-----------12 分 又 0 ? C ? ? ,? C ?

?
3

-------------14 分

16、解:由 2 cos 2 B ? 8cos B ? 5 ? 0 ,可得 4cos B ? 8cos B ? 3 ? 0 ,------------2 分
2

即 (2cos B ? 1)(2co B ? 3) ? 0 .

1 3 或 cos B ? (舍去) .---------------4 分 2 2 ? ? 0 ? B ? ?, ? B ? .-------------6 分 ? ? a,b,c 成等差数列,即 a ? c ? 2b .---------8 分
解得 cos B ?

? a?b ? a2 ? c2 ? ? ? 2 2 2 a ?c ?b ? 2 ? ? 1 ,-----------10 分 ? cos B ? ? 2ac 2ac 2
化简得 a ? c ? 2ac ? 0 ,
2 2

2

解得 a ? c ,-------------12 分

?B ?

?

3

?△ ABC 是等边三角形.-----------14 分

17、解: (1)由 an?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn?1 ? 1(n ≥ 2) ,---------1 分 两式相减得 an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an (n ≥ 2) .--------3 分 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ,? a2 ? 3a1 .-----------4 分 故 ?an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,

? an ? 3n?1 .--------6 分
(2)设 ?bn ? 的公差为 d , 由 T3 ? 15 得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 ,--------8 分 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d , 又 a1 ? 1 , a2 ? 3 ,a3 ? 9 , 由题意可得 (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) ? (5 ? 3) ,--------10 分
2

解得 d1 ? 2 , d 2 ? ?10 .-----------12 分

? 等差数列 ?bn ? 的各项为正,? d ? 0 .
? d ? 2 ,------------13 分 n(n ? 1) Tn ? 3n ? ? 2 ? n 2 ? 2n .-----------15 分 18、解: (1)每年的维修、保养费用组成一 2
个以 12 为首项,4 为公差的等差数列, 使用 x 年的总费用为

12 x ?

x( x ? 1) ? 4 ? 2 x 2 ? 10 x 万元--------2 分 2

y ? 50x ? (2 x 2 ? 10x) ? 98 = ? 2 x 2 ? 40x ? 98 . ( x ? N ? )-------5 分
(2)解不等式 ∵

? 2 x 2 ? 40x ? 98 >0,得

10 ? 51 < x < 10 ? 51 .------6 分

x ? N , ∴ 3 ≤ x ≤ 17.故从第 3 年工厂开始盈利.--------8 分 y 98 98 ? ?2 x ? 40 ? ? 40 ? (2 x ? ) (3)方案一:∵ ≤40 ? 2 2 ? 98 ? 12 ----10 分 x x x 98 当且仅当 2 x ? 时,即 x=7 时,等号成立.----------11 分 x
∴ 经过 7 年,年平均盈利额达到最大值, 工厂共获利 12× 7+30=114 万元.-------12 分
2

2 方案二: ? y ? ?2 x ? 40 x ? 98 ? ?2 ? x ? 10 ? ? 102 ,? x =10 时, ymax ? 102 -----13 分

故经过 10 年,盈利额达到最大值,工厂共获利 102+12=114 万元.---------------14 分 由于获利相同,第一种方案经营时间较短,故按第一种方案处理较好。------------15 分 19、解: (1)不等式 x ? 5mx ? 4m ? 0 化为 ( x ? m)(x ? 4m) ? 0
2 2

① m ? 0 时, A ? ?0? -----------2 分 ② m ? 0 时, A ? ?m,4m? -------4 分 ③ m ? 0 时, A ? ?4m, m? -------6 分 (2) m ? 1 时, A ? ?1,4? -------7 分

? A ? B ? A,? A ? B ----------8 分
① a ? 0 时, B ? ?x | x ? 1?满足条件。--------10 分 ② a ? 0 时, B ? ? x | 1 ? x ?

? ?

a ?1 1 a ? 1? ? 4 解得 0 ? a ? -------13 分 ? -----------11 分 ? a 3 a ?

③ a ? 0 时, B ? ? x |

? ?

a ?1 ? ? x ? 1? 满足条件。----------15 分 a ?

综上可知, a 的取值范围为:a《1/3 -----------16 分

20、解: (1) {an } 为等差数列,∵ a3 ? a4 ? a2 ? a5 ? 22,又 a3 ? a4 ? 117, ∴ a3 , a4 是方程 n ? 22x ? 117 ? 0 的两个根
2

又公差 d ? 0 ,∴ a3 ? a4 ,∴ a3 ? 9 , a4 ? 13 ----------∴ ?

2分 4分

? a1 ? 2d ? 9 ?a1 ? 3d ? 13

∴?

?a1 ? 1 ?d ? 4

∴ an ? 4n ? 3 ----------

(2)由(1)知, S n ? n ? 1 ?

n(n ? 1) ? 4 ? 2n 2 ? n --------------5 分 2

∴ bn ?

Sn 2n 2 ? n ? ------------- 6 分 n?c n?c
1 6 15 , b2 ? , b3 ? -------------1? c 2?c 3?c
2

∴ b1 ?

7分

∵ {bn } 是等差数列,∴ 2b2 ? b1 ? b3 ,∴ 2c ? c ? 0 -------------8 分

1 ( c ? 0 舍去)-----------------9 分 2 2n 2 ? n ? 2n -----------------10 分 (3)由(2)得 bn ? 1 n? 2 2 2Tn ? 3bn?1 ? 2(n ? n) ? 3(2n ? 2) ? 2(n ? 1)2 ? 4 ? 4 ,时取等号 --------------12 分 64bn 64 ? 2n 64n 64 ? ? 2 ? ? 4 , n ? 3 时取等号----14 分 (n ? 9)bn ?1 (n ? 9) ? 2(n ? 1) n ? 10n ? 9 n ? 9 ? 10 n
∴c ? ? 上述两式中等号不可能同时取到,所以 2Tn ? 3bn ?1 ?

64bn ----------16 分 (n ? 9)bn ?1


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