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必修四第一章总结及习题


一、诱导公式 1.若角 600° 的终边上有一点(-4,a),则 a 的值是( A.4 3 B.-4 3 C.± 4 3

) D. 3

[答案] B 由条件知,tan600° =

a ,∴a=-4tan600° =-4tan60° =-4 3. -4

2.已知角 ? 的终边经过点 p0 (-3

,-4) ,则 cos( A. ?

?
2

? ? ) 的值为(
D. ?



4 5

B.

3 5

C.

4 5

3 5

3.若 a=sin(sin2009° ),b=sin(cos2009° ),c=cos(sin2009° ),d=cos(cos2009° ),则 a、b、c、d 从小到大的 顺序是________. [答案] b<a<d<c∵2009° =5×360° +180° +29° ,∴a=sin(-sin29° )=-sin(sin29° )<0, b=sin(-cos29° )=-sin(cos29° )<0,c=cos(-sin29° )=cos(sin29° )>0, π d=cos(-cos29° )=cos(cos29° )>0,又 0<sin29° <cos29° <1< ,∴b<a<d<c. 2 二、周期 1.(08· 全国Ⅰ文)y=(sinx-cosx)2-1 是( A.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数
2 2

) B.最小正周期为 2π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

[答案] D∵y=(sinx-cosx) -1=sin x-2sinxcosx+cos2x-1=-sin2x, ∴函数 y=(sinx-cosx)2-1 的最小正周期为 π,且是奇函数. π? ? 2.已知函数 f(x)=sin?ω x+ ?(ω >0)的最小正周期为 π ,则该函数图像( 3? ? π A.关于直线 x= 对 4 π B.关于点( ,0)对称 3 π C.关于点( ,0)对称 4 ) π D.关于直线 x= 对称 3

三、图像 π π 2x- ?在区间?- ,π?的简图是( 1.函数 y=sin? 3 ? ? ? 2 ? )

π [答案] A x=0 时,y<0,排除 B、D,x= 时,y=0,排除 C,故选 A. 6
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2.如图,曲线对应的函数是( A.y=|sinx|

) C.y=-sin|x| D.y=-|sinx|

B.y=sin|x|

3.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的一部分图象 如右图所示,如果 A ? 0, ? ? 0,| ? |? A. A ? 4 B. ? ? 1 C. ? ?

?
2

,则(



?
6

D. B ? 4

4.下列函数中,图象的一部分符合下图的是(

)

π A.y=sin(x+ ) 6

π B.y=sin(2x- ) 6

π C.y=cos(4x- ) 3

π D.y=cos(2x- ) 6

[答案] D 用三角函数图象所反映的周期确定 ω,再由最高点确定函数类型.从而求得解析式. π π π 由图象知 T=4( + )=π,故 ω=2,排除 A、C.又当 x= 时,y=1,而 B 中的 y=0,故选 D. 12 6 12 四、平移 π? 1.为了得到函数 y=cos? ?2x+3?的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( 5π A.向左平移 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6 5π B.向右平移 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6 )

π π π 5π 5π [答案] A y=cos(2x+ )=sin(2x+ + )=sin(2x+ )=sin2(x+ ), 3 2 3 6 12 π 5π 由 y=sin2x 的图象得到 y=cos(2x+ )的图象.只需向左平移 个长度单位就可以. 3 12 2. y ? sin x 的图象上各点纵坐标不变,横坐标变为原来的 达式为( )

1 ? ,然后把图象沿 x 轴向右平移 个单位,则表 2 3 1 ? D . y ? sin( x ? ) 2 3

1 ? 2? ? A . y ? sin( x ? ) B . y ? sin(2 x ? ) C . y ? sin(2 x ? ) 2 6 3 3
五、单调性
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1.函数 y=|sinx|的一个单调增区间是( π π? A.? ?-4,4? π 3π? B.? ?4, 4 ?

) 3π? C.? ?π, 2 ? 3π ? D.? ? 2 ,2π?

[答案] C 画出函数 y=|sinx|的图象,如图所示.

由函数图象知它的单调增

π? ? 3π? 区间为? ?kπ,kπ+2?(k∈Z),所以当 k=1 时,得到 y=|sinx|的一个单调增区间为?π, 2 ?,故选 C. π? ? 2.函数 y=3sin?-2x- ?(x∈[0,π ])的单调递增区间是( 6? ? )

? 5π ? A.?0, ? 12 ? ?

? π 2π ? B.? , ? 3 ? ?6

C.?

?π ,11π ? ? 12 ? ?6

D.?

?2π ,11π ? ? 12 ? ? 3

六、定义域及值域 1.函数 f ( x) ? 1 ? 2 cos x 的定义域是______________ 2.函数 y ? cos( x ?

?

? 2 )( x ? [ , ? ]) 的值域是 6 6 3



3.函数 y= 16-x2+ sinx的定义域为________.∴-4≤x≤-π 或 0≤x≤π. [答案] [-4,-π]∪[0,π]
2 ? ? ?16-x ≥0 ?-4≤x≤4 要使函数有意义,则? ,∴? , ?sinx≥0 ?2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z) ? ?

