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3.1不等关系


§1

不 等 关 系
知能目标解读

1.通过具体的情境,感受现实生活中存在的大量不等关系,并了解不等式(组)的实际 背景.? 2.能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小,并掌握不等关系的传递性和不等式 的基本性质.

重点难点点拨
重点:比较两数(或式)的大小,理解不等式的性质及其证明,并能说

出每一步推理的 理由. 难点:对不等式性质的准确把握以及严密的逻辑推理证明能力的培养.

学习方法指导
一、不等关系? 1.不等式:我们用数学符号“≠” 、 “>” 、 “<” 、 “≥” 、 “≤”连结两个数或代数式,以表 示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子叫做不等式.? 2.在上述符号中,用“>” 、 “<”连结的不等式,表示严格的不等关系,是严格不等式; 用符号“≥” 、 “≤” 、 “≠”连结的不等式,表示非严格的不等关系,是非严格不等式.? 注意:? 如何理解表示不等式的各个符号的含义?? 不等式表示的是不相等的关系.对于“不相等”可以是“大于”或“小于”.对于不等式 a≤b,表示的是 a<b 或 a=b,只需满足其中一条,不等式就成立.如 3≤3 就是 3<3 或 3=3, 尽管 3<3 不成立,但 3=3 成立,因此,我们说 3≤3 这个不等式成立.对于不等式 a≥b,表 示的是 a>b 或 a=b,同样也是只需满足其中一条,不等式就成立.对于实数来讲,只存在 a=b 或 a>b 或 a<b 三种关系中的一种,不可能同时满足两条.? 3.不等关系与不等式的异同? 不等关系与不等式是不同的概念, 前者强调的是关系, 可用符号 “≠” 、 “>” 、 “<” 、 “≥” 、 “≤”来表示,而后者表示的是两者的不等关系,可用“a>b” 、 “a<b” 、 “ a≠ b ” 、 “a≥b” 或“a≤b”等式子表示,这二者之间的关系是可以通过不等式来体现的,离开了不等式,不 等关系就无从体现.? 注意:? 在数学意义上,不等关系主要体现在四个方面:? ①常量与常量之间的不等关系; ②变量与常量之间的不等关系; ③函数与函数之间的不 等关系;④一组变量之间的不等关系.? 二、用不等式(组)来表示不等关系? 有的问题以图像的形式揭示函数与函数的不等关系; 有的以代数式的形式揭示各组变量 之间的不等关系, 解决这类问题的关键是找全题目的限制条件, 利用限制条件列出不等关系, 一定要注意变量的实际意义.由此可见,现实生活中大量的数量关系是通过不等式来表示的. 不等式是研究不等关系的数学工具, 从而理解不等式 (组) 对于刻画不等关系的意义和价值. 三、实数比较大小的依据与方法? 1.实数的两个特征? (1)任意实数的平方不小于 0,即 a∈R ? a2≥0.? (2)任意两个实数都可以比较大小,反之,可以比较大小的两个数一定是实数.? 2.实数比较大小的依据? 在数轴上不同的点 A 与点 B 分别表示两个不同的实数 a 与 b, 右边的点表示的数比左边

的点表示的数大,从实数减法在数轴上的表示(如图)中,可以看出 a 与 b 之间具有以下性 质:?

