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2014北京高考理科数学总复习 专题9《立体几何》


2014 高考理科数学总复习

专题九

立体几何综合

第一部分

点、直线、平面之间的位置关系

北京市 2011 各区 1、在空间中,有如下命题: ①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线; ②若平面 ? ∥平面 ? ,则平面 α 内任意一条直线 m ∥平面 ? ; ③若平面 ? 与平面 ? 的交线为 m ,平面 ? 内的直线 n ⊥直线 m ,则直线 n ⊥平面 ? ; ④若平面 ? 内的三点 A, B, C 到平面 ? 的距离相等,则 α∥ ? . 其中正确命题的个数为 。

2、已知 ? , ? 表示两个不同的平面, a,b 表示两条不同的直线,则 a∥b 的一个充分条件是 (A)a∥ ? , b∥ ? (C) ? ⊥ ? ,a ⊥ ? ,b ∥ ? (B)a∥ ? ,b∥ ? , ? ∥ ? (D)a⊥ ? ,b⊥ ? , ? ∥ ?

3、设 a , b , g 是三个不重合的平面, l 是直线,给出下列命题: ①若 a ^ b , b ^ g ,则 ? ? ? ; ③若 l ^ a , l // b ,则 a ^ b ; 其中正确的命题是 (A)①② ②若 l 上两点到 ? 的距离相等,则 l // ? ; ④若 a // b , l ? b ,且 l // a ,则 l // b .

(B)②③

(C)②④

(D)③④

4、关于直线 l , m 及平面 ? , ? ,下列命题中正确的是 (A)若 l // ? , ? I ? ? m ,则 l // m (C)若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ? (B)若 l // ? , m // ? ,则 l // m (D)若 l // ? , m ? l ,则 m ? ?

5、设 ? , ? 为两个不同的平面,直线 l ? ? ,则“ l ? ? ”是“ ? ? ? ”成立的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 6、设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面.有下列四个命题: ① 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; ② 若 ? // ? , m ? ? ,则 m // ? ; ③ 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ;

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④ 若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中正确命题的序号是 (A)①② (B)③④

(C)②④

(D)②③

7、已知平面 ? ? ? ? l , m 是 ? 内不同于 l 的直线,那么下列命题中错误的是 .. (A)若 m // ? ,则 m // l (C)若 m ? ? ,则 m ? l (B)若 m // l ,则 m // ? (D)若 m ? l ,则 m ? ?

8、设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列命题正确的是 (A)若 m ? n, n ? ? ,则 m ? ? (C)若 m // ? , n // ? ,则 m // n (B)若 m ? ? , n // m ,则 n ? ? (D)若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ?

北京市 2012 各区 1、已知 m 和 n 是两条不同的直线,? 和 ? 是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一 定能推出 m ? ? 的是 (A) ? ? ? ,且 m ? ? (C) ? ? ? ,且 m ∥ ? (B) m ∥ n ,且 n ? ? (D) m ? n ,且 n ∥ ?

2、设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列命题正确的是 (A) 若m // n, m // ? , 则n // ? (C) 若m // ? , n // ? , 则m // n (B) 若? ? ? , ? ? ? , 则? // ? (D) 若m ? ? , n // ? , 则m ? n

北京市 2013 各区 1、设 m , n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是 (A) m ∥? ,n ? ? ,m ? n , ? ? ? 若 则 (C) m ∥? ,n ? ? ,m ∥ n , ? ? ? 若 则 (B) m ∥? ,n ? ? ,m ? n , ? ∥ ? 若 则 (D) m ∥? ,n ? ? ,m ∥ n , ? ∥ ? 若 则

2、已知平面 ? , ? ,直线 m, n ,下列命题中不正确的是 .

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(A)若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? (C)若 m ∥ ? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n (B)若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ? (D)若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? .

3、对于直线 m , n 和平面 ? , ? ,使 m ? ? 成立的一个充分条件是 (A) m ? n , n ∥ ? (C) m ? ? , n ? ? , n ? ? (B) m ∥ ? , ? ? ? (D) m ? n , n ? ? , ? ? ?

第二部分

三视图

北京市 2011 各区 1、三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为 2 的等边三角形,其正视图(如 图所示)的面积为 8,则侧视图的面积为

(A)8

(B)4

(C) 4 3

(D) 3

2、已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,侧视 图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形,则此三棱锥的体积等于 (A)

6 12 6 4

(B)

3 3 2 3 3
正视 图 侧视 图

1

(C)

(D)

俯视 图 3、沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的左视图为

(A) (B) (C) (D) 4、一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是 ....

(A)

(B)

(C)

(D)

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5、如图是一正方体被过棱的中点 M、N 和顶点 A、D、C1 的两个截面截去两个角后所得的 几何体,则该几何体的主视图为

(A)

(B)

(C)

(D) .

6、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

1
3 3 4 3

1
正视图 侧视图
3 4 0.6

正(主)视图

侧(左)视图

2
2.4 俯视图
0.6

俯视图

第 6 题图 7、一个棱锥的三视图如图所示,则这个棱锥的体积为__

第 7 题图 ___.

