江苏省兴化市第一中学2014-2015学年高一下学期第14周数学周末练习

一中高一数学 2014 春学期第十四周双休练习
姓名 班级 成绩
▲ . 一、填空题（每小题 5 分，共 70 分） 1．已知等差数列 {an } 中， a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1，则 a12 的值是

2．在 △ ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，其中 a ? 1 ，b ? 则A? ▲ ▲

2 ，B ?

?
4

，

3．不等式 (1 - x)(2 x + 3) > 0 的解集是

, a4 ? a6 ? ?6, 则当 S n 取最小值时, 4． 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? ?11
于 ▲ ▲ ▲

n 等

2 2 5．已知三角形 ABC 中，有： a tan B ? b tan A ，则三角形 ABC 的形状是

6．等比数列 {an } 的前 10 项和为 10，前 20 项和为 30，那么它的前 30 项和为

? x ? 0, ? 7．不等式组 ? x ? 3 y ? 4, 所表示的平面区域的面积等于 ?3 x ? y ? 4, ?

▲

? x ? y ? 2, ? 8．若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 4, 则 2 x ? 3 y 的最小值是 ? x ? y ? 0, ?
9．在△ABC 中，BC=1， ?B ? 10．已知 lg x ? lg y ? 1 ，则

▲

?
3

，且面积等于 3 ，则 AC = ▲

▲

5 2 ? 的最小值是 x y

11．已知 x ? ?1 ，求 y ?

x 2 ? 3x ? 1 的最小值为 x ?1

▲

12． 设函数 f ( x) ? ?

1 C 1 3 1 A、 B、 C 为△ABC 的三个内角， 若 cos B ? ， f ( ) ? ? ， sin 2 x ? ， 3 2 4 2 2
▲

且 C 为锐角，则 sin A ?

13．在锐角△ABC 中，已知 A ? 2 B ，则的

a 取值范围是 b

▲

14．如图：将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律， 第 n 行（ n ? 3 ）从左向右的第 3 个数为 ▲

一中高一数学 2014 春学期第十四周双休练习答题卡
1、__________________ 2、___________ _______ 3、__________________ 4、_________________ 5、_________________ 6、__________________ 7、__________________ 8、__________________ 9、_________________ 10、_________________ 11、________________ 12、________________ 13、________________ 14、________________

二、解答题（六道题，共 90 分） 15． （本小题满分 14 分） 在 △ ABC 中， 角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ． 已知 △ ABC 的周长为 2 +1 ，且 sin A + sin B = 2 sin C ． （1）求边 c 的长； （2）若 △ ABC 的面积为

1 sin C ，求角 C 的大小． 6

16． （本小题满分 14 分）已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a、b、c 成等差数列，且 2 cos 2 B ? 8cos B ? 5 ? 0 ，求角 B 的大小并判断△ABC 的形状．

17． （本小题满分 15 分）数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn ， a1 ? 1 ， an?1 ? 2Sn ? 1(n ≥1) ． （1）求证 ?an ? 是等比数列，并求 ?an ? 的通项公式； （2） 等差数列 ?bn ? 的各项为正， 其前 n 项和为 Tn ， 且 T3 ? 15 ， 又 a1 ? b1，a2 ? b2，a3 ? b3 成 等比数列，求 Tn ．

18． （本小题满分 15 分）某机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床，并立即投入生产使 用，计划第一年维修、保养费用共计 12 万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用 比上一年增加 4 万元，该机床使用后，每年的总收入为 50 万元，设使用 x 年后数控机床 的盈利额为 y 万元. （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值） ； （3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种： 第一种方案：当年平均盈利额达到最大值时，以 30 万元价格处理该机床； 第二种方案：当盈利额达到最大值时，以 12 万元价格处理该机床，问用哪种方案处 理较 为合算？请说明你的理由.

