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专题3函数与导数


专题三
一、知识点梳理

函数与导数

二、在解题中常用的有关结论(需要熟记) : ( 1 ) 曲 线 y ? f ( x) 在 x ? x0 处 的 切 线 的 斜 率 等 于 f ?( x0 ) , 且 切 线 方 程 为
y ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ) 。

>若可导函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极值,则 f ?( x0 ) ? 0 。反之不成立。 对于可导函数 f ( x) ,不等式 f ?( x) ? 0( ? 0) 的解是函数 f ( x) 的递增(减)区间。 函数 f ( x) 在区间 I 上递增(减)的充要条件是: ?x ? I f ?( x) ? 0 (? 0) 恒成立( f ?( x) 不 恒为 0).
1

(2) 若函数 f ( x) 在区间 I 上有极值, 则方程 f ?( x) ? 0 在区间 I 上有实根且非二重根。 (若
f ?( x ) 为二次函数且 I=R,则有 ? ? 0 ) 。

(3)若函数 f(x)在区间 I 上不单调且不为常量函数,则 f ( x) 在 I 上有极值。 若 " x I f ( x) ? 0 恒成立,则 f ( x)min ? 0 ; 若 ?x ? I f ( x) ? 0 恒成立,则 f ( x)max ? 0 若 ?x0 ? I 使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 f ( x)max ? 0 .;若 ?x0 ? I 使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 f ( x)min ? 0 . 设 f ( x) 与 g ( x) 的定义域的交集为 D, ?x ? D f ( x) > g ( x) 恒成立, 若 则有 ? f ( x) ? g( x)?min ? 0 . (4)若对 ?x1 ? I1 、 x2 ? I 2 , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,则 f ( x)min ? g ( x)max . 若对 ?x1 ? I1 , ?x2 ? I 2 , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 则 f ( x)min ? g ( x)min . 若对 ?x1 ? I1 , ?x2 ? I 2 ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则 f ( x)max ? g ( x)max . (5) 已知 f ( x) 在区间 I1 上的值域为 A, g ( x) 在区间 I 2 上值域为 B,若对 ?x1 ? I1 , ?x2 ? I 2 使 得 f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立,则 A ? B 。 ( 6 ) 若 三 次 函 数 f(x) 有 三 个 零 点 , 则 方 程 f ?( x ) ? 0有 两 个 不 等 实 根 x1 , x2
f ( x1 ) f ( x2 ) ? 0



(7) 证题中常用的不等式:
① ②

ln x ? x ? 1 ( x ? 0) (仅当 x=1 时取“=” )


ln x+1 ? x ( x ? ?1) (仅当 x=0 时取“=” ( ) )

ln(1 ? x2 ) ? x ( x ? 0)

ln x x ? 1 ? ( x ? 1) x ?1 2 ④


ln x 1 1 ? ? 2 ( x ? 0) 2 2 2x ⑤ x
⑦e
?x

ex ? 1 ? x

? 1? x

三.函数与导数解答题常见题型的解法
(1)已知曲线 y ? f ( x) (含参数)的切线方程为 y ? kx ? b ,求参数的值 【解法】先设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,求出切线方程

y ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 )

? f ?( x0 ) ? k 再与已知切线方程比较系数得: ? ?? xf ?( x0 ) ? f ( x0 ) ? b
解此方程组可求参数的值
2

(2)已知函数 y ? f ( x) (含参数) ,讨论函数的单调性 【解法】先确定 f ( x) 的定义域,并求出 f ?( x ) ,观察 f ?( x ) 能否恒大于或等于(恒小于或等于)0,如 果能,则求参数的范围,讨论便从这里开始,当参数在上述范围以外取值时,令 f ?( x) ? 0 , 求根 x1 , x2 .再分层讨论, 是否在定义域内或讨论 x1 , x2 的大小关系, 再列表讨论, 确定 f ( x) 的 单调区间。 (大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数,因此讨论函数单调性问题又 往往是讨论二次函数在某一区间上的符号问题) (3)已知函数 y ? f ( x) (含参数)在区间 I 上有极值,求参数的取值范围. 【解法】函数 f ( x) 在区间 I 上有极值,可转化为,方程 f ?( x) ? 0 在区间 I 上有实根,且为非二重 根。从而确定参数(或其取值范围) 。 (4)可导函数 f ( x) (含参数)在区间 I 上无极值,求参数的取值范围 【解法】f ( x) 在区间 I 上无极值等价于 f ( x) 在区间在上是单调函数, 进而得到 f ?( x ) ? 0 或 f ?( x ) ? 0 在 I 上恒成立 (5) 函数 f ( x) (含单个或多个参数)仅在 x ? x0 时取得极值,求参数的范围 【解法】先由 f ?( x) ? 0 ,求参数间的关系,再将 f ?( x ) 表示成 f ?( x ) = ( x ? x0 ) g ( x) ,再由 g ( x) ? 0 (? 0) 恒成立,求参数的范围。 (此类问题中 f ?( x ) 一般为三次多项式函数) (6) 函数 f ( x) (含参数)在区间 I 上不单调,求参数的取值范围 【解法一】转化为 f ( x) 在 I 上有极值。 (即 f ?( x) ? 0 在区间 I 上有实根且为非二重根) 。 【解法二】从反面考虑:假设 f ( x) 在 I 上单调则 f ?( x ) ? 0 (? 0) 在 I 上恒成立,求出参数的取值范 围,再求参数的取值范围的补集
( (7)已知函数 f ( x) (含参数) ,若 ?x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? 0 ? 0) 成立,求参数的取值范围.