如果 a-b 是正数,那么 a>b;如果 a-b 是负数,那么 a<b;如果 a-b 等于零,那么 a=b. 反之也成立,就是 a-b>0 ? a>b;a-b=0 ? a=b;a-b<0 ? a<b. 上面等价符号的左式反映的是实数运算性质, 右式反映的则是实数大小的顺序, 合起来 就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系.它是不等式这一章的理论基础,是证明不等 式性质、证明不等式和解不等式的主要依据.? 3.实数比较大小的方法? (1)比较两个实数 a 与 b 的大小,需归结为判断它们的差 a-b 的符号(注意:指的是 差的符号,至于差的值究竟是什么,无关紧要).? (2)比较两个实数大小的步骤:作差→化简整理(配方,分解因式、分类讨论)→判 断差的符号→得出结论.? 注意:? (1)在比较两个代数式的大小时,一定要注意字母的取值范围; (2)比较实数的大小 经常用到分类讨论的方法,此处分类讨论的标准是:对于任意两个实数 a 和 b,在 a=b, a>b,a<b 三种关系中有且仅有一种关系成立.? 四、不等式的性质? 1.不等式的性质? (1)a>b ? b<a.? (2)a>b,b>c ? a>c.? (3)a>b ? a+c>b+c.? 推论 a>b,c>d ? a+c>b+d. (4)a>b,c>0 ? ac>bc;a>b,c<0 ? ac<bc.? 推论 1 a>b>0,c>d>0 ? ac>bd;? 推论 2 a>b,ab>0 ?

1 1 < ;? a b

推论 3 a>b>0 ? an>bn(n∈N+,且 n>1).? (5)a>b>0 ?
n

a > n b (n∈N+,且 n>1).?

2.关于不等式性质的式子的理解? (1)说明了不等式的对称性; (2)说明了不等式的传递性; (3)表示同向不等式具有 可加性,它是不等式移项的基础; (4)表明不等式两边允许用非零数(式)乘,相乘后的不 等式的方向取决于乘式的符号.

知能自主梳理
1.不等式的定义? 用 表示不等关系的式子叫不等式.? 2.比较实数大小的依据? 设 a,b∈R,则 a-b>0 ? ;a-b=0 ? 3.不等式的基本性质? (1)a>b,b>c ? ;(2)a>b,c>0 ? (3)a>b,c<0 ? ;(4)a>b,c>d ? (5)a>b>0,c>d>0 ? ;(6)a>b>0,n∈N+,n>1 ?

;a-b<0 ? ;? ;? .

.?

[答案] 1.不等号 2.a>b

a=b a<b (5)ac>bd (6)an>bn,
n

3.(1)a>c (2)ac>bc (3)ac<bc (4)a+c>b+d

a >n b

思路方法技巧
命题方向 比较大小 [例 1] 已知 x<1,比较 x3-1 与 2x2-2x 的大小. [分析] 作差→因式分解变形→判断符号 [解析] x3-1-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1 ? =(x3-x2)-(x2-2x+1)? =x2(x-1)-(x-1) 2 ? =(x-1)(x2-x+1)? =(x-1)(x-

1 2 3 )+ 4 2

∵x<1,∴x-1<0.?

1 2 3 ) + >0,? 4 2 1 3 ∴(x-1)[ (x- )2+ ]<0,? 4 2
又∵(x∴x3-1<2x2-2x.? [说明] 1.作差法比较两个实数的大小时,关键是作差后变形,一般变形越彻底越有 利于下一步的判断. 因式分解? 配方 通分? 2.变形的方法 ? 对数与指数运算性质? 分母或分子有理化? 分类讨论〖JB)〗 变式应用 1 设 p=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若 P>Q,求实数 a,b 应满足的条件.? [解析] P-Q=a2b2+5-2ab+a2+4a =(ab-1) 2+(a+2) 2 ? ∵P>Q,∴(ab-1) 2+(a+2) 2>0 ∴ab≠1 或 a≠-2.? 故实数 a、b 应满足的条件是 ab≠1 或 a≠-2. 命题方向 应用不等式(组)表示不等关系 [例 2] 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,此时可以售出 8 万本,据市场调查, 若单价每本提高 0.1 元,销售量就可能相应减少 2000 本,若把提价后的杂志的定价设为 x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢?? [分析] 利用提价后的价格 x 表示出销售总收入, 再将题中所要求的不等关系用不等 式表示.? [解析] 杂志的定价为 x 元,则销售的总收入为 (8-