19． （本小题满分 16 分）已知不等式 x 2 ? 5mx ? 4m 2 ? 0 的 解集为 A， 不等式 ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 ? a ? 0 的解集为 B. (1)求 A； (2) 若 m=1 时, A ? B ? A ，求 a 的取值范围.

20． （本小题满分 16 分）已知公差大于零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn，且满足：

a3 ? a4 ? 117， a2 ? a5 ? 22 ．
（1）求数列 {an } 的通项公式 an ； （2）若数列 {bn} 是等差数列，且 bn ?

Sn ， 求非零常数 c； n?c

（3）若(2)中的 {bn} 的前 n 项和为 Tn ，求证： 2Tn ? 3bn ?1 ?

64bn ． (n ? 9)bn ?1

一中高一数学 2014 春学期第十四周双休练习答案
一、填空题： 1、15 2、

? 6
6、70

3、 （? 7、

3 ,1 ） 2

4、6 8、4

5、等腰或直角三角形

4 3

9、 13

10、2

11、 2 5 ? 5

12、

2 2? 3 6

13、 （ 2, 3 ） 二、解答题：

n2 ? n ? 6 14、 2

15、解： （1）由 sin A + sin B = 2 sin C 及正弦定理可知： a ? b ? 又a?b?c ?

2c -------2 分

2 ?1

? 2c ? c ? 2 ? 1
1 1 ab sin C ? sin C 2 6
--------------8 分

从而 c ? 1 --------4 分 ---------6 分

（ 2）三角形面积 S ?

1 ? ab ? , a ? b ? 2 3

? cosC ?

a2 ? b2 ? c2 2ab ----------10 分 2 (a ? b) ? 2ab ? 1 1 ? ? 2ab 2

-----------12 分 又 0 ? C ? ? ,? C ?

?
3

-------------14 分

16、解：由 2 cos 2 B ? 8cos B ? 5 ? 0 ，可得 4cos B ? 8cos B ? 3 ? 0 ，------------2 分
2

即 (2cos B ? 1)(2co B ? 3) ? 0 ．

1 3 或 cos B ? （舍去） ．---------------4 分 2 2 ? ? 0 ? B ? ?， ? B ? ．-------------6 分 ? ? a，b，c 成等差数列，即 a ? c ? 2b ．---------8 分
解得 cos B ?

? a?b ? a2 ? c2 ? ? ? 2 2 2 a ?c ?b ? 2 ? ? 1 ，-----------10 分 ? cos B ? ? 2ac 2ac 2
化简得 a ? c ? 2ac ? 0 ，
2 2

2

解得 a ? c ，-------------12 分

?B ?

?

3

?△ ABC 是等边三角形．-----------14 分

17、解： （1）由 an?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn?1 ? 1(n ≥ 2) ，---------1 分 两式相减得 an?1 ? an ? 2an ， an?1 ? 3an (n ≥ 2) ．--------3 分 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ，? a2 ? 3a1 ．-----------4 分 故 ?an ? 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，

? an ? 3n?1 ．--------6 分
（2）设 ?bn ? 的公差为 d ， 由 T3 ? 15 得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ，可得 b2 ? 5 ，--------8 分 故可设 b1 ? 5 ? d ， b3 ? 5 ? d ， 又 a1 ? 1 ， a2 ? 3 ，a3 ? 9 ， 由题意可得 (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) ? (5 ? 3) ，--------10 分
2

解得 d1 ? 2 ， d 2 ? ?10 ．-----------12 分

? 等差数列 ?bn ? 的各项为正，? d ? 0 ．
? d ? 2 ，------------13 分 n(n ? 1) Tn ? 3n ? ? 2 ? n 2 ? 2n ．-----------15 分 18、解： （1）每年的维修、保养费用组成一 2
个以 12 为首项，4 为公差的等差数列， 使用 x 年的总费用为

12 x ?

x( x ? 1) ? 4 ? 2 x 2 ? 10 x 万元--------2 分 2

y ? 50x ? (2 x 2 ? 10x) ? 98 = ? 2 x 2 ? 40x ? 98 . （ x ? N ? ）-------5 分
（2）解不等式 ∵

