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回归分析练习题及参考答案


1 下面是 7 个地区 2000 年的人均国内生产总值(GDP)和人均消费水平的统计数据:
地区 北京 辽宁 上海 江西 河南 贵州 陕西 人均 GDP/元 22460 11226 34547 4851 5444 2662 4549 人均消费水平/元 7326 4490 11546 2396 2208 1608 2035

求:(1)人均 GDP 作

自变量,人均消费水平作因变量,绘制散点图,并说明二者之间的关系 形态。 (2)计算两个变量之间的线性相关系数,说明两个变量之间的关系强度。 (3)求出估计的回归方程,并解释回归系数的实际意义。 (4)计算判定系数,并解释其意义。 (5)检验回归方程线性关系的显著性( ? ? 0.05 )。 (6)如果某地区的人均 GDP 为 5000 元,预测其人均消费水平。 (7)求人均 GDP 为 5000 元时,人均消费水平 95%的置信区间和预测区间。 解: (1)

可能存在线性关系。 (2)相关系数:

1

系数 非标准化系数 模型 1 (常量) 人均GDP a. 因变量: 人均消费水平 B 734.693 .309 标准 误差 139.540 .008 .998 标准系数 试用版

a

相关性 t 5.265 36.492 Sig. .003 .000 .998 .998 .998 零阶 偏 部分

有很强的线性关系。 (3)回归方程: y ? 734.693 ? 0.309 x
系数 非标准化系数 模型 1 (常量) 人均GDP a. 因变量: 人均消费水平 B 734.693 .309 标准 误差 139.540 .008 .998 标准系数 试用版 t 5.265 36.492 Sig. .003 .000 .998 .998 .998 零阶
a

相关性 偏 部分

回归系数的含义:人均 GDP 没增加 1 元,人均消费增加 0.309 元。 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 注意:图标不要原封不动的完全复制软件中的图标,要按规范排版。
系数(a)
非标准化系数 模型 1 (常量) 人均 GDP(元)
a. 因变量: 人均消费水平(元)

标准化系数 Beta t 5.265 0.998 36.492 显著性 0.003 0.000

B 734.693 0.309

标准误 139.540 0.008

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% (4)
模型汇总 标准 估计的误 模型 1 R .998
a

R 方 .996

调整 R 方 .996

差 247.303

a. 预测变量: (常量), 人均GDP。

人均 GDP 对人均消费的影响达到 99.6%。 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 注意:图标不要原封不动的完全复制软件中的图标,要按规范排版。
模型摘要
模型 1
a. 预测变量:(常量), 人均 GDP(元) 。

R .998(a)

R 方 0.996

调整的 R 方 0.996

估计的标准差 247.303

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
2

(5)F 检验:
Anova 模型 1 回归 残差 总计 平方和 81444968.680 305795.034 81750763.714 df 1 5 6
b

均方 81444968.680 61159.007

F 1331.692

Sig. .000
a

a. 预测变量: (常量), 人均GDP。 b. 因变量: 人均消费水平

回归系数的检验:t 检验
系数 非标准化系数 模型 1 (常量) 人均GDP a. 因变量: 人均消费水平 B 734.693 .309 标准 误差 139.540 .008 .998 标准系数 试用版 t 5.265 36.492 Sig. .003 .000 .998 .998 .998 零阶
a

相关性 偏 部分

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 注意:图标不要原封不动的完全复制软件中的图标,要按规范排版。
系数(a)
非标准化系数 模型 1 (常量) 人均 GDP(元)
a. 因变量: 人均消费水平(元)

标准化系数 Beta t 5.265 0.998 36.492 显著性 0.003 0.000

B 734.693 0.309

标准误 139.540 0.008

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% (6) 某地区的人均 GDP 为 5000 元,预测其人均消费水平为 y ? 734.693 ? 0.309 ? 5000 ? 2278.693 (元)。 (7) 人均 GDP 为 5000 元时,人均消费水平 95%的置信区间为[1990.74915,2565.46399],预测 区间为[1580.46315,2975.74999]。

