当前位置:首页 >> 数学 >> 2014高三数学一轮复习课件--几何证明选讲(选修4—1)

2014高三数学一轮复习课件--几何证明选讲(选修4—1)


目 录
几何证明选讲[选修4-1]

第一节
第二节

相似三角形的判定及有关性质
直线与圆的位置关系

几何证明选讲[选修4-1]

[知识能否忆起] 一、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其

他直线上截得的线段

也相等.
二、平行线分线段成比例定理 定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段 成比例 .

推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)所得的对应线段 成比例 .

三、相似三角形的判定与性质

1.判定定理:
判定定理 判定定理 两角 1 对应相等的两个三角形相似 两边 夹角

判定定理
2 判定定理 3

对应成比例,并且
形相似 三边

相等的两个三角

对应成比例的两个三角形相似

2.性质定理 内容 性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应

角平分线的比都等于 相似比

性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

性质定理3 相似三角形的面积比等于相似比的平方
推论 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似 比,外接圆的面积比等于相似比的平方

四、直角三角形的射影定理

直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 比例中项 ;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的
比例中项

[小题能否全取]
1.(教材习题改编)如图,AB∥EM∥DC, AE=ED,EF∥BC,EF=12 cm.则BC 的长为________.
AB∥EM∥DC? ? ??E 为 AD 中点, 解析: ? AE=ED ? M 为 BC 的中点. 又 EF∥BC?EF=MC=12 cm, ∴BC=2MC=24 cm.

答案:24 cm

2.(教材习题改编)如图所示,BD、CE 是 △ABC 的高, BD、CE 交于 F.写出图

中所有与△ACE 相似的三角形________________.

解析:由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各有一个公 共锐角, 因而它们相似.又易知∠BFE=∠A,故

Rt△ACE∽Rt△FBE.
答案:△FCD,△FBE,△ABD

3.如图,在△ABC 中,M、N 分别是 AB、 BC 的中点,AN、CM 交于点 O,那么 △MON 与△AOC 面积的比是________.

1 解析:∵M、N 分别是 AB、BC 中点,故 MN 綊 AC, 2 S△MON MN2 1 ∴△MON∽△COA,∴ = 2= . S△AOC AC 4

答案:1∶4

4.已知 a∥b∥c,直线 m、n 分别与直线 a、 b、c 交于点 A、B、C 和点 A′、B′、 3 C′,如果 AB=BC=1,A′B′= , 2 则 A′C′=________. 解析:∵AB=BC,
∴由平行线等分线段定理,知 3 B′C′=A′B′= , 2 3 3 ∴A′C′=A′B′+B′C′= + =3. 2 2

答案:3

5.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.
若BC=m,∠B=α,则AD长为________.
解析:由射影定理,得 AB2=BD· BC,AC2=CD· BC, 即 m2cos2α=BD· m, m2sin2α=CD· m, 即 BD=mcos2α,CD=msin2α. 又∵AD2=BD· DC=m2cos2αsin2α, ∴AD=mcos αsin α. 答案:mcos αsin α

1.使用平行截割定理时要注意对应线段、对应边 对应成比例,对应顺序不能乱.

2.相似三角形判定定理的作用:
(1)可以判定两个三角形相似. (2)间接证明角相等、线段长成比例. (3)为计算线段的长度及角的大小创造条件.

平行线分线段成比例定理的应用

[例1]

(2011· 广东高考)如图,在梯形

ABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2,E,

F分别为AD,BC上的点,且EF=3,
EF∥AB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面 积比为________.

[自主解答]

1 由 CD=2,AB=4,EF=3,得 EF= (CD 2

+AB),则 EF 是梯形 ABCD 的中位线,则梯形 ABFE 与梯 1 形 EFCD 有相同的高,设为 h,于是两梯形的面积比为 (3 2 1 +4)h∶ (2+3)h=7∶5. 2

[答案] 7∶5

DE 3 本例条件“EF=3”若变为“EA= ”,试求 EF 的长. 4 解:如图,延长 AD、BC 交于点 P,
∵CD∥AB, PD CD 1 ∴ PA = AB= , 2 DE 3 DE 3 又∵ EA= ,∴AD= . 4 7 PD 7 PD CD ∴PE = .又∵PE = EF, 10 10 20 ∴EF= ×CD= . 7 7

比例线段常由平行线产生,利用平行线转移比例 是常用的证题技巧,当题中没有平行线条件而又必 须转移比例时,常通过添加辅助平行线达到转移比 例的目的.

1.(2012· 泉州模拟)如图,要测量的 A、C 两 点被池塘隔开,李师傅在 AC 外任选一点 B,连接 BA 和 BC,分别取 BA 和 BC 的 中点 E、F,量得 E、F 两点间的距离等 于 23 米,则 A、C 两点间的距离为________米.
解析:∵E,F 分别是 BA 和 BC 的中点, 1 ∴EF∥AC 且 EF= AC, 2 ∴AC=46.

答案:46

2.(2012· 佛山质检)如图,在△ABC 中,DE∥ BC,EF∥CD,若 BC=3,DE=2,DF=1, 则 AB 的长为________.

解析:∵DE∥BC, AD AE DE 2 ∴AB =AC=BC = , 3 EC 1 DF 1 ∴AC= .又∵EF∥CD,∴AD= . 3 3 3 9 ∴AD=3.∴AB= · AD= . 2 2

9 答案: 2

相似三角形的判定及性质

[例2]

(2012· 新课标全国卷)如图,D,

E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线 DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若 CF∥AB,证明: (1)CD=BC;

(2)△BCD∽△GBD.