? 2 x 2 ? 40x ? 98 ＞0,得

10 ? 51 ＜ x ＜ 10 ? 51 .------6 分

x ? N ， ∴ 3 ≤ x ≤ 17.故从第 3 年工厂开始盈利.--------8 分 y 98 98 ? ?2 x ? 40 ? ? 40 ? (2 x ? ） （3）方案一：∵ ≤40 ? 2 2 ? 98 ? 12 ----10 分 x x x 98 当且仅当 2 x ? 时，即 x=7 时，等号成立.----------11 分 x
∴ 经过 7 年，年平均盈利额达到最大值， 工厂共获利 12× 7+30=114 万元.-------12 分
2

2 方案二： ? y ? ?2 x ? 40 x ? 98 ? ?2 ? x ? 10 ? ? 102 ，? x =10 时， ymax ? 102 -----13 分

故经过 10 年，盈利额达到最大值，工厂共获利 102+12=114 万元.---------------14 分 由于获利相同，第一种方案经营时间较短，故按第一种方案处理较好。------------15 分 19、解： （1）不等式 x ? 5mx ? 4m ? 0 化为 ( x ? m)(x ? 4m) ? 0
2 2

① m ? 0 时， A ? ?0? -----------2 分 ② m ? 0 时， A ? ?m,4m? -------4 分 ③ m ? 0 时， A ? ?4m, m? -------6 分 （2） m ? 1 时， A ? ?1,4? -------7 分

? A ? B ? A,? A ? B ----------8 分
① a ? 0 时， B ? ?x | x ? 1?满足条件。--------10 分 ② a ? 0 时， B ? ? x | 1 ? x ?

? ?

a ?1 1 a ? 1? ? 4 解得 0 ? a ? -------13 分 ? -----------11 分 ? a 3 a ?

③ a ? 0 时， B ? ? x |

? ?

a ?1 ? ? x ? 1? 满足条件。----------15 分 a ?

综上可知， a 的取值范围为：a《1/3 -----------16 分

20、解： （1） {an } 为等差数列，∵ a3 ? a4 ? a2 ? a5 ? 22，又 a3 ? a4 ? 117， ∴ a3 ， a4 是方程 n ? 22x ? 117 ? 0 的两个根
2

又公差 d ? 0 ，∴ a3 ? a4 ，∴ a3 ? 9 ， a4 ? 13 ----------∴ ?

2分 4分

? a1 ? 2d ? 9 ?a1 ? 3d ? 13

∴?

?a1 ? 1 ?d ? 4

∴ an ? 4n ? 3 ----------

（2）由(1)知， S n ? n ? 1 ?

n(n ? 1) ? 4 ? 2n 2 ? n --------------5 分 2

∴ bn ?

Sn 2n 2 ? n ? ------------- 6 分 n?c n?c
1 6 15 ， b2 ? ， b3 ? -------------1? c 2?c 3?c
2

∴ b1 ?

7分

∵ {bn } 是等差数列，∴ 2b2 ? b1 ? b3 ，∴ 2c ? c ? 0 -------------8 分

1 （ c ? 0 舍去）-----------------9 分 2 2n 2 ? n ? 2n -----------------10 分 （3）由(2)得 bn ? 1 n? 2 2 2Tn ? 3bn?1 ? 2(n ? n) ? 3(2n ? 2) ? 2(n ? 1)2 ? 4 ? 4 ，时取等号 --------------12 分 64bn 64 ? 2n 64n 64 ? ? 2 ? ? 4 ， n ? 3 时取等号----14 分 (n ? 9)bn ?1 (n ? 9) ? 2(n ? 1) n ? 10n ? 9 n ? 9 ? 10 n
∴c ? ? 上述两式中等号不可能同时取到，所以 2Tn ? 3bn ?1 ?

64bn ----------16 分 (n ? 9)bn ?1