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辽宁省五校协作体2013届高三上学期期初联考数学(理)试题


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2012——2013 学年度上学期辽宁省五校协作体高三期初联考 数学试题(理)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的,请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑. (1)设非空集合 P、

Q 满足 P ? Q ? P ,则 (A) ? x ? Q,有 x ? P (C) ? x0 ? Q,使得 x0 ? P (B) ? x ? Q ,有 x ? P (D) ? x0 ? P,使得 x0 ? Q

(2)在等比数列 {a n } 中,若公比 q ? 1 ,且 a3a7 ? 16 , a4 ? a6 ? 10 ,则 a3 ? (A) ?1 (B) ? 2 (C) 2 (D) 1 (3)在空间中,下列命题正确的是 (A)平面 ? 内的一条直线 a 垂直与平面 ? 内的无数条直线,则 ? ? ? (B)若直线 m 与平面 ? 内的一条直线平行,则 m // ? (C)若平面 ? ? ? ,且 ? ? ? ? l ,则过 ? 内一点 P 与 l 垂直的直线垂直于平 面? (D)若直线 a 与平面 ? 内的无数条直线都垂直,则不能说一定有 a ? ? .

?x ? y ? 5 ? 0 ? (4)约束条件为 ? x ? y ? 1 ? 0 ,目标函数 Z ? 2 x ? y ,则 Z 的最大值是 ? x ? 0, y ? 0 ?
(A) ?4 (B)4 (C) ? 5 (D) 5

(5)下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 (A) y ? ln x ? x2 ? 1 (C) y ? ? ?
?3 x ,
?x

?

?

(B) y ? log2 ?x ? 1? ( D) y ? ?
1 x

x?0

?? 3 , x ? 0 ?

(6) 在等差数列 {a n } 中, a5 ? 30 , a10 ? 5 ,则 ? x ? ?
?

1? ? 的展开式中的常数项是 x2 ?

6

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该数列的 (A)第 9 项 (B)第 8 项 (C)第 7 项 (D)第 6 项
?
2

(7) 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (其中 A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? 为了得到 y ? cos 2 x 的图象,则只要将 f (x) 的图象

)的图象如图所示,

? 个单位长度 6 ? (B)向右平移 个单位长度 6 ? (C)向左平移 个单位长度 12 ? (D)向右平移 个单位长度 12 2 2 x y (8) 双曲线 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2 , P 是双曲线上一点, PF1 的 a 4 4 中点在 y 轴上,线段 PF2 的长为 ,则该双曲线的离心率为 3

(A)向左平移

(A)

3 2

(B)

13 2

(C)

13 3

(D)

13 3

(9)由直线 y ? 1 与曲线 y ? x 2 所围成的封闭图形的面积是 (A) 4
3

(B)

2 3

(C) 1
3

(D) 1
2

(10)在 Rt ?ABC 中, ∠C ? 90? ,∠A ? 60? ,从顶点 C 出发,在 ∠ACB 内等可能地 引射线 CD 交线段 AB 于点 D ,则 S ?ACD ?
1 S ?ABC 的概率是 2 3 ? D? 4

? A?

1 3

? B?
?

1 2

?C ?

(11)已知向量 a ? (2,1), b ? (1, k ) 且 a 与 b 的夹角为锐角,则 k 的取值范围是
A ? ?2, ?? ? 1? ?1 ? ? B ? ?2, ? ? ? , ?? ? 2? ?2 ? ? C ? ??, ?2 ? D ? ?2, 2 ?

?

2 3

(12)函数 y ? sin x ? ln x 的零点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡 相应的位置上.

? 1? i ? (13) ? ; ? ? ? 2? (14)阅读如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值为

12

(15)右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体 外接球的表面积是 ;

(16) 设函数 y ? f (x) , 满足 f ( x ? 1) ? ? 时, f ( x) ? 2? x ,则 f ? 2013? ?

