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福建省福州市2013届高三上学期期末质检数学文试题


福建省福州市 2013 届高三上学期期末质量检查

数学(文)试题
参考公式:

用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b ?

? x y ? nx?y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y ? bx

第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答 案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1. i 是虚数单位,复数 A.第一象限 C.第三象限

2?i 在复平面上的对应点所在 1? i
B.第二象限 D.第三象限

2.如图设全集 U 为整数集,集合 A ? {x ? N |1 ? x ? 8}, B ? {0,1, 2} 则下图中阴影部分表示的集合 的真子集的个数为 A.3 B.4 C.7 D.8 3.设命题 p:函数 y ? cos 2 x 的最小正周期为 称,则下列判断正确的是 A.p 为真 B. ?q 为真

? ? ,命题 q:函数 y ? sin x 的图象关于直线 x ? 对 2 2
C. p ? q 为真 D. p ? q 为真

4.对具有线性相关关系的变量 x,y,测得一组数据如下表: x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 根据上表, 利用最小二乘法得它们的回归直线方程为 y ? 10.5 x ? a , 据此模型来预测当 x= 20 时, y 的估计值为 A. 210 B.210.5 C.211.5 D.212.5
? ?

5.“ a ∥ b ”是“存在唯一实数 ? ,使得 a = ? b ”的

?

?

?

?

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 6.函数 y ? 1og5 (1 ? x) 的大致图象是

D.既不充分也不必要条件

7.△ABC 中,若 sinB 既是 sinA,sinC 的等差中项,又是 sinA,sinC 的等比中项,则∠B 的大小是 A. 30
?

B. 45

?

C. 60

?

D. 90

?

8.在区间[0, ? ]上随机取一个数 x,则事件“ sin x ? cos x ? A.

6 ”发生的概率为 2
D.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

2 3

9.若运行如右图所示的程序,则输出 S 的值是

2012 2011 2012 C. 2013
A.

2011 2012 2013 D. 2012
B.

10.已知函数 f ( x) ? M sin(? x ? ? )( M ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

半个周期内的图象如图所示,则函数 f ( x) 的解析式为 A. f ( x) ? 2sin( x ?

?
6

) )

B. f ( x) ? 2sin(2 x ? C. f ( x) ? 2sin( x ?

?
6
)

?
6

D. f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) 2 3 ? 的最小值为 m n
D.5

11.若点 A(m、n)在第一象限,且在直线 2 x ? 3 y ? 5 上,则 A.

24 5

B.

26 5

C .4

12.能够把圆 O:x2 +y2= 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的“和谐函数”,下 列函数不是圆 O 的“和谐函数”的是 A. f ( x ) ? x
3

B. f ( x) ? tan
?x

x 2

C. f ( x ) ? e ? e
x

D. f ( x) ? 1n[(4 ? x)(4 ? x)]

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上。 ) 13.以椭圆

x2 ? y 2 ? 1的右焦点为焦点,且顶点在原点的抛物线标准议程为 3
?1og 2 x, x ? 0
x ? ?2 ? 1, x ? 0



14.若函数 f ( x ) ? ?

,则函数 f ( x) 的零点为



?x ? y ? 2 ? 1 ? 15.已知 O 是坐标原点,点 M 的坐标为(2,1) ,若点 N(x,y)为平面区域 ? x ? 上的一个动 2 ? ? ?y ? x

ON 的最大值是 点,则 OM ·
x2 x2
x

???? ? ????



16.已知点 A( x1 , a ) B( x2 , a ) 是函数 y ? 2 的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段 AB 总是 位于 A、B 两点之间函数图象的上方,因此有结论

a x1 ? a x2 ?a 2

x1 ? x2 2

成立.运用类比思想方法可

知,若点 A(x1,sinxl) 、B(x2,sinx2)是函数 y=sinx(z∈(0, ? ) )的图象上的不同两点,则 类似地有____成立. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an }中a1 ? 1, 点(an , an ?1 )在函数y ? 3x ? 2的图象上(n ? N ).
*

(I)证明:数列 {an ? 1} 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和. 18(本小题满分 12 分)

cos ? x ? 2 3 cos ? x ? 3 (其中 ? >o) 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x · ,且函数 f ( x) 的最小正周期
2

为? (I)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 y= f(x)的图象向右平移

1 ? 单位长度,再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的 2 6

倍(纵坐标不变)得到函数 y=g(x)的图象.求函数 g(x)的单调区间.