8、已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成, 根据图中标出的尺寸 (单位:cm),可得这个几何体的体积是

(A)πcm3

(B)

4? cm3 3

(C)

5? cm3 3

(D)2π cm3

1 1 2 正视图

1 1 2 侧视图

俯视图

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北京市 2012 各区 1、已知空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的各侧面图形中,是直角三角形的有 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个

2 3 主视图 左视图 1 正视图 2 1 2 1 侧视图 3

2 2 俯视图

俯视图

第 1 题图 第 2 题图 2、已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 . 3、若一个三棱柱的底面是正三角形,其正(主)视图如图所示,则 它的体积为
1

1

1

(A) 3

(B)2

(C) 2 3

(D)4

4、某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的数据,可得这个几何体的表面积 为 .

主视图

俯视图

俯视图

第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 5、一个正四棱锥的所有棱长均为 2,其俯视图如图所示,则该正四棱锥的正视图的面积为 (A) 2 (B) 3 (C)2 (D)4

6、某几何体的主视图与俯视图如图所示,左视图与主视图相同,且图中的四边形都是边长

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为 2 的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是 (A)

20 3

(B)

4 3

(C)6

(D)4

7、一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1 的两 个全等的等腰直角三角形,该几何体的体积是_____;若该几何体的所 有顶点在同一球面上,则球的表面积是_____.

8、已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等,体积为 12 3 cm3 .其三 视图中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是

(A) 4 3 cm 2

(B) 2 3 cm 2

(C) 8cm

2

(D) 4 cm

2

3

北京市 2013 各区 1、 已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形, 其正视图与俯视图如 图所示,则其侧视图的面积为

1
正视图

正 视 图
俯视图

(A)

3 4

(B)

3 2

(C)

3 4

(D)1

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2、如图,某三棱锥的三视图都是直角边为 2 的等腰直角三角 形,则该三棱锥的四个面的面积中最大的是

(A) 3

(B) 2 3

(C)1

(D)2

3、如图,某三棱锥的三视图都是直角边为 2 的等腰直角三角形,则该三棱锥的体积是 (A)

4 3

(B)

8 3

(C)4

(D)8 第 2、3 题图

4、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为



5、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为 。

第 4、5 题图 6、某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是 (A) 5 3 (B) 2 3 (C)

5 3 3

(D)

2 3 3
2

2

正 (主) 视图

2

侧(左)视图

3

3

1

俯视图

第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 7、某四面体的三视图如图所示,该四面体的六条棱中,长度最大

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是 (A) 2 5 (B) 2 6 (C) 2 7 (D) 4 2

8、某三棱锥三视图如图所示,该三棱锥的体积为 (A)

8 3

(B)4

(C)2

(D)

4 3

9、某四面体三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是 第 9 题图 (A)2 (B)4 (C) 2 ? 5 (D) 4 ? 2 5

10、某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱长度是 (A) 13 (B) 2 2 (C)5 (D) 29

2
正(主)视图

3

侧(左)视图

2

2

3 2

俯视图

第 10 题图

第 11 题图

11、某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)视图是边长为 2 的正方形,则该三棱柱的 表面积是 (A) 6 ? 3 (B) 12 ? 3 (C) 12 ? 2 3 (D) 24 ? 2 3

12、某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 (A)4 (B) 4 2
1 1 1

(C) 6 2

(D)8

2
正视图

2
侧视图

2

2
俯视图

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第三部分

立体几何
2 ,BD ? CD .将四边形 ABCD

北京市 2011 各区 1. 如图, 四边形 ABCD 中,AB ? AD ? CD ? 1 , BD ?

沿对角线 BD 折成四面 A? ? BCD ,使平面 A?BD ? 平面 BCD ,则下列结论正确的是 (A) A?C ? BD (B) ?BA?C ? 90? (C) CA? 与平面 A?BD 所成的角为 30? A B D B C C 2、 如图, 正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,E ,F 分别为棱 AB ,CC1 的中点,在平面 ADD1 A1 内且与平面 D1 EF 平行的直线 (D)四面体 A? ? BCD 的体积为

1 3

A?
D

(A)有无数条

(B)有 2 条

(C)有 1 条

(D)不存在

3、如图,正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, E , F 分别为 棱 DD1 , AB 上的点. 已知下列判断: ① A1C ^ 平面 B1 EF ; ② D B1 EF 在侧面 BCC1 B1 上的正投影是面积为定 值的三角形; A ③在平面 A1 B1C1 D1 内总存在与平面 B1 EF 平行的直 线;

D1 A1 B1

C1

F

D E B

C

④平 面 B1 EF 与平面 ABCD 所成的二面角(锐角)的大小与点 E 的位置有关,与点 F 的位置无关. 其中正确判断的个数有______个 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

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4、如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD 1 的 中点,F 是侧面 CDD1C1 上的动点,且 B1F//面 A1BE,则 B 1 F 与 平面 CDD1C1 所成角的正切值构成的集合是
B1

A1 C1

D1

E

A

D
B
C

(A) ?2?