1 , 对一切 x ? R 都成立, 又知当 ?1,3? f ( x)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请在答题卡指定区域内作答,解答应 写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) b 在△ABC 中, A、 C 所对的边分别为 a、 c, 角 B、 b、 已知 a ? 2 , ? 7 ,B ? 60? . (I)求 c 及△ABC 的面积 S; (II)求 sin(2 A ? C ) . (18) (本小题满分 12 分) 如图(1)在直角梯形 ABCP 中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD=2,E、 F、 分别是 PC、 BC 的中点, G PD、 现将△PDC 沿 CD 折起, 使平面 PDC⊥平面 ABCD(如 图 2)

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(1)求二面角 G-EF-D 的大小; (2)在线段 PB 上确定一点 Q,使 PC⊥平面 ADQ,并给出证明过 程.

(19)(本小题满分 12 分) . 甲乙两名射手互不影响地进行射击训练,根据以往的数据统计,他们设计成 绩的分布列如下: 射手甲 环数 概率 环数 概率 射手乙

8

9

10

8

9

10

1 3

1 3

1 3

1 3

1 2

1 6

(Ⅰ)若甲乙两射手各射击两次,求四次射击中恰有三次命中 10 环的概率; (Ⅱ)若两个射手各射击 1 次,记所得的环数之和为 ? ,求 ? 的分布列和期望.

(20)(本小题满分 12 分) 设椭圆 C :
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点为 A ,过 a 2 b2

????? ???? ? ? 点 A 与 AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q ,且 2F1F2 ? F2Q ? 0 .
(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A 、 Q 、 F2 三点的圆恰好与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆

C 的方程;

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(3)在(2)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、

N 两点,在 x 轴上是否存在点 P (m,0) 使得以 PM , PN 为邻边的平行四
边形是菱形,如果存在,求出 m 的取值范围,如果不存在,说明理由。
y
A

Q

? F1

O

? F2

x

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? ln x ? ax ? a .
3 ,求函数 f (x) 的极值; 2 (II)若对任意的 x ? (1,3) ,都有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

1 2

(I)若 a ?

请考生在(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 、 、 题记分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB、CD 是圆的两条平行弦,BE//AC,BE 交 CD 于 E、交圆于 F,过 A 点的切线交 DC 的延长线于 P,PC=ED=1,PA=2. (I)求 AC 的长; (II)求证:BE=EF.

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(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? 2 t ?x ? ? 2 (t是参数) ,圆 C 的极坐标方程为 已知直线 l 的参数方程是 ? 2 ? ?y ? 2 t ? 4 2 ?

? ? ? 2 cos(? ? ) .
4

(I)求圆心 C 的直角坐标; (II)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 对于任意的实数 a(a ? 0)和b, 不等式 | a ? b | ? | a ? b |? M ? | a | 恒成立,记 实数 M 的最大值是 m. (1)求 m 的值; (2)解不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? m.

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高三数学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. (1)B (2)D (3)D (4)B (5)A (6)B (7)C (8)D (9)A (10)C (11)B (12)C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13) ? 1 (14) 3 (15) 8? (16) ? 4 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. (17) (本小题满分 12 分) 解: (I)方法 1:由余弦定理 7 ? 4 ? c 2 ? 2 ? 2 ? c ? ,
c 2 ? 2c ? 3 ? 0 , c ? 3 ,或 c ? ?1,取 c ? 3 ,

1 2

…………(2 分) …………(4 分) …………(6 分)

3 3 ; 2 7 2 21 ? . ? sin A ? . (II) a ? 2, b ? 7 , B ? 60? ,? ? sin 60 sin A 7 2 7 ∵ a ? b ,∴角 A 是锐角,∴ cos A ? , 7 ∵ 2 A ? C ? ( A ? C) ? A ? 120? ? A

△ABC 的面积 S ? ac sin B ?

1 2

…………(8 分) …………(10 分) …………(12 分)

? sin(2 A ? C ) ? sin(120? ? A) ?

3 1 21 cos A ? sin A ? . 2 2 14

(18) (本小题满分 12 分) 解:(1)建立如图所示空间直角坐标系,设平面 GEF 的一个法向量为 n=(x,y,z), 则 → ? n EF ?→· =-y=0 ? 取 n=(1,0,1) ?→·→ =x+y-z=0 ? n EG 又平面 EFD 的法向量为 m= (1,0,0) m· n 2 ∴cos<m,n> =|m||n|= 2 ∴<m,n>=45° → → (2)设PQ=λPB(0<λ<1) → → → 则AQ=AP+PQ=(-2+2λ,2λ,2-2λ) → PC ∵AQ⊥PC ? AQ·→ =0 ? …………9 分 …………6 分 …………7 分 …………4 分

2×2λ-2(2-2λ)=0

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1 ? λ=2 1 又 AD⊥PC,∴PC⊥平面 ADQ ? λ=2 ? 点 Q 是线段 PB 的中点.