19. (本小题满分 12 分) 某学校为促进学生的全面发展,积极开展丰富多样的社团活动,根据调查,学校在传统民族文化 的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团,三个社团参加的人数如下表示所示: 社团 泥塑 剪纸 年画 320 240 200 人数 为调查社团开展情况,学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 n 的样本,已知 从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少 2 人. (I)求三个社团分别抽取了多少同学; (Ⅱ)若从“剪纸”社团抽取的同学中选出 2 人担任该社团活动监督的职务,已知“剪纸”社团被抽 取的同学中有 2 名女生,求至少有 1 名女同学被选为监督职务的概率. 20. (本小题满分 12 分) 没椭圆 C :

y 2 x2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别 F1、F2,点 P 是椭圆短轴的一个端点,且焦距 a 2 b2

为 6,△P F1F2 的周长为 16. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为

4 的直线 l 被椭圆 C 所截线段的中点坐标。 5

21. (本小题满分 14 分) 如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC, 其中 OAE 是一个游泳池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相 切的直路 l (宽度不计) ,切点为 M,并把该地块分为两部分.现以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系, 若池边 AE 满足函数 y ? ? OA 距离为 t (0 ? t ? 2) .

1 2 x ? 2(0 ? x ? 2 的图象,且点 M 到边 2

1 时,求直路 l 所在的直线方程; 2 (Ⅱ)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?
(I)当 t ? 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 1nx ? b · x 的图象过点(1,0)
2

(I)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x) ?

1 ? 1nx(t 为实数)恒成立,求 t 的取值范围; x
x 2 m2 ? 1 ? x 在区间(0,2)上极值点的个数。 2 m

(Ⅲ)当 m ? 0 时,讨论 F ( x) ? f ( x) ?

福州市 2012—2013 学年第一学期高三期末质量检查 数学(文科)试卷参考答案及评分意见
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.C 8.B 9.C 10.A 11.D 12.D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 13. y 2 ? 4 2 x 14. 1 或 0 15.3 16. sin x1 ? sin x2 ? sin x1 ? x2
2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因点 (an , an ?1 ) 在直线 y ? 3x ? 2 的图象上,? an?1 ? 3an ? 2 , 令 bn ? a n ? 1,故只需证 ?bn ?是等比数列, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

bn?1 an?1 ? 1 3an ? 2 ? 1 3 ? an ? 1? ? ? ? ? 3 , b1 ? a1 ? 1 ? 2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 bn an ? 1 an ? 1 an ? 1

?数列 ?bn ?是以 2 为首项,3 为公比的等比数列.
即数列 ?a n ? 1?是以 2 为首项,3 为公比的等比数列. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,数列 ?a n ? 1?是以 2 为首项,3 为公比的等比数列, ∴ an ? 1 ? 2 ? 3
n ?1

,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? an ? 2 ? 3n ?1 ? 1 · 所以数列 ?a n ?的前 n 项和

Sn ? (2 ? 1) ? (2 ? 3 ? 1) ? ??? ? 2 ? 3n?1 ? 1

? 2(1 ? 3 ? ??? ? 3n?1 ) ? n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

? 2?

1 ? 3n ?n 1? 3

? 3n ? n ? 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分
18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2?x ? 3 cos 2?x ? 2 sin(2?x ?

?
3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ), ·

因为 ? ? 0 ,函数 f ( x) 周期为 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 所以 T ?

2? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? ? ? ,所以 ? ? 1 · 2? ?