(B) ?

?2 ? 5? ?5 ?

(C) {t | 2 ? t ? 2 2}

(D) {t |

2 5 ? t ? 2} 5

5、 在一个正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,P 为正方形 A1 B1C1 D1 四 边上的动点, O 为底面正方形 ABCD 的中心, M , N 分别为
A1

D1

P

C1

B1

AB, BC中点,点 Q 为平面 ABCD 内一点,线段 D1Q 与 OP 互
???? ? ???? ? 相平分,则满足 MQ ? ? MN 的实数 ? 的值有
A D
O
Q

C
N

M

B

(A)0 个

(B)1 个

(C)2 个

(D)3 个

6、 已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形,PA ? 平面 ABC . 则下列结论不正确的是 ...

(A) CD // 平面 PAF (C) CF // 平面 PAB

(B) DF ? 平面 PAF (D) CF ? 平面 PAD

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7 、 如 图 , 四 面 体 O A B C 三 条 棱 OA, OB, OC 两 两 垂 直 , 的

C D O A (D)③④ B

OA ? OB ? 2 , OC ? 3 , D 为四面体 OABC 外一点.给出下列命题. ①不存在点 D ,使四面体 ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点 D ,使四面体 ABCD 是正三棱锥 ③存在点 D ,使 CD 与 AB 垂直并且相等 ④存在无数个点 D ,使点 O 在四面体 ABCD 的外接球面上
其中真命题的序号是 (A)①② 北京市 2012 各区 1、在正方体 ABCD - A ' B ' C ' D ' 中,若点 P (异于点 B )是棱上 一点,则满足 BP 与 AC ' 所成的角为 45° 的点 P 的个数为 (B)②③ (C)③

A B C

D

A' B' C'

D'

(A)0

(B)3

(C)4

(D)6

2、 如图, 在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,P 为
P

D1

C1

A1 D1 的中点, Q 为 A1 B1 上任意一点, E、F 为 CD 上任
意两点, EF 的长为定值, 且 则下面的四个值中不为定值的 是 (A)点 P 到平面 QEF 的距离 (B)直线 PQ 与平面 PEF 所成的角 (C)三棱锥 P ? QEF 的体积 (D)二面角 P ? EF ? Q 的大小 3、 如图, 已知平面 ? ? ? ? l ,A 、B 是 l 上的两个点,C 、

A1

Q B1

D E

F

C

A

B

?
P A D C B

D 在 平 面 ? 内 , 且 DA ? ? , CB ? ? , AD ? 4 ,
AB ? 6, BC ? 8 , 在 平 面 ? 上 有 一 个 动 点 P , 使 得

?APD ? ?BPC ,则 P ? ABCD 体积的最大值是
(A) 24 3 (B)16 (C)48

(D)144

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北京市 2013 各区 1 、 已 知 正 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 的 棱 长 为 1 , 动 点 P 在 正 方 体 表 面 运 动 , 且

1 记 则 PA ? r (0 ? r ? 3) , P 的轨迹长度为 f (r ) , f ( ) ? 2
的解的个数可以是 。 (填上所有可能的值)

; 关于 r 的方程 f (r ) ? k

2、如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 B1C1 的中点,动点 P 在底面 ABCD 内,且 PA1 ? A1E ,则点 P 运动形成的图形是 (A)线段 (B)圆弧 (C)椭圆一部分 (D) 抛物线一部分

解答题 1、 如图, 在菱形 ABCD 中,?DAB ? 60 ,E 是 AB 的
?

N M

中点, MA ⊥平面 ABCD,且在矩形 ADNM 中,

3 7 . 7 (Ⅰ)求证: AC ⊥ BN ; (Ⅱ)求证: AN // 平面 MEC ; (Ⅲ)求二面角 M ? EC ? D 的大小.

AD ? 2 , AM ?

D

C B

A

E

2、在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AA =AD=2 ,点 E 在 1 D

E

1 棱 CD 上,且 CE= CD . 3
(Ⅰ)求证: AD1 ? 平面 A1 B1 D ; (Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在点 P ,使 DP ∥平面 B1 AE ? 若存在,求出线段 AP 的长;若不存在,请说明理由; (Ⅲ) 若二面角 A-B1 E-A1 的余弦值为 A 30 , 求棱 AB 的长. 1 6 A B

C

D
1

C
1

B
1

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3、如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA ? PD , PA ? 平面 PDC , E 为棱 PD 的中点. (Ⅰ)求证: PB // 平面 EAC ; (Ⅱ)求证:平面 PAD ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? B 的余弦值.