x ? 2.5 ×0.2)x 万元,? 0.2

那么不等关系“销售的总收入不低于 20 万元”可以用不等式表示为(8-

x ? 2.5 ×0.2) 0.2

x≥20.? [说明] 决此类问题的关键是找出题目中的限制条件,利用限制条件找到不等关系, 然后用不等式表示即可. 变式应用 2 咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为 9g,4g,3g,乙种饮料一杯用 奶粉、 咖啡、 糖分别为 4g, 5g, 10g, 已知每天可用原料为奶粉 3600g, 咖啡 2000g, 糖 3000g. 写出每天配制的两种饮料的杯数所满足的不等式组.? [解析] 每天应配制甲种饮料 x 杯,乙种饮料 y 杯,则 x、y 应满足如下条件:? (1)奶粉的总使用量不大于 3600g;? (2)咖啡的总使用量不大于 2000g;? (3)糖的总使用量不大于 3000g;? (4)x,y 为自然数.? ∴x,y 满足不等式组:? 9x+4y≤3600,? 4x+5y≤2000,? 3x+10y≤3000,? x∈N,? y∈N. ? 命题方向 不等式性质的简单应用 [例 3] 对于实数 a、b、c,有下列命题? ①若 a>b,则 ac<bc;? ②若 ac2>bc2,则 a>b;? ③若 a<b<0,则 a2>ab>b2;? ④若 c>a>b>0;则 ⑤若 a>b,

a b > ;? c?a c?b

1 1 > ,则 a>0,b<0.? a b

其中真命题的个数是( ) A.2 B.3 ? C.4 D.5 ?[答案] C ?? [解析] ①c 的正、负或是否为零未知,因而判断 ac 与 bc 的大小关系缺乏依据,故该 命题是假命题.? ②由 ac2>bc2 知 c≠0,? 所以 c2>0,所以 a>b,? 故该命题是真命题.? a<b ? a<b 2 ③ a >ab, ab>b2.所以 a2>ab>b2 故该命题为真命题.? a<0 ? b<0 ? ④a>b ? -a<-b ? c-a<c-b.?

因为 c>a,所以 c-a>0.所以 0<c-a<c-b.? 两边同乘以

?c ? a ??c ? b?

1

,得

1 1 > >0.? c?a c?b

a b > .故该命题为真命题.? c?a c?b 1 1 1 1 b?a ⑤a>b ? a-b>0, > >0.因为 a-b>0,所以 b-a<0.所以 ab<0. ? - >0 ? a b a b ab
又因为 a>b>0,所以 ? 又因为 a>b,所以 a>0,b<0,故该命题为真命题.? 综上可知,命题②、③、④、⑤都是真命题.故选 C.? [说明] 通过本例,可以使我们熟悉不等式的基本性质,更好地掌握各性质的条件和 结论.在各性质中,乘法性质的应用最易出错,即在不等式的两边同乘(除)以一个数时, 必须能确定该数是正数、负数或零,否则结论不确定. 变式应用 3 判断下列各题的对错.? (1)

c c ? 且 c>0 ? a>b( a b

) ) )

(2)a>b 且 c>d ? ac>bd( (3)a>b>0 且 c>d>0 ? (4)

a b ( ? b c


a b ? 2 ? a>b( 2 c c c c ? a b

[答案] × × √ √

[解析] (1)

1 1 ? < a b

c>0 当 a<0,b>0 时,此式成立, 推不出 a>b, ∴(1)错; (2)当 a=3,b=1,c=-2,d=-3 时,命题显然不成立,∴(2)错;? a>b>0 (3)? c>d>0

?

a b a b > >0 ? 成立.∴(3)对;? ? d c d c

(4)显然 c2>0,∴两边同乘以 c2,得 a>b.∴(4)对.

探索延拓创新
命题方向 应用不等式的性质讨论范围 [例 4] 已知:-

? ? ? ?? ? ?? ≤α <β ≤ ,求 , 的范围. 2 2 2 2

[分析] 已知的不等式相当于?