2 从 n=20 的样本中得到的有关回归结果是:SSR(回归平方和)=60,SSE(误差平方和) =40。要检验 x 与 y 之间的线性关系是否显著,即检验假设: H 0 : ?1 ? 0 。 (1)线性关系检验的统计量 F 值是多少? (2)给定显著性水平 ? ? 0.05 , F? 是多少? (3)是拒绝原假设还是不拒绝原假设?
3

(4)假定 x 与 y 之间是负相关,计算相关系数 r。 (5)检验 x 与 y 之间的线性关系是否显著? 解: (1)SSR 的自由度为 k=1;SSE 的自由度为 n-k-1=18;

SSR 60 k 因此:F= = 1 =27 SSE 40 n ? k ? 1 18
(2) F? ?1,18? = F0.05 ?1,18? =4.41 (3)拒绝原假设,线性关系显著。 (4)r=

SSR = 0.6 =0.7746,由于是负相关,因此 r=-0.7746 SSR ? SSE

(5)从 F 检验看线性关系显著。 3 随机抽取 7 家超市,得到其广告费支出和销售额数据如下: 超市 A B C D E F G 广告费支出/万元 l 2 4 6 10 14 20 销售额/万元 19 32 44 40 52 53 54

求: (1)用广告费支出作自变量 x,销售额作因变量 y,求出估计的回归方程。 (2)检验广告费支出与销售额之间的线性关系是否显著( ? ? 0.05 )。 (3)绘制关于 x 的残差图,你觉得关于误差项 ? 的假定被满足了吗? (4)你是选用这个模型,还是另寻找一个更好的模型? 解: (1)
系数(a)
非标准化系数 模型 1 (常量) 广告费支出(万元)
a. 因变量: 销售额(万元)

标准化系数 Beta t 6.116 0.831 3.339 显著性 0.002 0.021

B 29.399 1.547

标准误 4.807 0.463

(2)回归直线的 F 检验:
ANOVA(b)
模型 1 回归 残差 平方和 691.723 310.277 df 1 5 均方 691.723 62.055 F 11.147 显著性 .021(a)

4

合计
a. 预测变量:(常量), 广告费支出(万元) 。 b. 因变量: 销售额(万元)

1,002.000

6

显著。 回归系数的 t 检验:
系数(a)
非标准化系数 模型 1 (常量) 广告费支出(万元)
a. 因变量: 销售额(万元)

标准化系数 Beta t 6.116 0.831 3.339 显著性 0.002 0.021

B 29.399 1.547

标准误 4.807 0.463

显著。 (3)未标准化残差图:
10.00000

5.00000

Unstandardized Residual

0.00000

-5.00000

-10.00000

-15.00000 0 5 10 15 20

广告费支出(万元)

__
标准化残差图:

5

1.00000

Standardized Residual

0.00000

-1.00000

-2.00000 0 5 10 15 20

广告费支出(万元)

学生氏标准化残差图:

6

2.00000

1.00000

Studentized Residual

0.00000

-1.00000

-2.00000 0 5 10 15 20

广告费支出(万元)

看到残差不全相等。 (4)应考虑其他模型。可考虑对数曲线模型: y=b0+b1ln(x)=22.471+11.576ln(x)。

7

4 根据下面 SPSS 输出的回归结果,说明模型中涉及多少个自变量?多少个观察值?写出回
2 归方程,并根据 F,se,R2 及调整的 Ra 的值对模型进行讨论。

模型汇总

b

标准 估计的误 模型 1 R R 方 调整 R 方 差

0.842407 0.709650

0.630463

109.429596

Anova 模型 1 回归 残差 总计 平方和 df

b

均方

F

Sig.

321946.8018 131723.1982 453670

3 11 14

107315.6006 11974.84

8.961759

0.002724

系数 非标准化系数 模型 1 (常量) VAR00002 VAR00003 VAR00004 B

a

标准 误差

t

Sig.