4、如图 1,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90? , BC ? 3,AC ? 6 .D、E 分别是 AC、AB 上的 点,且 DE / / BC ,将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1DE 的位置,使 A1 D ? CD ,如图 2. (Ⅰ)求证: BC ? 平面 A1 DC ; (Ⅱ)若 CD ? 2 ,求 BE 与平面 A1 BC 所成角的正弦值; (Ⅲ) 当 D 点在何处时, A1 B 的长度最小,并求出最小值. A1

A

D

C D C

E B 图1

E B 图2

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5、如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,MD⊥平面 ABCD,NB∥MD,且 NB=1, MD=2; (Ⅰ)求证:AM∥平面 BCN; (Ⅱ)求 AN 与平面 MNC 所成角的正弦值; (Ⅲ)E 为直线 MN 上一点,且平面 ADE⊥平面 MNC, 求
M

ME 的值. MN

E N D C

A

B

6、在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC 是正三角形, AC 与 BD 的交 点 M 恰好是 AC 中点,又 PA ? AB ? 4 , ?CDA ? 120? ,点 N 在线段 PB 上,且

PN ? 2 .
(Ⅰ)求证: BD ? PC ; (Ⅱ)求证: MN / / 平面 PDC ; (Ⅲ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值.
N

P

A D M B C

7、在如图所示的几何体中,面 CDEF 为正方形,面 ABCD 为等腰梯形, AB // CD ,

AB ? 2BC , ?ABC ? 60? , AC ? FB .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 FBC ; (Ⅱ)求 BC 与平面 EAC 所成角的正弦值; (Ⅲ)线段 ED 上是否存在点 Q ,使平面 EAC ? 平面

QBC ?证明你的结论.

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8、如图(1),等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4,点 D 在线段 AC 上, DE ? AB 于 E,现将 △ADE 沿 DE 折起到△PDE 的位置(如图(2) ). (Ⅰ)求证:PB ? DE; (Ⅱ)若 PE ? BE,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30° ,求 PE 长.
A E P B E D C C B

D

图(1)

图(2)

9、 如图, ABCD 是正方形, DE ? 平面 ABCD , AF // DE , DE ? DA ? 3AF . (Ⅰ)求证: AC ? BE ; (Ⅱ)求二面角 F ? BE ? D 的余弦值; (Ⅲ)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置, 使得 AM // 平面 BEF ,证明你的结论.

E

F D

A

B

C

10、如图 1,四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 底面 ABCD ,面 ABCD 是直角梯形, M 为侧 棱 PD 上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图 2 所示. (Ⅰ)证明: BC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)证明: AM ∥平面 PBC ; (Ⅲ)线段 CD 上是否存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 有符合要求的点 N ,并求 CN 的长;若不存在,说明理由.

3 ?若存在,找到所 4

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专题九 立体几何综合 北京市 2011 各区 第一部分 点、直线、平面之间的位置关系 1、1 个 2、D 3、D 4、C 5、A 6、D 第二部分 三视图 1~5 CBBCB 6、12 第三部分 立体几何 1、B 2、A 3、B

答案

7、D

8、B

7、12

4、C

5、C

6、D

7、D

北京市 2012 各区 第一部分 点、直线、平面之间的位置关系 1、B 2、D 第二部分 1、C 2、 三视图

3 2

3、A

4、12

5、A

6、A

7、

1 , 3π 3

8、A

第三部分 立体几何 1、B 2、B 3、C

北京市 2013 各区 第一部分 点、直线、平面之间的位置关系 1、C 2、C 3、C 第二部分 1、C 9、C 三视图 3、A 11、C 4、54 12、D 5、 75 ? 4 10 6、C 7、C 8、B

2、A 10、D

第三部分 1、

立体几何 2、B 3、

3? ; 0, 2,3, 4 4

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解答题答案 1、解: (Ⅰ)连结 BD ,则 AC ? BD . 由已知 DN ? 平面 ABCD , 因为 DN ? DB ? D , 所以 AC ? 平面 NDB . 又因为 BN ? 平面 NDB , 所以 AC ? BN . (Ⅱ) CM 与 BN 交于 F ,连结 EF . 由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形, 所以 F 是 BN 的中点. 因为 E 是 AB 的中点, 所以 AN // EF . 又 EF ? 平面 MEC , A x E B D C y F M z N

AN ? 平面 MEC ,
所以 AN // 平面 MEC . (Ⅲ)由于四边形 ABCD 是菱形, E 是 AB 的中点,可得 DE ? AB . 如图建立空间直角坐标系 D ? xyz ,

则 D(0,0,0) , E ( 3, 0, 0) , C (0, 2,0) , M ( 3, ?1,

3 7 ). 7

???? ? ??? ? 3 7 CE ? ( 3, ?2.0) , EM ? (0, ?1, ). 7
设平面 MEC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .

??? ? ? 3 x ? 2 y ? 0, ?CE ? n ? 0, ? ? 则 ? ???? 所以 ? ? 3 7 z ? 0. ? EM ? n ? 0. ?y ? ? 7 ?
令 x ? 2 .所以 n ? (2, 3,

21 ). 3

又平面 ADE 的法向量 m ? (0,0,1) , 所以 cos ? m , n ??

m?n 1 ? . m n 2

所以二面角 M ? EC ? D 的大小是 60° .