? ? ≤α ≤ 2 2 ? ? - ≤β ≤ 2 2
α <β ,? 故本题其实就是已知单角范围求和角、差角范围,所以要进行不等式的加减.但我们只 有这样的性质: 同向不等式可相加, 那么要进行不等式相减怎么办?那只有将其转化为同向 不等式再相加. [解析] ∵∴-

? ? ≤α < ①,? 2 2 ? ? - <β ≤ ②,? 2 2
∴-

? ? ≤α <β ≤ ,? 2 2

∴①+②得-π <α +β <π

? ? ?? ? < < .? 2 2 2 ? ? 由②得- ≤-β < , ④? 2 2
①+④得-π ≤α -β <π ,又α <β ,? ∴α -β <0,? ∴-π ≤α -β <0,∴变式应用 4 已知 12<a<60,15<b<36,求 a-b 及

? ? ?? ≤ <0. 2 2
a 的取值范围. b a 1 的范围,应先求 的范围,再利用不 b b

? [解析] 欲求 a-b 的范围,应先求-b 的范围,欲求 等式性质求解.? ∵15<b<36, ∴-36<-b<-15.? ∴12-36<a-b<60-15, ∴-24<a-b<45.?

1 1 1 < < , 36 b 15 12 a 60 ? ? ∴ ,? 36 b 15 1 a ∴ ? ? 4. 3 b


名师辨误做答
[例 5] 已知 1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,求 3a-2b 的范围. [误解] ∵1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3, ∴0≤a≤4.?

又∵1≤a+b≤5,-3≤-(a-b)≤1, ∴-1≤b≤3.? ∵0≤a≤4,-1≤b≤3, ∴0≤3a≤12,-6≤-2b≤2,? ∴-6≤3a-2b≤14. [辨析] 在误解中,由已知条件推出不等式-6≤3a-2b≤14 的各个步骤,均实行了不 等式性质中的推出关系,但结论是不正确的,事实上,由 1≤a+b≤5 与-1≤a-b≤3,得到 0 ≤a≤4,-1≤b≤3,但这并不意味着 a 与 b 可各自独立地取得区间[0,4]与[-1,3]的一切值. 如取 a=4,b=3 时,a+b=7,就已超出题设条件 1≤a+b≤5 中的范围,细究缘由,就是推出关 系并非等价关系. [正解] 设 a+b=u,a-b=v,? 则 a=

u?v u?v ,b= ,? 2 2

且 1≤u≤5,-1≤v≤3.?

1 5 u+ v,? 2 2 1 u 5 5 5v 15 ∵ ≤ ≤ ,- ≤ ≤ ,? 2 2 2 2 2 2 u 5v ∴-2≤ + ≤10,? 2 2
∴3a-2b= 即-2≤3a-2b≤10.

课堂巩固训练
一、选择题? 1.下列不等式:? ①x2+3>2x(x∈R); ②a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R);? ③a2+b2≥2(a-b-1)中正确的个数为( ) ? A. 0 ? B. 1 ? C. 2 D. 3 ? [答案] C [解析] 对于①,x2+3-2x=(x-1) 2+2>0 恒成立,对于②,a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)(a2-b2)=(a-b) 2(a+b),? ∵a、b∈R,∴(a-b) 2≥0,? 而 a+b>0,或 a+b=0,或 a+b<0,故②不正确,? 对于③,a2+b2-2a+2b+2=a2-2a+1+b2+2b+1=(a-1) 2+(b+1) 2≥0,? ∴③正确,故选 C. 2.设 x<a<0,则下列各不等式一定成立的是( ) 2 2 ? A. x <ax<a ? B. x2>ax>a2 ? ? C. x2<a2<ax D. x2>a2>ax [答案] B x<a<0 x2>ax [解析] x<0 ? ? x2>ax>a2. a<0 ax>a2 ??

3.若 x>y 与

1 1 > 同时成立,则( x y

) B. x>0,y<0 ? D. x<0,y<0

A. x>0,y>0 C. x<0,y>0 [答案] B [解析] ∵由 x>y 推出

1 1 > ,需满足 xy<0.又 x>y,∴x>0,y<0. x y
g(x).?

