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2013年理科全国各省市高考真题——数列(解答题带答案)


2013 年全国各省市理科数学—数列
1、2013 大纲理 T17.(本小题满分 10 分)等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知

S3 =a2 2 ,且 S 1, S 2, S 4 成等比数列,求 ? a n ? 的通项式。

2、2013 山东理 T20.(本小题满分 12 分) 设等差数列{an}的前

n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的前 n 项和 Tn,且 Tn+ 求数列{cn}的前 n 项和 Rn.

an ? 1 = λ (λ 为常数),令 cn=b2n,(n∈N?). 2n

3、2013 四川理 T16.(本小题满分 12 分)

a 8,且 a 4 为 a 2 和 a 9 的等比中项,求数列 { a n } 的首项、公 在等差数列 { a n } 中, a 1? 3?
差及前 n 项和。

4、2013 天津理 T19. (本小题满分 14 分)
3 的等比数列 { a n } 不是递减数列, 其前 n 项和为 S n ? N * ), 且 S3 + a3, S5 n( 2 + a5, S4 + a4 成等差数列.

已知首项为

(Ⅰ) 求数列 { a n } 的通项公式;
1 (Ⅱ) 设 T (n? N * ), 求数列 { T n } 的最大项的值与最小项的值. n ?S n? S n

5、2013 浙江理 T18. 在公差为 d 的等差数列 { a n } 中,已知 a1 ? 10 ,且 a 成等比数列。 , 2 a 2 , 5 a 1 2? 3 (1)求 d , a n ; (2)若 d ? 0 ,求 | a | ? | a | ? | a | ? ? ? | a | . 1 2 3 n

6、2013 广东理 T19.(本小题满分 14 分) 设数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ? 1 , (Ⅰ) 求 a 2 的值; (Ⅱ) 求数列 ? a n ? 的通项公式;

2 S 12 2 n ? a n ? , n ?N* . n ? 1? n ? n 3 3

(Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ? ? ? . a a a 4 1 2 n

7、2013 安徽理 T20.(本小题满分 13 分)

( ) ? ? 1 ? x ??? ? ( x ? R , n ? N ) 设函数 fx ,证明: n 2 2 2
n

2 2 x x 23

n x n

(Ⅰ)对每个 n? N ,存在唯一的 x n ? [ ,1] ,满足 fn(x n) ?0;
n

2 3

(Ⅱ)对任意 p ? N ,由(Ⅰ)中 x n 构成的数列 ? x n ? 满足 0? x n ?x n?p ? 。
n

1 n

8、2013 陕西理 T17. (本小题满分 12 分) 设 { a n } 是公比为 q 的等比数列. (Ⅰ) 导 { a n } 的前 n 项和公式; (Ⅱ) 设 q≠1, 证明数列 {an ?1 }不是等比数列.

9、2013 湖北理 T18. 已知等比数列 ? a n ? 满足: a ,a 。 a 1 0 aa 1 2 5 2? 3 ? 1 2 3? (I)求数列 ? a n ? 的通项公式; (II)是否存在正整数 m ,使得 在,说明理由。

1 1 1 ? ? ? ? 1?若存在,求 m 的最小值;若不存 a a a 1 2 m

10、2013 江西理 T17. (本小题满分 12 分)

? ( n ? ns ?? 1 ) n ? n )0 ? 正项数列{an}的前项和{an}满足: s n n(
2 2 2

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

n ?1 * ,数列{bn}的前 n 项和为 T n 。证明:对于任意的 n? N ,都有 2 2 (n ? 2) a

Tn ?

5 64

11、2013 江苏 T19.(本小题满分 16 分) 设 { a n } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , S n 是其前 n 项和.记

bn ?

nS n , n ? N* ,其中 c 为实数. 2 n ?c

* 2 (1)若 c ? 0 ,且 b , b , b 1 2 4成等比数列,证明: S nk ?n S k ( k,n?N );

(2)若 { b n } 是等差数列,证明: c ? 0 .

参考答案:

1、

1 ,d? 2 2、解答:(1)由 S4=4S2,a2n=2an+1,{an}为等差数列,可得, a 1? n? 1 所以 a n ?2
an ? 1 2n 1,Tn-1+ n = λ 两式相减可得,当 n ? 2 时, = λ 可得, b 1 ??? n 2 2 n?2 n ?1 4 3n ? 1 bn ? n ?1 ,所以当 ? ? 0 时,cn=b2n= n ? 1 ,错位相减法可得,Rn= ? 2 4 9 9 ? 4 n ?1
(2)由 Tn+

?? ?1 ? 当 ? ? 0 时,cn=b2n= ? n ? 1 ? ? 4 n ?1

n ?1 n?2

,可得 Rn= ? ? ?