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2、证明: (Ⅰ)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,因为 A1 B1 ? 面 A1 D1 DA , 所以 A1 B1 ? AD1 . 在矩形 A1 D1 DA 中,因为 AA1=AD=2 , 所以 AD1 ? A1 D . 所以 AD1 ? 面 A1 B1 D . (Ⅱ)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,以 D1 A 为原点建立空间直角坐标系 D1 ? xyz . 依题意可知,
1

D

E

C

A

B

D
1

C
1

B
1

D1 (0, 0, 0), A1 (2, 0, 0), D(0, 0, 2) , A(2,0, 2) ,
设 AB 的长为 x ,则 C1 (0, x, 0), B1 (2, x, 0) , A

z D

E

C

B y

2 C (0, x, 2), E (0, x, 2) . 3
假设在棱 AA1 上存在点 P ,使得 DP ∥平面 B1 AE . x A
1

D
1

C
1

??? ? 设点 P (2, 0, y ) ,则 DP ? (2, 0, y - 2) , ??? ? AP ? (0, 0, y - 2) .
易知 B1 E=(-2, - x, 2), AE ? (-2,

B
1

????

1 3

??? ?

2 x, 0) .设平面 B1 AE 的一个法向量为 n ? (a, b, c) , 3

1 ? ???? ?-2a - 3 xb ? 2c = 0 ? B1E ? n = 0 ? ? 则 ? ??? ,即 ? . ? ? AE ? n = 0 ? -2a + 2 xb = 0 ? ? 3 ?
3 3 x ,所以 n ? ( x,3, x) . 2 2 ??? ? 因为 DP ∥平面 B1 AE ,等价于 DP ? n ? 0 且 DP ? 平面 B1 AE .
令 b ? 3 得, a ? x, c ?

??? ? ??? 4 ? 3 2 4 x ? 0 ,所以 y ? .所以 AP ? (0, 0, - ) , AP ? , 3 2 3 3 4 所以 AP 的长为 . 3
得 2 x + ( y - 2) ?

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(Ⅲ)因为 CD ∥ A1 B1 ,且点 E ? CD , 所以平面 A1 B1 E 、平面 A1 B1 D 与面 A1 B1CD 是同一个平面. 由(Ⅰ)可知, AD1 ? 面 A1 B1 D , 所以 D1 A ? (2, 0, 2) 是平面 A1 B1 E 的一个法向量. 由(Ⅱ)可知,平面 B1 AE 的一个法向量为 n ? ( x,3,

???? ?

3 x) . 2

因为二面角 A-B1 E-A1 的余弦值为

30 , 6

???? ? D1 A ? n 30 ? ???? ? 所以 cos ? ? ? 6 AD1 ? n
故 AB 的长为 3 2 .

2 x + 3x 3 2 2 ? x ? 9 ? ( x) 2 2
2

,解得 x ? 3 2 .

3、解: (Ⅰ)证明:连接 BD 与 AC 相交于点 O ,连结 EO .
z

因为四边形 ABCD 为正方形,所以 O 为 BD 中点. 因为 E 为棱 PD 中点. 所以 PB// EO . 因为 PB ? 平面 EAC , EO ? 平面 EAC , 所以直线 PB //平面 EAC . (Ⅱ)证明:因为 PA ? 平面 PDC ,所以 PA ? CD . 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 AD ? CD , 所以 CD ? 平面 PAD . 所以平面 PAD ? 平面 ABCD . (Ⅲ)解法一:在平面 PAD 内过 D 作直线 Dz ? AD .
x A

P E D O B y C

因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,所以 Dz ? 平面 ABCD . 由 Dz, DA, DC 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz . 设 AB ? 4 ,则 D(0,0,0), A(4,0,0), B(4, 4,0), C(0, 4,0), P(2,0, 2), E (1,0,1) .

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所以 EA ? (3,0,?1) , AC ? (?4,4,0) .

??? ? ?n ? EA ? 0, ? 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? ?n ? AC ? 0. ?
所以 ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1,3) . ?? 4 x ? 4 y ? 0. 易知平面 ABCD 的法向量为 v ? (0, 0,1) .

? 3x ? z ? 0,

〈 〉 所以 | cos n, v | ?

| n ? v | 3 11 ? . | n || v | 11

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角, 所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ?

3 11 . 11

解法二:取 AD 中点 M , BC 中点 N ,连结 PM , MN . 因为 ABCD 为正方形,所以 MN // CD . 由(Ⅱ)可得 MN ? 平面 PAD . 因为 PA ? PD ,所以 PM ? AD . 由 MP, MA, MN 两两垂直,建立如图所示 的空间直角坐标系 M ? xyz . 设 AB ? 4 ,则 A(2,0,0), B(2, 4,0), C(?2, 4,0), D(?2,0,0), P(0,0, 2), E (?1,0,1) . 所以 EA ? (3,0,?1) , AC ? (?4,4,0) .
x A P E D
M

z

C O B
N

y

??? ? ?n ? EA ? 0, ? 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? ?n ? AC ? 0. ?
所以 ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1,3) . ?? 4 x ? 4 y ? 0. 易知平面 ABCD 的法向量为 v ? (0,0,1) .