二、填空题? 4.已知 x≤1,f(x)=3x3,g(x)=3x2-x+1,则 f(x)与 g(x)的大小关系是 f(x) [答案] ≤ [解析] f(x)-g(x)=3x3-(3x2-x+1) =(3x3-3x2)+(x-1) =3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1),? ∵x≤1 得 x-1≤0,而 3x2+1>0,? ∴(3x2+1)(x-1)≤0, ∴3x3≤3x2-x+1.? ∴f(x)≤g(x). 5.已知 60<x<84,28<y<33,则 x-y 的取值范围为 ,

x 的取值范围为 y

.?

[答案] (27,56) (

20 ,3)? 11

[解析] ∵28<y<33, ∴-33<-y<-28,? 又∵60<x<84, ∴27<x-y<56.? 由 28<y<33 得

1 1 1 ? ? ,? 33 y 28



20 x ? ? 3. 11 y

三、解答题? 6.有一公园,原来是长方形布局,为美化市容,市规划局要对这个公园进行规划,将其改成 正方形布局,但要求要么保持原面积不变,要么保持原周长不变,那么对这个公园选哪种布 局方案可使其面积较大? [解析] 设这个公园原来的长方形布局的长为 a,宽为 b(a>b).若保持原面积不变,则规划 后的正方形布局的面积为 ab;若保持周长不变,则规划后的正方形布局的周长为 2(a+b),所 以其边长为

a?b a?b 2 a?b 2 ,其面积为( ) .因为 ab-( ) 2 2 2

2 ? a ? b? =ab-

4

?

?a ? b? ? 0 (a>b),所以 ab<( a ? b )2.故保持原周长不 4ab ? ?a ? b ? ?? 2 4 4
2 2

变的布局方案可使公园的面积较大.

课后强化作业
一、选择题? 1.已知 a,b,c,d 均为实数,有下列命题: ( ①若 ab<0,bc-ad>0,则 ②若 ab>0, )

c d ? ? 0 ;? a b

c d ? ? 0 ,则 bc-ad>0;? a b c d ? ? 0 ,则 ab>0.? ③若 bc-ad>0, a b
其中正确命题的个数是? A. 0 C. 2 [答案] C [解析] ①∵ab<0,∴ 又∵bc-ab>0,? ∴ B. 1 D. 3

1 <0, ab

1 c d · (bc-ad)<0 即 ? ? 0 , ab a b c d ? ?0, a b

∴①错;? ②∵ab>0, ∴ab(

c d ? )>0,? a b

即:bc-ab>0, ∴②正确;? ③∵

c d bc ? ad ? ? 0 ,∴ >0,? a b ab 1 ,Q=a2-a+1,则 P、Q 的大小关系为( a ? a ?1
2

又∵bc-ad>0,∴ab>0,∴③正确. 2.已知 P= )

A.P>Q C.P≤Q [答案] C [解析] P-Q=

B.P<Q D.无法确定

1 -a2+a-1 ? a ? a ?1
2

=

1 ? a 4 ? a3 ? a 2 ? a3 ? a 2 ? a ? a 2 ? a ? 1 a2 ? a ? 1

? a4 ? a2 ? a2 a2 ? 1 ? = 2 ,? a ? a ? 1 a2 ? a ? 1
∵a2+a+1=(a+

?

?

1 2 3 ) + >0,-a2(a2+1)≤0,? 4 2



? a2 a2 ? 1 ≤0, a2 ? a ? 1


?

?