…………11 分

…………12 分

(19) (本小题满分 12 分) 解 (Ⅰ)记事件 C; 甲命中 1 次 10 环,乙命中两次 10 环,事件 D ;甲命 中 2 次 10 环,乙命中 1 次 10 环,则四次射击中恰有三次命中 10 环为事件 C ? D
2 1 5 1 7 1 2 1 2 1 ? P(C ? D) ? C2 ? ? ? C2 ( ) 2 ? C2 ( ) 2 ? ? ? 3 3 6 3 6 6 162
??? (6 分) ???(9 分)

(Ⅱ)? 的取值分别为 16,17,18,19,20,

1 P(? ? 1 6 ? ? ) 3 1 P(? ? 1 8 ? ? ) 3 1 P(? ? 1 9 ? ? ) 3 1 ? E? ? 1 6? ? 9
??? (12 分)

1 ? 3 1 ? 6 1 ? 6

1 1 1 P, ? ( ? 1 7 )? ? ? 9 3 2 1 1 1 1 6 ? ? ? ? ? 3 2 3 3 18 1 1 4 2 ? ? ? P, ? ( ? 3 2 18 9 5 1 2 1 ? ? 1 8 ? ? 9? 7 ? 1 18 3 9

1 1 ? ? 3 3 1 , 3

5 18

1 1 1 2 0 )? ? ? 3 6 18 1 107 ? 2 0? 18 6

(20)(本小题满分 12 分) (1)解:设 Q(x0,0) ,由 F2 (c,0) ,A(0,b) 知 F2 A ? (?c, b), AQ ? ( x0 ,?b)
? F2 A ? AQ,? ?cx0 ? b 2 ? 0, x0 ? ? b2 , c

由于 2F1 F2 ? F2 Q ? 0 即 F1 为 F2Q 中点.
b2 ? c ? ?2c ? b 2 ? 3c 2 ? a 2 ? c 2 , 故? c

故椭圆的离心率 e ?

1 2

??? (3 分)

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(2)由⑴知

3 c 1 1 1 ? , 得 c ? a 于是 F2 ( a ,0) Q ( ? a,0) , 2 a 2 2 2 1 1 △AQF 的外接圆圆心为(- a ,0) ,半径 r= |FQ|= a 2 2 1 | ? a ?3| 所以 2 ? a ,解得 a =2,∴c =1,b= 3 , 2

所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

??? (6 分)

(3)由(Ⅱ)知 F2 (1,0)
? y ? k ( x ? 1) ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 3 ?4

l : y ? k ( x ? 1)

代入得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ?
8k 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) 3 ? 4k 2
??? (8 分)

PM ? PN ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y2 ) ? ( x1 ? x2 ? 2m, y1 ? y 2 )
由于菱形对角线垂直,则 ( PM ? PN) ? MN ? 0 故 k ( y1 ? y2 ) ? x1 ? x2 ? 2m ? 0 则 k 2 ( x1 ? x2 ? 2) ? x1 ? x2 ? 2m ? 0
k2 (

8k 2 8k 2 ? 2) ? ? 2m ? 0 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

??? (10 分)

由已知条件知 k ? 0 且 k ? R
?m ? k2 1 ? 2 3 3 ? 4k ?4 k2
?0 ? m ? 1 4 1 . 4

故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 0 ? m ?

???(12 分)

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(21) (本小题满分 12 分) 解: (I) f ??x ? ? x ?
1 5 2x 2 ? 5x ? 2 ? ? , x 2 2x 1 f ??x ? ? 0 ,得 x1 ? ,或 x 2 ? 2 ,列表: 2 1 1 1 ( ,2) (0, ) x 2 2 2 f ?(x) + 0 f (x) 极大 ? ?