? 3x ? z ? 0,

〈 〉 所以 | cos n, v | ?

| n ? v | 3 11 ? . | n || v | 11

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角,

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所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ? 4、解:

3 11 . 11

(Ⅰ)证明: 在△ ABC 中, ?C ? 90?, DE // BC,? AD ? DE

? A1D ? DE .又 A1D ? CD, CD ? DE ? D,? A1D ? 面BCDE .
由 BC ? 面BCDE ,? A1D ? BC.

BC ? CD, CD ? BC ? C ,? BC ? 面A1DC .
(Ⅱ)如图,以 C 为原点,建立空间直角坐标系.

D(2,0,0), E (2, 2,0), B(0,3,0), A1 (2,0, 4) .
设 n ? ( x, y, z ) 为平面 A1BC 的一个法向量, 因为 CB ? (0,3,0), CA1 ? (2,0, 4) 所以 ? A1

z

??? ?

????

?3 y ? 0 , ?2 x ? 4 z ? 0

x

D E y B

C

令 x ? 2 ,得 y =0, z = ? 1 . 所以 n ? (2,0, ? 1) 为平面 A1BC 的一个法向量. 设 BE 与平面 A1BC 所成角为 ? . 则 sin ? = cos ? BE ? n ? ?

??? ?

4 4 ? . 5? 5 5
4 . 5

所以 BE 与平面 A1BC 所成角的正弦值为 5、解: (Ⅰ)∵ABCD 是正方形, ∴BC∥AD. ∵BC?平面 AMD,AD ? 平面 AMD, ∴BC∥平面 AMD. ∵NB∥MD, ∵NB?平面 AMD,MD ? 平面 AMD, ∴NB∥平面 AMD.

∵NB ? BC=B,NB ? 平面 BCN, BC ? 平面 BCN,

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∴平面 AMD∥平面 BCN ∵AM ? 平面 AMD, ∴AM∥平面 BCN (也可建立直角坐标系,证明 AM 垂直平面 BCN 的法向量,酌情给分) (Ⅱ)? MD ? 平面 ABCD,ABCD 是正方形,所以,可选点 D 为原点,DA,DC,DM 所在 直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系(如图) 则 A?2,0,0? , M ?0,0,2? , C ?0,2,0? , N ?2,2,1? .

? AN ? (0,2,1) ,
MN ? (2,2,?1) , MC ? (0,2,?2) ,
设平面 MNC 的法向量 n ? ? x, y, z ? ,

z M

E N

? ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ,令 z ? 2 ,则 n ? ? ?1, 2, 2 ? , ? 则 ? 2 y ? 2z ? 0
A

D

C

y

B

设 AN 与平面 MNC 所成角为 ? ,

x

2 ? 2 ? 1? 2 2 5 ? 5 5 ?3 . ???? ???? ? ME (Ⅲ)设 E ( x, y, z ) , ? ? ,? ME ? ? MN , MN ???? ???? ? 又? ME ? ( x, y, z ? 2), MN ? (2, 2, ?1) ,

? sin? ? cos AN , n ?

?E 点的坐标为 (2? , 2? , 2 ? ? ) ,
? AD ? 面 MDC,? AD ? MC ,
欲使平面 ADE⊥平面 MNC,只要 AE ? MC ,

??? ???? ? ? ??? ? ???? ? ? AE ? (2? ? 2, 2? , 2 ? ? ), MC ? (0, 2, ?2) ,? AE ? MC ? 0 ? 4? ? 2(2 ? ? ) ? 0 ,
?? ? 2 ME 2 ? . ? 3 MN 3

6、解: 证明: (Ⅰ)因为 ?ABC 是正三角形, M 是 AC 中点, 所以 BM ? AC ,即 BD ? AC

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又因为 PA ? 平面ABCD , BD ? 平面 ABCD , PA ? BD 又 PA ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 PAC 又 PC ? 平面 PAC ,所以 BD ? PC (Ⅱ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 在 ?ACD 中,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,所以 AD ? CD

?CDA ? 120? ,所以 DM ?

2 3 ,所以 BM : MD ? 3:1 3

在等腰直角三角形 PAB 中, PA ? AB ? 4 , PB ? 4 2 , 所以 BN : NP ? 3:1 , BN : NP ? BM : MD ,所以 MN / / PD 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所以 MN / / 平面 PDC (Ⅲ)因为 ?BAD ? ?BAC ? ?CAD ? 90? , 所以 AB ? AD ,分别以 AB, AD, AP 为 x 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系, 所以 B(4,0,0), C (2, 2 3,0), D(0, 由(Ⅱ)可知,
z

y 轴, z
N

P

4 3 ,0), P(0,0, 4) 3
B x

A M

D

y

C

??? ? 4 3 DB ? (4, ? ,0) 为平面 PAC 的法向量 3 ??? ? ??? ? PC ? (2, 2 3, ?4) , PB ? (4,0, ?4)
设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y , z ) ,

?