? 个单位后得到函数 6 3 ? ? 2? 1 y ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ) 的图象,再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的 倍, 2 6 3 3 2? 纵坐标不变,得到函数 g ( x) ? 2sin(4 x ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ). · 3 ? 2? ? k? 7? k? ? 由 - ? 2k? ? 4 x ? (k ? Z ) ? ? 2k? , (k ? Z ) ;得 ?x? ? 2 3 2 2 24 2 24 ? 2? 3? k? ? k? 5? 由 ? 2k? ? 4 x ? (k ? Z ) ? ? 2k? (k ? Z ) ;得 ?x? ? 2 3 2 2 24 2 24 k? 7? k? ? 故函数 g ( x) 的增区间为[ - , ? ] (k ? Z ) ; 2 24 2 24 k? ? k? 5? 减区间为[ ], (k ? Z ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 - , ? 2 24 2 24
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

) . 将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设抽样比为 x ,则由分层抽样可知, “泥塑” 、 “剪纸” 、 “年画”三个社团抽取的人数分别为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 320 x、 240 x、 200 x . ·

1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 40 1 1 故“泥塑” 、 “剪纸” 、 “年画”三个社团抽取的人数分别为 320 ? ? 8 , 240 ? ?6 , 40 40 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 200 ? ?5.· 40
则由题意得 320 x ? 240 x ? 2 ,解得 x ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知,从“剪纸”社团抽取的同学为 6 人,其中 2 位女生记为 A,B,4 位男生记为 C,D,E,F. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 则从这 6 位同学中任选 2 人,不同的结果有 {A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F}, {B,C},{B,D},{B,E},{B,F}, {C,D},{C,E},{C,F}, {D,E},{D,F}, {E,F}, 共 15 种. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 其中含有 1 名女生的选法为 {A,C},{A,D},{A,E},{A,F}, {B,C},{B,D},{B,E},{B,F}, 共 8 种; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 含有 2 名女生的选法只有{A,B}1 种. 故至少有 1 名女同学被选中的概率为

8 ?1 9 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? = .· 15 15 5

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,则由题设得 ?

?

2c ? 6

? 2a ? 2c ? 16

,解得 ?

?a ? 5 ,所以 ?c ? 3

x2 y 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ?1.· b ? a ? c ? 5 ? 3 ? 16 ,故所求 C 的方程为 ? 25 16
2 2 2 2 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (Ⅱ)解法一、过点 ? 3, 0 ? 且斜率为 将之代入 C 的方程,得

4 4 的直线方程为 y ? ? x ? 3? ,????????? 8 分 5 5

x 2 ? x ? 3? ? ? 1 ,即 x 2 ? 3x ? 8 ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 25 25
2

因为 ? 3, 0 ? 在椭圆内,所以直线 l 与椭圆有两个交点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 因为 x1 ? x2 ? 3 ,所以线段 AB 中点的横坐标为 纵坐标为

x1 ? x2 3 ? , 2 2

4 ?3 6 ? ? ? ? 3? ? ? . 5 ?2 5 ?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分

故所求线段的中点坐标为 ?

?3 6? ,? ? . ?2 5?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

解法二、过点 ? 3, 0 ? 且斜率为

4 4 的直线 l 的方程为 y ? ? x ? 3? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 5 5

因为 ? 3, 0 ? 在椭圆内,所以直线 l 与椭圆有两个交点, 设两交点的坐标分别为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,中点 M 的坐标为 ( x 0 , y 0 )

? x12 y12 ? ? 1 (1) ? ? 25 16 则有 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 (2) ? ? 25 16
由(1)-(2)得,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ?? 1 25 16



16( x1 ? x2 ) y ? y2 ?? 1 25( y1 ? y2 ) x1 ? x2
16 x0 4 4 ? ? ,又 y 0 ? ( x0 ? 3) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 25 y 0 5 5



3 ? x ? 0 ? ? 2 所以 ? ?y ? ? 6 0 ? 5 ?
故所求线段的中点坐标为 ?

?3 6? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ,? ? .· ?2 5?