【解法一】转化为 f ( x) 在 I 上的最大值大于 0(最小值小于 0) 【解法二】从反面考虑:假设对 ?x ? I,f ( x) ? 0(? 0) 恒成立则 f ( x)max ? 0 ( f ( x)min ? 0 ),求参数 的取值范围,再求参数的取值范围的补集 (8)含参数的不等式恒成立,求参数的取值范围 【解法一】分离参数求最值 【解法二】构造函数用图像
3

(注:对于多变量不等式恒成立,先将不等式变形,利用函数的最值消变元,转化为单变量不等 式恒成立问题) (9)可导函数 f ( x) (含参数)在定义域上存在单调递增(减)区间, 求参数的范围.
( ( 【解法】等价转化为 f ?( x ) ? 0 ? 0) 在定义域上有解即 ?x0 ? D 使 f ( x0 ) ? 0 ? 0) 成立(1)可用分离

参数法(2)利用图像及性质 (10)证明不等式 【解法】 构造函数 f ( x) 并确定定义域 D, 考察在 D 上的单调性(注意区间端点的函数值)或者求 f ( x) 在 D 上的最值 ( 注:对于含有正整数 n 的带省略号的不定式的证明,先观察通项,联想基本不定式,确定要 证明的函数不定式,再对自变量 x 赋值,令 x 分别等于 1、2、??.、n,把这些不定式累 加,可得要证的不等式。 )

四、典型例题
1、 (2013·福建省福州市期末)能够把圆 O:x +y = 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的 “和 谐函数”,下列函数不是圆 O 的“和谐函数”的是 A. f ( x) ? 4x ? x
3
2 2

B. f ( x) ? 1n
x

5? x 5? x
?x

C. f ( x) ? tan

x 2

D. f ( x) ? e ? e

2、 (2013·武汉第一次调研)我们把形如 y ?

b ?a ? 0, b ? 0? 的函数称为“莫言函数” ,并把其与 y 轴的交点 x ?a

关于原点的对称点称为“莫言点” ,以“莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”有公共点的圆,皆称之为“莫言圆” , 则当 a ? 1 , b ? 1 时, (1)莫言函数的单调增区间为: (2)所有的“莫言圆”中,面积的最小值为____________ )

3、(2013·西工大附中适应性训练)设 a ? 0.50.5 , b ? 0.30.5 , c ? log0.3 0.2 ,则 a, b, c 的大小关系是( A. a ? b ? c B.

a?b?c

C. c ? b ? a
x

D. b ? a ? c )

4、(2013·杭州市第一次质检)设函数 f ( x) ? 2 ,则下列结论中正确的是( A. f (?1) ? f (2) ? f (? 2) C. f (2) ? f (? 2) ? f (?1) B. f (? 2) ? f (?1) ? f (2) D. f (?1) ? f (? 2) ? f (2)

5、 (2013·西工大附中第二次适应性训练)为了得到函数 y = log2 所有的点的( )

x - 1 的图象,可将函数 y = log2 x 的图象上

A.纵坐标缩短到原来的

1 倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 2
4

B.纵坐标缩短到原来的

1 倍,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 2

C.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 D.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度

7、(2013·河南省三门峡市 2013 届高三第一次大练习)已知二次函数 f ( x) = ax 2 ? bx ? c 的导数为 f ?( x) ,

f ?(0) >0,对任意实数 x 都有 f ( x) ≥0,则
A.4 B.3 C.8 D.2

f (1) 的最小值为 f ?(0)

8、(2013·银川一中第六次月考)若函数 f ? x ? ? e ? x , x ? R ,则函数的极值点的个数是(
x 3

)

A.0

B.1

C.2

D.3

? 1? x2 ? 9、(2013·湖北咸宁、通城、通山、崇阳四校联考)设函数 f ( x) ? ? 1 ? x ?
对数的底数) ,则 A.

x ? [0,1] x ? (1, e]
(其中 e 为自然

?

e

0

f ( x)dx 的值为(
C.