? ? ??? ?n ? PC ? 0 ?2 x ? 2 3 y ? 4 z ? 0 ? ? 则 ? ? ??? ,即 ? , ? ?4 x ? 4 z ? 0 ?n ? PB ? 0 ? ?
令 z ? 3, 则平面 PBC 的一个法向量为 n ? (3, 3,3)

?

? ? ??? n ? DB 7 ? 设二面角 A ? PC ? B 的大小为 ? , 则 cos ? ? ? ??? ? 7 n ? DB
所以二面角 A ? PC ? B 余弦值为

7 7

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7、解: (Ⅰ)证明:因为 AB ? 2BC , ?ABC ? 60? , 在△ ABC 中,由余弦定理可得 AC ? 3BC , 所以 AC ? BC . 又因为 AC ? FB , 所以 AC ? 平面 FBC . (Ⅱ)解:因为 AC ? 平面 FBC ,所以 AC ? FC . 因为 CD ? FC ,所以 FC ? 平面 ABCD . 所以 CA, CF , CB 两两互相垂直,如图建立的空间直角坐标系 C ? xyz . 在等腰梯形 ABCD 中,可得 CB ? CD . 设 BC ? 1 ,所以 C (0, 0, 0), A( 3, 0, 0), B(0,1, 0), D(

3 1 3 1 , ? , 0), E ( , ? ,1) . 2 2 2 2

3 1 ,? ,1) , CA ? ( 3 ,0,0) , CB ? (0,1,0) . 2 2 ??? ? ?n ? CE ? 0, ? 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ??? ? ?n ? CA ? 0. ?
所以 CE ? (

? 3 1 x ? y ? z ? 0, ? 所以 ? 2 2 ? 3 x ? 0. ?

取 z ? 1,得 n ? (0, 2,1) .

??? ? ??? ? | CB ? n | 2 5 ? ? 设 BC 与平面 EAC 所成的角为 ? ,则 sin ? ? | cos?CB, n? | ? ??? , 5 | CB || n |
所以 BC 与平面 EAC 所成角的正弦值为

2 5 . 5

(Ⅲ)线段 ED 上不存在点 Q ,使平面 EAC ? 平面 QBC .证明如下:

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3 1 3 1 ,? , t ) (0 ? t ? 1) ,所以 CQ ? ( ,? , t ) . 2 2 2 2 ??? ? ?m ? CB ? 0, ? 设平面 QBC 的法向量为 m ? (a, b, c) ,则有 ? ??? ? ?m ? CQ ? 0. ?
假设线段 ED 上存在点 Q ,设 Q(

?b ? 0, 2 ? 所以 ? 3 取 c ? 1 ,得 m ? (? t ,0,1) . 1 3 a ? b ? tc ? 0. ? ? 2 2
要使平面 EAC ? 平面 QBC ,只需 m ? n ? 0 , 即 ?

2 t ? 0 ? 0 ? 2 ? 1?1 ? 0 , 此方程无解. 3

所以线段 ED 上不存在点 Q ,使平面 EAC ? 平面 QBC . 8、解: (Ⅰ)? DE ? AB ,? DE ? BE ,DE ? PE,

? BE ? PE ? E , ?DE ? 平面 PEB,
? PB ? 平面PEB ,? BP ? DE;
(Ⅱ)?PE ? BE, PE ? DE, DE ? BE ,所以,可由 DE,BE,PE 所在直线为 x,y,z 轴建立 空间直角坐标系(如图) ,

?设 PE=a,则 B(0,4-a ,0),D(a,0,0),C(2,2-a,0),P(0,0,a),
??? ? ??? ? PB ? (0, 4 ? a, ?a) , BC ? (2, ?2, 0) ,
设面 PBC 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,
?? ? ?(4 ? a ) y ? az ? 0, 令 y ? 1, ? n ? (1,1, 4 ? a ) , ?? a ? 2 x ? 2 y ? 0,

z

y x

??? ? ? PD ? (a,0, ?a) ,

?BC 与平面 PCD 所成角为 30° ,

??? ? ? ? sin 30? ? cos PD, n

.

a ? (4 ? a ) 2a 2 ? 2 ? (4 ? a ) 2 a2

?

1 , 2

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解得:a= 9、解: (Ⅰ)证明: 因为 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC . 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD , 所以 AC ? 平面 BDE , 从而 AC ? BE (Ⅱ)解:因为 DA, DC , DE 两两垂直, 所以建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示. 设 AD ? 3 ,可知 DE ? 3, AF ? 1 . 则 D(0,0,0) , A(3,0,0) , F (3,0,1) , E (0,0,3) , B(3,3, 0) , C (0,3,0) , 所以 BF ? (0,?3,1) , EF ? (3,0,?2) ,
x
F D A M B C

4 4 ,或 a=4(舍) ,所以,PE 的长为 . 5 5
z
E

y

??? ? ?n ? BF ? 0 ?? 3 y ? z ? 0, ? 设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ,即 ? , ? ? 3 x ? 2 z ? 0. ?n ? EF ? 0 ?
令 z ? 3 ,则 n ? (2,1,3) . 因为 AC ? 平面 BDE ,所以 CA 为平面 BDE 的法向量, CA ? (3, ?3, 0) ,

??? ?