∴P≤Q. 3.(2011·陕西文,3)设 0<a<b,则下列不等式中正确的是(

a?b 2 a?b B.a< ab < <b ? 2 a?b C.a< ab <b< 2 a?b D. ab <a< <b 2
A.a<b< ab < [答案] B [解析]∵0<a<b, ∴a<

a?b <b, 2

故 A、C 错误; ab -a= a ( b - a )>0,即 ab >a,故选 B.? 本题也可通过特殊值法解决,如取 a=1,b=4,易知选 B. 4.若 a、b 是任意实数,且 a>b,则( ) A.a2>b2 C.lg(a-b)>0 B.

b <1 ? a 1 a 1 b D.( ) <( ) 2 2

[答案] D [解析] a>b 并不保证 a、b 均为正数,从而不能保证 A、B 成立.又 a>b ? a-b>0,但不能保 证 a-b>1,从而不能保证 C 成立,显然只有 D 成立.事实上,指数函数 y=( 函数,所以 a>b ? (

1 x ) 在 x∈R 上是减 2

1 a 1 b ) <( ) 成立.故选 D. 2 2

5.已知 a<b<|a|,则以下不等式中恒成立的是( ) A.|b|<-a B.ab>0 ? C.ab<0 D.|a|<|b| [答案] A [解析] 特殊值法:令 a=-1,b=0,满足 a<b<|a|,ab=0,排除 B、C,|a|>|b|,排除 D,故选 A. 6.已知 a2+a<0,那么 a,a2,-a,-a2 的大小关系是( ) 2 2 2 2 A.a >a>-a >-a B.-a>a >-a >a ? 2 2 C.-a>a >a>-a D.a2>-a>a>-a2 [答案] B [解析] 特殊值法:∵a2+a<0,∴-1<a<0.? 令 a=-

1 1 1 1 ,则 a2= ,-a= ,-a2=- ,故选 B.? 4 4 2 2

一般解法:由 a2+a<0,得 0<a2<-a

且 a<-a2<0,故 a<-a2<a2<-a,选 B. 7.如图,在一个面积为 200 m2 的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地,仓库的长 a 大于宽 b 的 4 倍,则表示上面叙述的不等关系正确的是( )

A.a>4b B.(a+4)(b+4)=200 a>4b C.? (a+4)(b+4)=200 a>4b D. 4ab=200 [答案] C 8.如果 a>0,且 a≠1,M=loga(a3+1) ,N=loga(a2+1) ,那么( ) A.M>N B.M<N C.M=N D.M、N 的大小无法确定 [答案] A [解析] 当 a>1 时 a3+1>a2+1,y=logax 单增, ∴loga(a3+1)>loga(a2+1). 当 0<a<1 时 a3+1<a2+1,y=logax 单减.? ∴loga(a3+1)>loga(a2+1),或对 a 取值检验. 二、填空题? 9.已知三个不等式:①ab>0;② 两个能成立的不等式命题

c c ? ;③bc>ad.以其中两个作条件,余下一个为结论,写出 a b
.

若③成立,则①成立∴②③ ? ①;若①成立则③成立,∴①② ? ③.? 若③成立即 bc>ad,若①成立, 则

bc ad c d ? ,∴ > ∴①③ ? ②. ab ab a b

10.如果 a>b,那么下列不等式:? ①a3>b3; ②

1 1 ? ;? a b

③3a>3b;

④lga>lgb.? 其中恒成立的是 . [答案] ①③ [解析] ①a3-b3=(a-b)(a2+b2+ab)? =(a-b)[(a+

b 2 3 2 ) + b ]>0;? 2 4

③∵y=3x 是增函数,a>b,∴3a>3b ? 当 a>0,b<0 时,②④不成立. 11.设 m=2a2+2a+1,n=(a+1) 2,则 m、n 的大小关系是 [答案] m≥n ? [解析] m-n=2a2+2a+1-(a+1) 2=a2≥0. 12.设 a>b>0,m>0,n>0,则 p= [答案] p<r<s<q [解析] 取 a=4,b=2,m=3,n=1,则 p= r=

.

b a b?m a?n ,q= ,r= ,? s= 的大小顺序是 a b b?n a?m 1 ,q=2,? 2

.

3 5 ,s= 则 p<r<s<q(特值探路).? 7 3
b b ? m ?b ? a ?m = <0,∴p<r.? a a ? m a ?a ? m ?