21. (本小题满分 12 分) 1 解: (Ⅰ)∵ y ? ? x 2 ? 2 ,∴ y? ? ? x , 2 1 ∴过点 M (t , ? t 2 ? 2) 的切线的斜率为 ?t , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 2 y 1 1 所以过点 M 的切线方程为 y ? (? t 2 ? 2) ? ?t ( x ? t ) ,即 y ? ?tx ? t 2 ? 2 ; 2 2 B A 1 1 17 当 t ? 时,切线 l 的方程为 y ? ? x ? ???????????4 分 2 2 8 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,切线 l 的方程为: y ? ?tx ? t 2 ? 2 , 2 t t x 令 y ? 2 ,得 x ? .故切线 l 与线段 AB 交点为 F ( , 2) ,????5 分 O 2 2 C 1 1 令 x ? 2 ,得 y ? t 2 ? 2t ? 2 .故切线 l 与线段 BC 交点为 G (2, t 2 -2t+2) ????????6 分 2 2 地块 OABC 在切线 l 右上部分的区域为一三角形 ?FBG ,设其面积为 f (t ) ,

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 FB ? BG ,· 2 1 1 1 ? ? (2- t) ? (- t 2 +2t) 2 2 2 1 3 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 f (t )= t -t +2t (0<t ? 2) · 8 3 ∵ f ?(t ) ? t 2 -2t+2 8 4 4 ∴当 t ? 时 f (t ) 为单调递增函数;当 t ? (0,) ( ,) 2 时 f (t ) 为单调递减函数, 3 3 4 4 32 ∴当 t ? 时, f (t ) 的最大值为 f ( )= .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 3 3 27
∴ f (t ) ?

∴当点 M 到边 OA 距离为

400 m 时, 3 320000 2 m .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 27

地块 OABC 在直路 l 不含游泳池那侧的面积取到最大,最大值为 22.(本小题满分 14 分)

解: (Ⅰ)函数 f ( x) ? ln x ? bx 的图象过定点(1,0) ,??????????????1 分
2

把点(1,0)代入 f ( x) ? ln x ? bx 得 b ? 0 ,
2

所以 f ( x) ? ln x ,???????????????????????????????2 分

t ? ln x 恒成立, x t t 即 ? ln x ? ln x 恒成立,得 ? 2ln x ,因为 x ? 0 , x x 所以 t ? 2x ln x ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分
(Ⅱ) f ( x) ? 令 h( x) ? 2 x ln x, h '( x) ? 2(ln x ? 1) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

1 e 1 1 当 x ? ( , ??) 时, h '( x) ? 0 ,所以 h( x ) 在 ( , ??) 为增函数;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6分 e e 1 2 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 h( x) 的最小值为 h( ) ? ? ,故 t ? ? ; · e e e
当 x ? (0, ) 时, h '( x) ? 0 ,所以 h( x ) 在 (0, ) 为减函数; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅲ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? ln x ,所以 F ( x) ? ln x ?

1 e

x 2 m2 ? 1 ? x( x ? 0) 2 m

所以

1 m2 ? 1 F '( x) ? x ? ? ? x m

( x ? m)( x ? x

1 ) m

又 x ? 0 ,由 F ?( x) ? 0 得, x1 ? m , x 2 ?

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 .· m

(1)当 m ?

1 · · · · · · · · · 10 分 时,得 m ? 1 , F ?( x) ? 0 , F ( x) 在(0,2)为增函数,无极值点;· m

?0 ? m ? 2 1 1 ? (2)当 ? 且 m ? 时,得 ? m ? 2 且 m ? 1 ,根据 x、F ? x ?、F ? ? x ? 的变化情况检验, 1 0? ?2 m 2 ? m ?
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 可知 F ( x) 有 2 个极值点; ·

?0 ? m ? 2 ?m ? 2 1 ? ? (3)当 ? 1 或? 时,得 0 ? m ? 或 m ? 2 时,根据 x1、F ? x ?、F ? ? x ? 的变化情 1 ?2 0? ?2 2 ? ? m ?m ?
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 况检验,可知 F ( x) 有 1 个极值点; · 综上,当 m ? 1 时,函数 F ( x) 在(0,2)无极值点;当 0 ? m ?

1 或 m ? 2 时, F ( x) 有 1 个极值点; 2



1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 ? m ? 2 且 m ? 1 时, F ( x) 有 2 个极值点. · 2


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