) D.

? ?1 2

B.

? ?1 2

? ?1 4
16 C. 3

? ?1 4

10、(2013·江西省南昌市调研)由曲线 y= x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 10 A. 3 B.4 D.6

12. 设 a∈R,函数

1 f ( x) ? e ? x ( ax2 ? a ?1 ) ,其中 e 是自然对数的底数. 2

(Ⅰ) 判断函数 f ( x ) 在 R 上的单调性; (Ⅱ) 当 ?1 ? a ? 0 时,求函数 f (x) 在[1,2]上的最小值.

5

13. 已知函数

f ( x) ? ? x 3 ? 3 x 2 ? 9 x ? a .

(Ⅰ)求 (Ⅱ)若

f (x) 的单调递区间; f (x) 的图象与 x 轴有三个交点,求实数 a 的取值范围。

14、已知三次函数 f ( x ) 的最高次项系数为 a,三个零点分别为 ?1,0,3 .

f ( x) ? 2 x ? 7 a ? 0 有两个相等的实根,求 a 的值; x a 2 ⑵若函数 ? ( x) ? f ( x) ? 2 x 在区间 (?? , ) 内单调递减,求 a 的取值范围. 3
⑴ 若方程

15、 已知函数 f ( x) ? kx ? (Ⅰ)若 x

k ? 2 ln x . x

? 2 为函数 f (x) 的极值点,求函数 y ?

f (x) 的解析式;

(Ⅱ)若函数 f (x) 在其定义域内为增函数,求实数 k 的取值范围.

6

16、已知 f ( x) ? x ln x, g( x) ? ?x 2 ? ax ? 3. (1 )求函数 f(x)的最小值; (2 )对一切 x ? (0, ??),2 f ( x)≥g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值 范围;

2 17、已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? bx ? x ? 2 ,其中 a ,b ? R 且 ab ? 2 .函数 f ( x ) 在 [ ,1] 上是减函数,

1 4

函数 g ( x) 在 [ ,1] 上是增函数. (1)求函数 f ( x ) , g ( x) 的表达式; (2)若不等式 f ( x) ? mg ( x) 对 x ? [ ,1] 恒成立,求实数 m 的取值范围. .

1 4

1 4

18、 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ? b(a, b ? R) ,在点 (e, f (e)) 处的切 线方程是 2 x ? y ? e ? 0 (e 为自然对数 的底) 。 (1)求实数 a , b 的值及 f ( x) 的解析式; (2)若 t 是正数,设 h( x) ? f ( x) ? f (t ? x) ,求 h( x) 的最小值; (3)若关 于 x 的不等式 x ln x ? (6 ? x)ln(6 ? x) ? ln(k 2 ? 72k ) 对一切 x ? (0, 6) 恒成立,求实数 k 的取值 范围.

7

19、 已知函数 f ( x) ?| x ? m | 和函数 g ( x) ? x | x ? m | ?m2 ? 7m .
(1) 若方程 f ( x) ?| m | 在 [4, ??) 上有两个不同的解,求实数 m 的取值范围; (2) 若对任意 x1 ? (??, 4] ,均存在 x2 ?[3, ??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 m 的取值范围.

20、 已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], ,其中 e 是自然常数, (1)若 x ? 1 为 f (x) 的极值点, 求 f (x ) 的单调区间和最小值; (2)是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (3) g ( x) ?
1 ln x ,在(1)的条件下,求证: f ( x) ? g ( x) ? . 2 x

21、已知函数 f ( x) ?

1? x ? ln x, a ? R且a ? 0. ax

(I)当 a=2 时, 求函数 f ( x)在 ? , e ? 的最大值和最小值; e (II)若函数 g ( x) ? af ( x) ,求函数 g ( x) 的单调递减区间; (III)当 a=1 时,求证: ?n ? 2, n ? N ,
[来源:学科网]

?1 ?

? ?

? k ln k ?
k ?2

n

n2 ? n . 2

8


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