具体比较如下:? p-r=

∵a>b>0,m>0,n>0 ? ∴a+m>b+m>0.a+n>b+n>0,?

b?m a?n <1, >1,∴r<s.? b?n a?m b?m a?n 或 r-s= a?m b?n
∴ =

?b ? a ??b ? a ? m ? n ? <0.?∴r<s. ?a ? m??b ? n ?
a ? n a ?b ? a ?· n - = <0,∴s<q.∴p<r<s<q. b ? n b b?b ? n ?

s-q=

三、解答题? 13.某城市电信宽带私人用户月收费标准如下表:? 方案 甲 乙 类别 包月制(不限时) 限时包月制(限 60 小时) 基本费用 120 元 80 元 超时费用 无 2 元/时

问某用户每月上网时间在多少小时以内,选择乙方案比较合适? [解析] 设用户每月上网时间为 x 小时,?

则选择乙方案为 80(0≤x≤60)? y= 2(x-60)+80(x>60),? 由 2(x-60)+80≤120,得 x≤80,? ∴某用户每月上网时间在 80 小时以内,选择乙方案比较合适. 14.(1)已知 a>b,e>f,c>0.求证:f-ac<e-bc. (2)若 bc-ad≥0,bd>0.求证:

a?b c?d ≤ . b d

[解析] (1)∵a>b,c>0,? ∴ac>bc,∴-ac<-bc, ∵f<e,∴f-ac<e-bc.? (2)∵bc-ad≥0,∴ad≤bc,? 又∵bc>0,∴ ∴

a c ≤ ,? b d

a c +1≤ +1,? b d a?b c?d ∴ ≤ . b d
15.已知 a、b 为正实数,试比较

a b ? 与 a + b 的大小. b a

[解析] 解法一: (

a b a ? ? b ))-( a + b )?=( b b a



b a ?b b?a ? a )= ? a b a

?a ? b?? ?=

a? b = ab

? ?

a? b

??

a? b ab

?

2

.?

∵a、b 为正实数, ∴ a + b >0,

ab >0,(

a - b )2≥0.?
≥0,当且仅当 a=b 时,等号成立.?

? ∴


a? b

??

a? b ab

?

2

a b ? ≥ a + b ,当且仅当 a=b 时取等号.? b a
a 2 b2 a b ? ? 2 ab ,? ? )2= b a b a

解法二:∵(

( a + b )2=a+b+2 ab , ∴(

a 2 b2 a b ? ? 2 ab -(a+b+2 ab )? ? )2-( a + b )2= b a b a

=

a 3 ? b3 ? ab?a ? b ? ab

? a ? b ??a 2 ? ab ? b 2 ? ? ab?a ? b ? =
ab
=

?a ? b??a ? b?2 .?
ab

∵a、b 为正实数, ∴

?a ? b??a ? b?2 ≥0,
ab
a b ? )2≥( a + b )2.? b a a b ? >0, a + b >0, b a

∴(

又∵



a b ? ≥ a + b ,当且仅当 a=b 时取等号. b a

16.已知 0<a+b< [解析]

? ? ? b ,- <a-b< ,求 2a 和 3a- 的取值范围.? 3 2 2 3

? 2 ? ? - <a-b< , 2 3
∵0<a+b< 两式相加得?

? 5? <2a< .? 6 2 b 设 3a- =m(a+b)+n(a-b) =a(m+n)+b(m-n),则有 3
m+n=3

1 ,? 3 4 5 解得 m= ,n= .? 3 3
m-n=-

b 4 5 = (a+b)+ (a-b).? 3 3 3 4 2? 0< (a+b)< 3 3 5? 5 5? < (a-b)< ,? 6 3 9 5? b 11? 两式相加,得<3a- < .? 6 3 9 ? 5? b 5? 11? 故 2a∈(- , ),3a- ∈(, ). 3 6 9 2 6
∴3a-


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