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2016-2017学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其线性运算课时作业


3.1.1

空间向量及其线性运算

课时目标 1.理解空间向量的概念, 掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间 向量的加减运算及其运算律,能借助图形理解空间向量及其运算的意义.

1.空间向量中的基本概念 (1)空间向量:在空间,我们把既有________又有________的量,叫做空间向量. (2)相等向量

: ________相同且________相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量. (3)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线______________或________, 那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 2.空间向量的线性运算及运算律 类似于平面向量,我们可以定义空间向量的加法和减法运算及数乘运算: → → → OB=OA+AB=________, → → → CA=OA-OC=________, → OP=λ a (λ ∈R).

空间向量加法的运算律 (1)交换律:______________. (2)结合律:(a+b)+c=____________. (3)λ (a+b)=λ a+λ b (λ ∈R). 3.共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b (a≠0),b 与 a 共线的充要条件是存在实 数 λ ,使__________. 规定:零向量与任意向量共线.

一、填空题 1.判断下列各命题的真假: → → ①向量AB的长度与向量BA的长度相等; ②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ④两个有公共终点的向量,一定是共线向量; ⑤有向线段就是向量,向量就是有向线段. 其中假命题的个数为________. → → → → → → 2.已知向量AB,AC,BC满足|AB|=|AC|+|BC|,则下列叙述正确的是________.(写出 所有正确的序号) → → → ①AB=AC+BC; → → → ②AB=-AC-BC; → → ③AC与BC同向; → → ④AC与CB同向. → → → 3.在正方体 ABCD-A1B1C1D 中,向量表达式DD1-AB+BC化简后的结果是________.
1

→ → → 4. 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D 中,用向量 AB , AD , AA1 来表示向量 AC1 的表达式为 ________________________________________________________________________. → 1 → → 5.四面体 ABCD 中,设 M 是 CD 的中点,则AB+ (BD+BC)化简的结果是________. 2 6.平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F,G,H,P,Q 分别是 A1A,AB,BC,CC1,C1D1, D1A1 的中点,下列结论中正确的有________.(写出所有正确的序号) → → → → ① ? +GH+PQ=0;② ? -GH-PQ=0;
EF

EF
EF

→ → → → ③ ? +GH-PQ=0;④ ? -GH+PQ=0.
EF

→ → → → 7. 如图所示, a,b 是两个空间向量,则 AC 与 A′C′ 是 ________ 向量, AB 与 B′A′ 是 ________向量.

→ → → → 8.在正方体 ABCD-A1B1C1D 中,化简向量表达式AB+CD+BC+DA的结果为________. 二、解答题

9.如图所示,已知空间四边形 ABCD,连结 AC,BD,E,F,G 分别是 BC,CD,DB 的中 → → → → → → 点,请化简(1)AB+BC+CD,(2)AB+GD+EC,并标出化简结果的向量.

10.设 A 是△BCD 所在平面外的一点,G 是△BCD 的重心. → 1 → → → 求证:AG= (AB+AC+AD). 3

2

能力提升 11.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD → → → 交于点 F.若AC=a,BD=b,则AF=______________________. 12.证明:平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分.

1.在掌握向量加减法的同时,应掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差,如共线、 共起点、共终点等. 2.共线向量定理包含两个命题,特别是对于两个向量 a、b,若存在惟一实数 λ ,使 b =λ a (a≠0)? a∥b,可作为以后证明线线平行的依据,但必须保证两线不重合. 再者向量共线不具有传递性, 如 a∥b, b∥c, 不一定有 a∥c, 因为当 b=0 时, 虽然 a∥b, b∥c,但 a 不一定与 c 平行. 3.运用空间向量的运算法则化简向量表达式时,要结合空间图形,观察分析各向量在 图形中的表示, 然后运用运算法则把空间向量转化为平面向量解决, 并要化简到最简为 止.

3

第 3 章 空间向量与立体几何 §3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其线性运算 知识梳理 1.(1)大小 方向 (2)方向 长度 (3)互相平行 重合 2.a+b a-b (1)a+b=b+a (2)a+(b+c) 3.b=λ a 作业设计 1.3 解析 ①真命题;②假命题,若 a 与 b 中有一个为零向量时,其方向是不确定的;③真 命题;④假命题,终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反;⑤假命题,向量 可用有向线段来表示,但并不是有向线段. 2.④ → → → → → 解析 由|AB|=|AC|+|BC|=|AC|+|CB|,知 C 点在线段 AB 上,否则与三角形两边之 → → 和大于第三边矛盾,所以AC与CB同向. → 3.BD1

解析 如图所示, → → → → → → → ∵DD1=AA1,DD1-AB=AA1-AB=BA1,

BA1+BC=BD1,
→ → → → ∴DD1-AB+BC=BD1. → → → → 4.AC1=AB+AD+AA1







→ → → → → → 解析 因为AB+AD=AC,AC+AA1=AC1, → → → → 所以AC1=AB+AD+AA1. → 5.AM

4

解析 如图所示, 1 → → → 因为 (BD+BC)=BM, 2 → 1 → → 所以AB+ (BD+BC) 2 → → → =AB+BM=AM. 6.① → → → 解析 观察平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 可知,向量EF,GH,PQ平移后可以首尾相连,于 → → → 是EF+GH+PQ=0. 7.相等 相反 8.0 解析 在任何图形中,首尾相接的若干个向量和为零向量. 9.



→ → → → → → (1)AB+BC+CD=AC+CD=AD.

(2)∵E,F,G 分别为 BC,CD,DB 的中点. → → → → ∴BE=EC,EF=GD. → → → → → → → ∴AB+GD+EC=AB+BE+EF=AF. → → 故所求向量AD,AF,如图所示. 10.

5

证明 连结 BG,延长后交 CD 于 E,由 G 为△BCD 的重心, → 2→ 知BG= BE. 3 ∵E 为 CD 的中点, → 1→ 1→ ∴BE= BC+ BD. 2 2 →

AG=AB+BG=AB+ BE=AB+ (BC+BD)
→ 1 → → → → =AB+ [(AC-AB)+(AD-AB)] 3 1 → → → = (AB+AC+AD). 3 2 1 11. a+ b 3 3

→ → →

2→ 3

→ 1 → → 3

→ → → 解析 AF=AC+CF 2→ =a+ CD 3 1 =a+ (b-a) 3 2 1 = a+ b. 3 3 12 .证明 如图所示,平行六面体 ABCD—A′B′C′D′,设点 O 是 AC′的中点,

→ 1 → 则AO= AC′ 2 1 → → → = (AB+AD+AA′). 2 设 P、M、N 分别是 BD′、CA′、DB′的中点. → → → → 1 → 则AP=AB+BP=AB+ BD′ 2 → 1 → → → =AB+ (BA+BC+BB′) 2 → 1 → → → =AB+ (-AB+AD+AA′) 2 1 → → → = (AB+AD+AA′). 2

6

→ 1 → → → 同理可证:AM= (AB+AD+AA′) 2 →

AN= (AB+AD+AA′).
由此可知 O,P,M,N 四点重合. 故平行六面体的对角线相交于一点,且在交点处互相平分.

1 → 2





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