…………(2 分)

2 0 极小

(2,?? )

+ ? …………(4 分) …………(6 分)

1 1 7 处取得极大值 f ( ) ? ? ln 2 , 2 2 8 函数 f (x) 在 x ? 2 处取得极小值 f (2) ? ln 2 ? 1 ; 1 1 10 (II) f ??x ? ? x ? ? (1 ? a) , x ? ?1,3? 时, x ? ? (2, ) , : x x 3 (i)当 1 ? a ? 2 ,即 a ? 1 时, x ? ?1,3? 时, f ??x ? ? 0 ,函数 f (x) 在 ?1,3? 是增函数

函数 f (x) 在 x ?

?x ? ?1,3? , f ?x ? ? f ?1? ? 0 恒成立;

……(8 分)

(ii)当 1 ? a ?

?x ? ?1,3? , f ?x ? ? f ?1? ? 0 恒成立,不合题意 ……(10 分) 10 7 (iii)当 2 ? 1 ? a ? ,即 1 ? a ? 时, 3 3 x ? ?1,3? 时, f ?? x ? 先取负,再取 0,最后取正,函数 f (x) 在 ?1,3? 先递减,再

7 10 ,即 a ? 时, 3 3 x ? ?1,3? 时, f ??x ? ? 0 ,函数 f (x) 在 ?1,3? 是减函数

递增, 而 f ?1? ? 0 ,∴ ?x ? ?1,3? , f ?x ? ? f ?1? ? 0 不能恒成立; 综上, a 的取值范围是 a ? 1 . …………(12 分) (22) (本小题满分 10 分) 解: (I)? PA2 ? PC ? PD, PA ? 2, PC ? 1 ,?PD ? 4 , …………(2 分) 又? PC ? ED ? 1,? CE ? 2 ,? ?PAC ? ?CBA, ?PCA ? ?CAB ,
PC AC , ? AC AB ? AC 2 ? PC ? AB ? 2 ,? AC ? 2 (II)? BE ? AC ? 2 , CE ? 2 ,而 CE ? ED ? BE ? EF , 2 ?1 ? EF ? ? 2 ,? EF ? BE . 2

? ?PAC ∽ ?CBA,?

…………(4 分) …………(5 分) …………(8 分) …………(10 分)

(23) (本小题满分 10 分) 解: (I)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? , ? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? ,
?圆C的直角坐标方程为 ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 , x
2 2

………(2 分) …………(3 分)

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2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ) .…………(5 分) 2 2 2 2 (II) :直线 l 上的点向圆 C 引切线长是

即 (x ?

(

2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 分) ∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 5 2 ? 12 ? 2 6 分) (24) (本小题满分 10 分)

…………(8 分) …………(10 …………(10

解: (I)不等式 | a ? b | ? | a ? b |? M ? | a | 恒成立, | a ?b| ?| a ?b| 即M ? 对于任意的实数 a(a ? 0)和b 恒成立, |a| 只要左边恒小于或等于右边的最小值. …………2 分 因为 | a ? b | ? | a ? b |? (a ? b) ? (a ? b) ? 2 | a | , 当且仅当 (a ? b)(a ? b) ? 0 时等号成立, | a?b| ?| a?b| ? 2 成立, 即 | a |?| b | 时, |a| | a ?b| ?| a ?b| 也就是 的最小值是 2. …………5 分 |a| 1 5 ?x? (2) | x ? 1| ? | x ? 2 |? 2. 解法 1:利用绝对值的意义得: 2 2 1 解法 2:当 x ? 1时, 原不等式化为 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2, 解得x ? , 2 1 所以 x 的取值范围是 ? x ? 1. 2 当1 ? x ? 2时, 原不等式化为( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2,
得x的取值范围是1 ? x ? 2. 当x ? 2时, 原不等式化不( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2, 解得x ? 5 所以x的取值范围是2 ? x ? . 2 1 5 综上所述:x的取值范围是 ? x ? . 2 2 5 , 2

解法 3:构造函数 y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ?2作

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??2 x ? 1, ( x ? 1) ? y ? ??1, (1 ? x ? 2) 的图象,利用图象有 y ? 0 得: ?2 x ? 5, ( x ? 2) ?
1 5 ?x? . 2 2

………………10 分

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