657.0534 167.459539 5.710311 -0.416917 -3.471481

3.923655

0.002378

1.791836 3.186849 0.008655 0.322193 -1.293998 0.222174 1.442935 -2.405847 0.034870

解:自变量 3 个,观察值 15 个。

? =657.0534+5.710311X1-0.416917X2-3.471481X3 回归方程: y
2 拟合优度:判定系数 R2=0.70965,调整的 Ra =0.630463,说明三个自变量对因变量的影响的

比例占到 63%。 估计的标准误差 S yx =109.429596,说明随即变动程度为 109.429596 回归方程的检验:F 检验的 P=0.002724,在显著性为 5%的情况下,整个回归方程线性关系 显著。 回归系数的检验: ?1 的 t 检验的 P=0.008655,在显著性为 5%的情况下,y 与 X1 线性关系显 著。

?2 的 t 检验的 P=0.222174,在显著性为 5%的情况下,y 与 X2 线性关系
不显著。
8

在显著性为 5%的情况下, y 与 X3 线性关系显 ?3 的 t 检验的 P=0.034870, 著。 因此,可以考虑采用逐步回归去除 X2,从新构建线性回归模型。

5 下面是随机抽取的 15 家大型商场销售的同类产品的有关数据(单位:元)。 企业编号 l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 销售价格 y l238 l266 l200 1193 1106 1303 1313 1144 1286 l084 l120 1156 1083 1263 1246 购进价格 x1 966 894 440 664 791 852 804 905 77l 511 505 85l 659 490 696 销售费用 x2 223 257 387 310 339 283 302 214 304 326 339 235 276 390 316

求: (1)计算 y 与 x1、y 与 x2 之间的相关系数,是否有证据表明销售价格与购进价格、销售价 格与销售费用之间存在线性关系? (2)根据上述结果,你认为用购进价格和销售费用来预测销售价格是否有用? (3)求回归方程,并检验模型的线性关系是否显著( ? ? 0.05 )。 (4)解释判定系数 R2,所得结论与问题(2)中是否一致? (5)计算 x1 与 x2 之间的相关系数,所得结果意味着什么? (6)模型中是否存在多重共线性?你对模型有何建议? 解: (1)y 与 x1 的相关系数=0.309,y 与 x2 之间的相关系数=0.0012。对相关性进行检 验:
相关性
销售价格 销售价格 Pearson 相关性 显著性(双侧) N 购进价格 Pearson 相关性 显著性(双侧) N 销售费用 Pearson 相关性 15 0.309 0.263 15 0.001 15 -.853(**) 1 购进价格 0.309 0.263 15 1 销售费用 0.001 0.997 15 -.853(**) 0.000 15 1

9

显著性(双侧) N
**. 在 .01 水平(双侧)上显著相关。

0.997 15

0.000 15 15

可以看到,两个相关系数的 P 值都比较的,总体上线性关系也不现状,因此没有明显 的线性相关关系。 (2)意义不大。 (3) 回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 方差分析 df 回归分析 残差 总计 2 12 14 SS 31778.1539 58382.7794 90160.9333 MS 15889.08 4865.232 F Significance F 0.073722 3.265842 0.593684 0.35246 0.244537 69.75121 15

Coefficient s 标准误差 t Stat P-value

Lower 95%

Upper 95%

下限 95.0% -363.91 0.079317 0.002386

上限 95.0% 1115.114 0.996365 2.912001

339.41056 0.29014 (常量) 375.6018 2 1.10663 5 -363.91 1115.114 0.2104467 2.55571 购进价格 x1 0.537841 4 1 0.0252 0.079317 0.996365 0.6677065 2.18238 0.04968 销售费用 x2 1.457194 9 6 1 0.002386 2.912001