??? ?

所以 cos ? n, CA ? ?

n ? CA n CA

?

7 14
7 . 14

因为二面角为锐角,所以二面角 F ? BE ? D 的余弦值为

(Ⅲ)点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M (t , t , 0) (0 ? t ? 3 2) . 则 AM ? (t ? 3, t , 0) , 因为 AM // 平面 BEF , 所以 AM ? n ? 0 , 即 2(t ? 3) ? t ? 0 ,解得 t ? 2 . 此时,点 M 坐标为 (2, 2, 0) , BM ?

???? ?

???? ?

1 BD ,符合题意. 3

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10、解: 【方法一】 (Ⅰ)证明:由俯视图可得, BD2 ? BC 2 ? CD2 , 所以 BC ? BD . 又因为 PD ? 平面 ABCD , 所以 BC ? PD , 所以 BC ? 平面 PBD . (Ⅱ)证明:取 PC 上一点 Q ,使 PQ : PC ? 1: 4 ,连结 MQ , BQ . 由左视图知 PM : PD ? 1 : 4 ,所以 MQ ∥ CD , MQ ? 在△ BCD 中,易得 ?CDB ? 60? ,所以 ?ADB ? 30? . 又 BD ? 2 , 所以 AB ? 1, AD ? 3 . 又因为 AB ∥ CD , AB ?

1 CD . 4

1 CD ,所以 AB ∥ MQ , AB ? MQ . 4

所以四边形 ABQM 为平行四边形,所以 AM ∥ BQ . 因为 AM ? 平面 PBC , BQ ? 平面 PBC , 所以 直线 AM ∥平面 PBC . (Ⅲ)解:线段 CD 上存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为

3 .证明如下: 4

因为 PD ? 平面 ABCD , DA ? DC ,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz . 所以 D(0,0,0), A( 3,0,0), B( 3,1,0), C (0,4,0), M (0,0,3) . 设 N (0, t ,0) ,其中 0 ? t ? 4 .所以 AM ? (? 3 ,0,3) , BN ? (? 3, t ? 1,0) .

???? ???? ? | AM ? BN | 3 3 ? 要使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 ,则有 ???? ???? ? , 4 4 | AM || BN |
所以

|3| 2 3 ? 3 ? (t ? 1)
2

?

3 ,解得 t ? 0 或 2 ,均适合 0 ? t ? 4 . 4

故点 N 位于 D 点处,此时 CN ? 4 ;或 CD 中点处,此时 CN ? 2 ,有 AM 与 BN 所

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成角的余弦值为 【方法二】

3 . 4

(Ⅰ)证明:因为 PD ? 平面 ABCD , DA ? DC ,建立如图所示 的空间直角坐标系 D ? xyz . 在△ BCD 中,易得 ?CDB ? 60? ,所以 ?ADB ? 30? , 因为 BD ? 2 , 所以 AB ? 1, AD ? 3 . 由俯视图和左视图可得:

D(0,0,0), A( 3,0,0), B( 3,1,0), C (0,4,0), M (0,0,3), P(0,0,4) .
所以 BC ? (? 3,3,0) , DB ? ( 3 ,1,0) . 因为 BC ? DB ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 1 ? 0 ? 0 ? 0 ,所以 BC ? BD . 又因为 PD ? 平面 ABCD ,所以 BC ? PD , 所以 BC ? 平面 PBD .

??? ? ?n ? PC ? 0, ? (Ⅱ)证明:设平面 PBC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ??? ? ?n ? BC ? 0. ?
因为 BC ? (? 3,3,0) , PC ? (0,4,?4) , 所以 ?

? 4 y ? 4 z ? 0, ? ? ? 3 x ? 3 y ? 0. ?

取 y ? 1 ,得 n ? ( 3 ,1,1) .

因为 AM ? (? 3 ,0,3) ,所以 AM ? n ?

3 ? (? 3 ) ? 1 ? 0 ? 1 ? 3 ? 0 .

因为 AM ? 平面 PBC , 所以 直线 AM ∥平面 PBC . (Ⅲ)解:线段 CD 上存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为

3 .证明如下: 4

设 N (0, t ,0) ,其中 0 ? t ? 4 . 所以 AM ? (? 3 ,0,3) , BN ? (? 3, t ? 1,0) . 要使 AM 与 BN 所成角的余弦值为

| AM ? BN | 3 3 ? ,则有 , 4 4 | AM | ? | BN |

所以

|3| 2 3 ? 3 ? (t ? 1)
2

?

3 ,解得 t ? 0 或 2 ,均适合 0 ? t ? 4 . 4

故点 N 位于 D 点处,此时 CN ? 4 ;或 CD 中点处,此时 CN ? 2 ,有 AM 与 BN 所

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成角的余弦值为

3 . 4


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