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人教版高中数学必修1函数的解析式教案


§2.2.2 函 数(二)--函数的解析式 [教学目的] 使学生进一步巩固函数的概念,能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系, 求出它的解析式,并掌握解析式的一些形式的变换. [重点难点] 重点、难点:函数解析式的求法. [教学过程] 一、复习引入 ⒈用映射刻划的函数的定义是什么?函数符号的含义是什么?函数的表示方法常用的有 哪些? 答:函数是两个非空数集 A 到 B 的特殊映射 f:x→y=f(x),x ? R,y ? C ? B;定义域 A、 值域 C 和定义域到值域的对应法则 f 称为函数的三要素;符号 y=f(x)表示 y 是 x 的函数,不 是 f 与 x 的乘积;函数的表示方法常用的有解析法、列表法和图象法,而中学阶段所研究的 函数主要是能用解析式表示的函数.. ⒉引入: 我们已经了解了函数的概念和表示方法.在此基础上, 今天我们来学习确定函数 解析式的几种常见方法. 二、学习、讲解新课 我们知道, 把两个变量的函数关系用一个等式表示, 这个等式就叫做函数的解析表达式, 简称解析式.下面我们通过例题来说明求函数解析式的几种常用方法 例 1 ⑴已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x); ⑵已知 f( x +1)=x+2 x ,求 f(x+1); ⑶已知 f(x)满足 2f(x)+f(1/x)=3x,求 f(x); ⑷设二次函数 f(x)满足 f(x+2)=f(2-x)且 f(x)=0 的两实根平方和为 10, 图象过点(0,3), 求 f(x)的解析式. 解: ⑴设 f(x)=ax+b, 则 3f(x+1)-2f(x-1)=3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+(5a+b)=2x+17, 比较系数得 a=2 且 5a+b=17, ∴a=2,b=7,∴f(x)=2x+7. ⑵设 u= x +1 ? 1,则 x =u-1,x=(u-1) ,于是 f(u)=(u-1) +2(u-1)
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=u -1(u ? 1),即 f(u)=u -1(u ? 1), ∴f(x+1)=(x+1) -1=x +2x(x+1 ? 1),
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即 f(x+1)=x +2x(x ? 0).
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⑶∵已知 2f(x)+f(1/x)=3x ---①,将①中 x 换成 1/x 得 2f(1/x)+f(x)=3/x ---②,① ×2-②得 3f(x)=6x-3/x,∴f(x)=2x-1/x. ⑷设 f(x)的解析式是 f(x)=ax +bx+c(a ? 0), ∵图象过点(0,3),∴有 f(0)=c=3,故 c=3;
2

又 ∵ f(x) 满 足 f(x+2)=f(2-x) 且 f(x)=0 的 两 实 根 平 方 和 为 10 , ∴ 得 对 称 轴 x=2 且

x1 +x2 =(x1+x2) -2x1x2=10,即(-b/2a)=2 且(b /a )-(6/a)=10,∴a=1,b=-4,∴f(x)=x -4x+3. 说明:求函数解析式常用的方法有:待定系数法(如⑴⑷)、换元法(如⑵)、构造方程法 (如⑶)等. 例 2 高为 h,底面半径为 r 的圆柱形容器内,以单位时间内体积为 a 的速度充水,试求 出水面高 y 与时间 t 的函数关系式,并求其定义域.(提示:圆柱的体积=底面积×高) 解 : 由 题 意 有 at= ? r y , 即 y=(a/ ? r )t, ∵ 0 ? y ? h, 即 0 ? (a/ ? r ) ? h, ∴
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0 ? t ? ? r h/a,即定义域是[0, ? r h/a].
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说明:这是函数知识在实际问题中的应用,其定义域是由实际问题所决定的. 练习:⑴若 f(1/x)=1/(1+x),则 f(x)= ; ;

⑵已知 f(x)是二次函数,且满足 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,则 f(x)= ⑶已知 g(x)=1-2x,f[g(x)]=(1-x )/x (x ? 0),则 f(1/2)=
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; , 其定义域是 ;