5 3n ?1 9 9? 4n?1

4、

5、解:(Ⅰ)由已知得到:
2 2 2 ( 2 a ? 2 ) ? 5 a a ? 4 ( a ? da ? 1 ) ? 5 0 ( ? 2 d ) ? ( 1 1 ? dd ) ? 2 5 ( 5 ? ) 2 1 3 1 1

d ? 4 ? d ? ? 1 ? 2 2 ; ? 1 2 1 ? 2 2 d ? d ? 1 2 5 ? 2 5 d ? d ? 3 d ? 4 ? 0 ? 或 ? ? a ? 4 n ? 6 a ? 1 1 ? n n n ? ?

1 1 ? n (Ⅱ)由(1)知,当 d ? 0时, a , n?

? n ? 1 1 ①当1 时,
n ( 1 0 ? 1 1 ? n ) n ( 2 1 ? n ) a ? 0 ? || a ? || a ? || a ? ? || a ? a ? a ? a ? ? a ? ? n 1 23 n 1 2 3 n 2 2
②当12?n时,

a ? 0 ? | aa | ??? |2 || a | ? | a | ? a ? a ? a ? ? aa ?? ( a ? ? a ) n 1 3 n 1 2 3 1 1 1 2 1 3 n
2 1 1 ( 2 1 ? 1 1 )n ( 2 1 ? n )n ? 2 1 n ? 2 2 0 ?? 2 ( a a ? a ? ? a ) ? ( a ? a ? a ? ? a ) ? 2 ? ? ? 123 1 1 123 n 2 2 2

n ( 2 1 ? n ) ? , ( 1 ? n ? 1 1 ) ? 所以,综上所述: ? 2 |a |? |a |? |a |? ? |a | ? ?2 1 2 3 n n? 2 1 n ? 2 2 0 ? , ( n ? 1 2 ) ? ? 2
6、【解析】(Ⅰ) 依题意, 2 ,所以 a2 ? 4 ; 1 S a 1 ? ,又 S 1 ?a 1? 1? 2? ?

1 3

2 3

3 2 (Ⅱ) 当 n ? 2 时, 2 , S n a ?n ? n ?n n? n ? 1

1 3

2 3

1 3 22 2 S ? n ? 1 a ? n ? 1 ? n ? 1 ? n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? n ? 1 n 3 3
2 两式相减得 2 a ? n a ? na ? 1 ? 33 nn ? ? 1 ? 2 n ? 1 ? ? ? ? ? n n ? 1 n

1 ? 3

?

2 3

n ? 1 a ? n a ? n n ? 1 整理得 ? ,即 ? ? ? n n ? 1

an?1 an a a ? ? 1,又 2 ? 1 ? 1 n ?1 n 2 1

故数列 ?

a1 ? an ? ? 是首项为 ? 1 ,公差为 1 的等差数列, 1 ? n ?

所以

a n ,所以 an ? n2 . ? 1 ? 1 1 ? n ?n? ?? n
1 7 1 1 1 5 7 ? 1 ? ;当 n ? 2 时, ? ? 1 ? ? ? ; a1 4 a a 4 4 4 1 2

(Ⅲ) 当 n ? 1 时,

当 n ? 3 时,

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ,此时 a n ? n ? 1 n n ? 1n ? n

1 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 22 2 a aa 3 4 n4 2 3 3 4 n ? 1 n ? ? ? ? ? ? 12 n 4 111 71 7 ?? 1 ????? 42n 4n 4
综上,对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ? ? ? . a a a 4 1 2 n

7、【解析】 (Ⅰ)

n 2 3 4 n x x x x x 是x ? 当 x ? 0 时, y ? 是单调递增的 ? f ( x ) ? ? 1 ? x ? ? ? ? ? ? n 2 22 2 2 n 2 3 4 n 的单调递增函数,也是 n 的单调递增函数. 且 . f ( 0 ) ? ? 1 ? 0 , f ( 1 ) ? ? 1 ? 1 ? 0 n n

? 存在唯一 x ? ( 0 , 1 ], 满足 f ( x ) ? 0 ,且 1 ? x ? x ? x ? x ? 0 n n n 1 2 3 n
2 3 4 n 2 n ? 1 2 x x x x x 1 ? x x 1 当 x ? ( 0 , 1 ). 时 , f ( x ) ? ? 1 ? x ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? x ? ? ? ? 1 ? x ? ? n 2 2 2 2 4 1 ? x 4 1 ? x 2 2 22 2 x 2 n 1 ? 0 ? f ( x ) ? ? 1 ? x ? ? ? ( x ? 2 )( 3 x ? 2 ) ? 0 ? x ? [ , 1 ] n n n n n n 4 1 ? x 3 n

综上,对每个 n? N ,存在唯一的 x n ? [ ,1] ,满足 fn(x n) ?0;(证毕)
n

2 3

n n n n (Ⅱ) 由题知 1 ? x ? x ? 0 , f ( x ) ? ? 1 ? x ? ? ? ? ? ? ? 0 n n ? p n n n 2 2 2 2

x xx 234
n

2

3

4

x n

n

x x x n ? px n ? px n ? p n ? p x n ? p n ? p f ( x ) ? ? 1 ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 n ? p n ? p n ? p 2 2 2 2 2 2 234 n ( n ? 1 ) ( n ? p )
上式相减:
2 3 4 n n ? 1 n ? p