从检验结果看,整个方程在 5%下,不显著;而回归系数在 5%下,均显著,说明回归 方程没有多大意义,并且自变量间存在线性相关关系。 (4)从 R2 看,调整后的 R2=24.4%,说明自变量对因变量影响不大,反映情况基本一 致。 (5)方程不显著,而回归系数显著,说明可能存在多重共线性。 (6)存在多重共线性,模型不适宜采用线性模型。

6 一家电器销售公司的管理人员认为, 每月的销售额是广告费用的函数, 并想通过广告费 用对月销售额作出估计。下面是近 8 个月的销售额与广告费用数据: 月销售收入 y/万元 电视广告费用 x1 /万元 报纸广告费用 x2/万元

10

96 90 95 92 95 94 94 94

5.0 2.0 4.0 2.5 3.0 3.5 2.5 3.0

1.5 2.0 1.5 2.5 3.3 2.3 4.2 2.5

求: (1)用电视广告费用作自变量,月销售额作因变量,建立估计的回归方程。 (2)用电视广告费用和报纸广告费用作自变量,月销售额作因变量,建立估计的回归方 程。 (3)上述(1)和(2)所建立的估计方程, 电视广告费用的系数是否相同?对其回归系数分别进 行解释。 (4)根据问题(2)所建立的估计方程,在销售收入的总变差中,被估计的回归方程所解释 的比例是多少? (5)根据问题(2)所建立的估计方程,检验回归系数是否显著( ? ? 0.05 )。 ? ? 88.64+1.6x 解: (1)回归方程为: y
? ? 83.23 ? 2.29x1 ? 1.3x2 (2)回归方程为: y

(3)不相同, (1)中表明电视广告费用增加 1 万元,月销售额增加 1.6 万元; (2) 中表明,在报纸广告费用不变的情况下,电视广告费用增加 1 万元,月销售额增加 2.29 万 元。
2 (4)判定系数 R2= 0.919,调整的 Ra = 0.8866,比例为 88.66%。

(5)回归系数的显著性检验: Coefficie 标准误 Lower nts t Stat P-value 95% 差 Upper 95% 下限 95.0% 上限 95.0%

1.57386 52.882 4.57EIntercept 83.23009 9 48 08 79.18433 87.27585 79.18433 87.27585 0.30406 7.5318 0.0006 电 视 广 告 费 用 工 : x1 2.290184 5 99 53 1.508561 3.071806 1.508561 3.071806 (万元) 0.32070 4.0566 0.0097 2 97 61 0.476599 2.125379 0.476599 2.125379 报纸广告费用 x2(万元) 1.300989 假设:H0: ?1 =0 t= H1: ?1 ≠0

?1 2.29 = =7.53 S ? 0.304
1

t0.025 ?5? =2.57, t > t0.025 ?5? ,认为 y 与 x1 线性关系显著。
(3)回归系数的显著性检验:

11

假设:H0: ? 2 =0 t=

H1: ? 2 ≠0

?2
S ?2

=

1.3 =4.05 0.32

t0.025 ?5? =2.57, t > t0.025 ?5? ,认为 y 与 x2 线性关系显著。
7 某农场通过试验取得早稻收获量与春季降雨量和春季温度的数据如下: 收获量 y(kg/hm2) 2250 3450 4500 6750 7200 7500 8250 降雨量 x1(mm) 25 33 45 105 110 115 120 温度 x2(℃ ) 6 8 10 13 14 16 17

求: (1)试确定早稻收获量对春季降雨量和春季温度的二元线性回归方程。 (2)解释回归系数的实际意义。 (3)根据你的判断,模型中是否存在多重共线性?
? ? -0.591 ? 22.386x1 ? 327.672x2 解: (1)回归方程为: y

(2)在温度不变的情况下,降雨量每增加 1mm,收获量增加 22.386kg/hm2,在降雨 量不变的情况下,降雨量每增加 1 度,收获量增加 327.672kg/hm2。 (3) x1 与 x 2 的相关系数 rx1x2 =0.965,存在多重共线性。

12


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