π ? ?π ? ?π? 4.若函数 f(x)=3cos(ωx+φ)对任意的 x 都满足 f? ?3+x?=f?3-x?,则 f?3?的值是( A.3 或 0
2

)

B.-3 或 0

C.0 )

D.-3 或 3

5.函数 y=cos x –3cosx+2 的最小值是(

A.2

B.0

1 C. 4
)

D.6

π ? π -x -cos?x+ ?(x∈R)的最小值为( 6.函数 y=2sin? ?3 ? ? 6? A.-3 B.-2 C.-1

D.- 5

π ? ?π ?π ?? ? π? ? π? ? π? [答案] C∵y=2sin? ?3-x?-cos?x+6?=2cos 2-?3-x? -cos?x+6?=cos?x+6?,∴ymin=-1.

?

?

7.函数 f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x 的最小值为 g(a)(a∈R). 1 (1)求 g(a);(2)若 g(a)= ,求 a 及此时 f(x)的最大值. 2 [解析] (1)由 f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x=1-2a-2acosx-2(1-cos2x)=2cos2x-2acosx-(2a+1) a a2 cosx- ?2- -2a-1.这里-1≤cosx≤1. =2? 2? 2 ?
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a a a2 a ①若-1≤ ≤1,则当 cosx= 时,f(x)min=- -2a-1;②若 >1,则当 cosx=1 时,f(x)min=1-4a; 2 2 2 2 1 ? ? a =1.因此 g(a)=?- 2 -2a-1 ? ?1-4a (a>2)
2

(a<-2) (-2≤a≤2) .

a ③若 <-1,则当 cosx=-1 时,f(x)min 2

1 1 1 a2 1 (2)∵g(a)= .∴①若 a>2,则有 1-4a= ,得 a= ,矛盾;②若-2≤a≤2,则有- -2a-1= , 2 2 8 2 2 1 1 1 cosx+ ?2+ , 即 a2+4a+3=0,∴a=-1 或 a=-3(舍).∴g(a)= 时,a=-1.此时 f(x)=2? 2? 2 ? 2 当 cosx=1 时,f(x)取得最大值为 5. 七、综合问题 1.若 1+sin2θ=3sinθcosθ 则 tanθ=________. 1 由 1+sin2θ=3sinθcosθ 变形得 2sin2θ+cos2θ-3sinθcosθ=0?(2sinθ-cosθ)(sinθ-cosθ)=0,∴tanθ= 或 1. 2 sinα+cosα 2.若 =2,则 sinαcosα 的值是_____________. sinα-cosα 1-a 3a-1 3.已知 sinθ= ,cosθ= ,若 θ 为第二象限角,求实数 a 的值. 1+a 1+a 1-a 3a-1 1 [解析] ∵θ 为第二象限角,∴sinθ>0,cosθ<0.∴ >0, <0,解之得,-1<a< . 3 1+a 1+a 又∵sin2θ+cos2θ=1,∴?

?1-a?2+?3a-1?2=1,解之,得 a=1或 a=1(舍去).故实数 a 的值为1. ? ? ? 9 9 ?1+a? ? 1+a ?

1 4.已知 cosx+siny= ,求 siny-cos2x 的最值. 2 1?2 3 1 1 1 [解析] ∵cosx+siny= ,∴siny= -cosx,∴siny-cos2x= -cosx-cos2x=-? ?cosx+2? +4, 2 2 2 1 1 ∵-1≤siny≤1,∴-1≤ -cosx≤1,解得- ≤cosx≤1, 2 2 1 3 3 所以当 cosx=- 时,(siny-cos2x)max= ,当 cosx=1 时,(siny-cos2x)min=- . 2 4 2 1 [点评] 本题由-1≤siny≤1 求出- ≤cosx≤1 是解题的关键环节,是易漏掉出错的地方. 2 3 1 5.(本题满分 12 分)已知 y=a-bcos3x(b>0)的最大值为 ,最小值为- . 2 2 (1)求函数 y=-4asin(3bx)的周期、最值,并求取得最值时的 x;(2)判断其奇偶性.

[解析]

?y (1)∵y=a-bcos3x,b>0,∴? ?y

max=a+b=

3 2 1 2

min=a-b=-

1 ? ?a=2 ,解得? , ? ?b=1

∴函数 y=-4asin(3bx)=-2sin3x.∴此函数的周期 T=

2π , 3

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2kπ π 2kπ π 当 x= + (k∈Z)时,函数取得最小值-2;当 x= - (k∈Z)时,函数取得最大值 2. 3 6 3 6 (2)∵函数解析式 f(x)=-2sin3x,x∈R,∴f(-x)=-2sin(-3x)=2sin3x=-f(x),∴y=-2sin3x 为奇函数.

6.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示.试依图推出: (1)f(x)的最小正周期; (2)f(x)的单调递增区间; (3)使 f(x)取最小值的 x 的取值集合.

T 7 π 3 7 5 [解析] (1)由图象可知, = π- = π,∴T=3π.(2)由(1)可知当 x= π-3π=- π 时,函数 f(x)取最小值, 2 4 4 2 4 4 5 π 7 - π+3kπ, +3kπ?(k∈Z).(3)由图知 x= π 时,f(x)取最小值,又∵T=3π,∴ ∴f(x)的单调递增区间是? 4 ? 4 ? 4
? ? 7 7 x= π+3kπ,k∈Z ?. 当 x= π+3kπ 时,f(x)取最小值,所以 f(x)取最小值时 x 的集合为?x? 4 ? 4 ? ?

1 7.方程 sinπx= x 的解的个数是( 4 A.5 B .6

) C .7 D.8

1 [答案] C 在同一坐标系中分别作出函数 y1=sinπx,y2= x 的图象,左边三个交点,右边三个交点,再加 4 上原点,共计 7 个.

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