2

3

4

n ? 1

n ? p

2 3 4 n x x x x x x n ? px n ? px n ? p n ? px n ? p n ? p nx n n n x ? ? ? ? ? ? ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n ? p 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 n 2 3 4 n ( n ? 1 ) ( n ? p )

x x x x x x x x n ? p nx n ? p nx n ? p n n ? p n n ? p n ? p x x ? ( ? ? ? ? ? ) ? ( ? ? ?2 ) n n ? p 2 2 2 2 2 2 3 4 n ( n ? 1 ) ( n ? p )

22

33

44

nn

n ? 1

n ? p

1 1 1 1 .(证毕) ?? ?? x x n n ? p? nn ? p n n

8、【解析】(Ⅰ) 分两种情况讨论。

q ? 1 时,数列 { a } 是首项 a 的常数 S ? a ? a ? ? ? a ? na . ①当 n 1 n 1 1 1 1

q ? 1 时, S ? a ? a ? ? ? a ? a ? qS ? qa ? qa ? ? ? qa ? qa ②当 . n 1 2 n ? 1 n n 1 2 n ? 1 n
上面两式错位相减:

( 1 q ) S ? a ? ( a ? qa ) ? ( a ? qa ) ? ? ( a ? qa ) ? qa ? a ? qa . n 1 2 1 3 2 n n ? 1 n 1 n
n a qa a ( 1 ? q ) 1? n 1 ? S ? ? . 。 n 1 q 1 q

na , ? 1 ? n ③综上, S a 1 ?q ) ? n? 1( , ? 1 ? ?q
(Ⅱ) 使用反证法。

( q? 1 ) ( q? 1 )

设 { a n } 是公比 q≠1 的等比数列, 假设数列 {an ?1 }是等比数列.则 ①当 ? =0 成立,则 {an ?1 n ? N ,使得 a ? 1 }不是等比数列。 n
*

n a ? 1 a q ? 1 n ? 1 1 ? n ? 恒为常数 ②当 ? 成立,则 n ? N ,使得 a ? 1 ? 0 n ? 1 a 1 a q ? 1 n? 1
*

n n ? 1 。这与题目条件 q≠1 矛盾。 ? a q ? 1 ? a q ? 1 ? 当 a ? 0 时 , q ? 1 1 1 1

③综上两种情况,假设数列 {an ?1 }是等比数列均不成立,所以当 q≠1 时, 数列 {an ?1 }不 是等比数列。 9、【解析与答案】(I)由已知条件得: a2 ? 5 ,又 a ,?? , ? 1? 1 0 q ? 1 或 3 2q 所以数列 ? a n ? 的通项或 a 5 ? 3 n? (II)若 q ? ?1,
n ? 2

1 1 1 1 ,不存在这样的正整数 m ; ? ? ? ? ?或 0 a a a 5 1 2 m

若q ? 3, 10、

m ? ? 1 1 1 9 1 ?? 9 ? ?? ? ? 1 ? ? ,不存在这样的正整数 m 。 ? ?? a a a 1 0 3 0 ? ? ? ? 1 2 m ? ?1

11、证:(1)若 c ? 0 ,则 a ,S a ? ( n ? 1 ) d n? n?

(n? 1 )d?2 a . b n? 2

n [( n ? 1 ) d? 2 a ] , 2

, b , b 当b 2 ?b 1b 4, 1 2 4成等比数列, b
2

d? ? d? ? 3 2 ad 即: ?a? ? ?a ,又 d ? 0 ,故 d ?2 a. ?a? ?,得: d ?2 2? ? 2? ?
2 22 2 2 2 由此: Sn ? n2a , S ,n . ? ( nk ) a ? n k a S n ka nk k?
2 故: S nk ?n S k ( k,n?N ).

2

*

n ? 1 ) d? 2 a 2( n nS n 2 (2) b , ? n? 2 2 n? c n ? c ( n ? 1 ) d ? 2 a ( n ? 1 ) d ? 2 a ( n ? 1 ) d ? 2 a 2 n ? c ? c 2 2 2 ? 2 n ? c ( n ? 1 ) d? 2 a c ( n ? 1 ) d? 2 a 2 . ? ? 2 2 n? c
若 { b n } 是等差数列,则 b 型. An ? Bn n? 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

(※)

(n ?1)d ? 2a (n? 1 )d?2 a (n ?1)d ? 2a 2 故有: ≠0, ? 0 ,即 c ?0,而 2 2 2 n ?c c
故c ? 0. 经检验,当 c ? 0 时 { b n } 是等差数列.


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