? x 2 ? 1( x ? 0) ⑸已知 f(x)= ? ,若 f(x)=10,则 x= ? ? 2 x ( x ? 0)

⑷将长为 a 的铁丝折成矩形, 面积 y 关于边长 x 的函数关系是 ;

⑹已知函数 f(x)满足 f(ab)=f(a)+f(b)且 f(2)=p,f(3)=q,则 f(36)= 解:⑴令 u=1/x,则 x=1/u,f(u)=u/(1+u),∴f(x)=x/(1+x); ⑵设 f(x)=ax +bx+c(a ? 0),∵f(0)=1,∴c=1,又 f(x+1)-f(x)=2x,
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.

∴a(x+1) +b(x+1)+1-ax -ba-1=2x,即 2ax+a+b=2x,比较系数得 2a=2 且 a+b=0,∴a=1, b=-1,∴f(x)=x -x+1. ⑶由 g(x)=1-2x=1/2,得 x=1/4,∴f(1/2)=[1-(1/4) ]/(1/4) =15. ⑷设矩形的长为 x,则宽为(a-2x)/2,∴y=x[(a-2x)/2]=ax/2-x ,定义域是(0,a/2). ⑸由已知-2x<0,∴f(x)=x +1=10,即 x= ? 3,又 x ? 0,∴x=-3.
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⑹f(36)=f(6×6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(2×3)=2[f(2)+f(3)]=2(p+q). 三、小 结 ⒈解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系, 是函数与自变量之间建立联系的桥梁; ⒉解析式只表示一种对应关系, 与所取的字母无关, 如 y=2x-1 与 u=2t-1 是同一个函数; ⒊求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法,若已知函数的构造模式,可用待定 系数法;若已知复合函数 f[f(x)]的表达式来求 f(x),常用换元法;当已知表达式较简单时, 甚至可直接用凑合法求解. ⒋用赋值法(特殊值法)求函数式中的参数,是一种比较常用的方法. ⒌根据实际问题求函数的表达式,是应用函数知识解决实际问题的基础,在设定或选定 自变量后去寻找等量关系,以求得表达式,要注意函数定义域应由实际问题确定. 四、布置作业

(一)复习:课本和课堂上的有关内容. (二)书面:⒈填空: ⑴若 f(x)=2x+1,则 f[f(2)]= ⑵若 f(x+1)=x2-2x+5,则 f(x)= ⑶若 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)= ⑷若 3f(x)+2f(1/x)=4x,则 f(x)= . . ;f(-x)= . . ;f[f(x)]= .

⑸若 f(x)=x2-mx+n,f(n)=m,f(1)=-1,则 f(-5)=

⒉设函数 f(x)=x2-4x-4 的定义域为[t-2,t-1], 对任意 t∈R, 求函数 f(x)的最小值 的解析式,并画出图象.(练习册 P26B 组第 2 题) 答案与提示:⒈⑴f[f(2)]=f(5)=11,f(-x)=-2x+1,f[f(x)] =2f(x)+1=4x+3;⑵f(x)=x -4x+8;⑶g(x)=2x-1; ⑷f(x)=(12x -8)/5x(x ? 0);
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? (t)

⑸将 f(n)=m 与 f(1)=-1 并成方程组,解得 m=1,n=-1,可知 f(x)=x -x-1, ∴f(-5)=29. 2 2 ⒉由 f(x)=x -4x-4=(x-2) -8 知,对称轴为 x=2, 若 t-1<2 即 t<3 时, ? (t)=fmin(x)=(t-1-2) -8=t -6t+1;
2 2

2

若 t-2 ? 2 ? t-1 即 3 ? t ? 4 时, ? (t)=fmin(x)=-8; 若 t-2>2 即 t>4 时, ? (t)=fmin(x)=(t-2-2) -8=t -8t+8;
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?t 2 ? 6t ? 1(t ? 3) ? ∴ ? ( x ) ? ?? 8(3 ? t ? 4) . ?t 2 ? 8t ? 8(t ? 4) ?
(三)思考题: (四)预习:课本 P53-552.2 区间概念、函数定义域的求法.


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