[自主解答]

证明:(1)因为 D,E 分别

为 AB,AC 的中点,所以 DE∥BC. 又已知 CF∥AB,故四边形 BCFD 是平 行四边形,所以 CF=BD=AD. 而 CF∥AD,连结 AF,所以四边形 ADCF 是平行四边 形,故 CD=AF. 因为 CF∥AB,所以 BC=AF,故 CD=BC.

(2)因为 FG∥BC,故 GB=CF. 由(1)可知 BD=CF, 所以 GB=BD,所以∠BGD=∠BDG. 由 BC=CD 知∠CBD=∠CDB, 又因为∠DGB=∠EFC=∠DBC,所以△BCD∽△GBD.

1.相似三角形的判定主要是依据三个判定定理,结
合定理创造条件建立对应边或对应角的关系; 2.注意辅助线的添加,多数作平行线; 3.相似三角形的性质可用来考查与相似三角形相关 的元素,如三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、

外接圆的直径、内切圆的直径等.

3.(2012· 北京模拟)如图,在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90° ,BC=3,AC= 15,AB 的垂直平分线 ED 交 BC 的延长线于 D 点,垂足为 E,则 sin ∠CAD=_______.

解析:在 Rt△ABC 中,BC=3,AC= 15, AB= 15+9=2 6. BC AB 3 2 6 易证得△ABC∽△DBE,∴BE=DB? = BD , 6 CD 1 ∴BD=4?CD=1,AD=4,∴sin ∠CAD=AD= . 4

1 答案: 4

4.(2012· 衡阳联考)如图,圆 O 是△ABC 的外接圆,过点 C 的切线交 AB 的延 长线于点 D,CD=2 7,AB=BC=3, 则 AC 的长为________.

解析:由切割线定理知 CD2=BD· AD=BD· (3+BD), 即(2 7)2=BD2+3BD, 解得 BD=4 或 BD=-7(舍去). 因为∠BDC=∠CDA,∠DCB=∠DAC, CD AC 所以△CAD∽△BCD,所以BD=CB, 2 7 AC 3 7 即 = ,解得 AC= . 4 3 2

3 7 答案: 2

射影定理的应用

[例 3]

(2012· 陕西高考)如图,在圆 O

中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E,EF ⊥DB,垂足为 F,若 AB=6,AE=1,则 DF· DB=________. [自主解答] 连结 AD,由射影定理可知 ED2 =

AE· EB=1×5=5,又易知△EBD 与△FED 相似,得 DF· DB=ED2=5.

[答案] 5

1.在使用直角三角形射影定理时,要学会将“乘 积式”转化为相似三角形中的“比例式”; 2.证题时,作垂线构造直角三角形是解该问题的 常用方法.

5.如图所示,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射 影为 D,CD=4,BD=8,则圆 O 的半径等 于________.
解析:在 Rt△ACB 中,由射影分对边成两段的长度比等 于夹角两边长度的比得 CD2=AD· DB,42=8· AD, AD=2, AB=AD+DB=10,所以圆的半径等于 5.

答案:5

6.(2012· 福州模拟)如图所示,在△ABC 中, ∠CAB=90° ,AD⊥BC 于 D,BE 是 ∠ABC 的平分线,交 AD 于 F,求证: DF AE AF =EC.

证明:由三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角 DF BD 两边长度的比得,在△ABD 中, AF= AB , AE AB 在△ABC 中,EC=BC, 在 Rt△ABC 中,由射影定理知, BD AB AB =BD· BC,即 AB=BC.
2

① ②

③ ④

DF AB 由①③得: = , AF BC DF AE 由②④得: = . AF EC

[知识能否忆起] 一、圆周角定理

1.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的 一半 . 2.圆心角定理:圆心角的度数等于 它所对弧的度数 . 推论1:同弧或等弧所对的圆周角 相等 ;同圆或等圆 中,相等的圆周角所对的弧也 相等 .

推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ;90°的圆
周角所对的弦是 直径 .

二、圆内接四边形的性质与判定定理 1.性质定理 定理1:圆内接四边形的对角 互补 . 定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的 对角 . 2.判定定理 判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四

边形的四个顶点 共圆 .
推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角, 那么这个四边形的四个顶点 共圆 .

三、圆的切线的性质及判定定理

1.性质定理:圆的切线垂直于经过切点的 半径 .
推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必过 切点 . 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必过 圆心 . 2.判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的 切线 .

四、弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角 .

五、与圆有关的比例线段

1.相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两
条线段长的 积 相等. 2.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到 每条割线与圆的交点的两条线段长的 积 相等. 3.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线

长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项 .
4.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的 切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角 .

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)如图所示,在△ABC中, ∠C=90°,AB=10,AC=6,以AC为 直径的圆与斜边交于点P.则BP的长为________.

解析:连结CP,由推论2知∠CPA=90°,
即CP⊥AB,由射影定理知, AC2=AP·AB,∴AP=3.6, ∴BP=AB-AP=6.4.

答案:6.4

2.(教材习题改编)如图,⊙O中弦AB、 CD相交于点F,AB=10,AF=2,

若CF∶DF=1∶4.则CF的长为________.
解析:∵CF∶DF=1∶4, ∴DF=4CF. ∵AB=10,AF=2,∴BF=8. ∵CF· DF=AF· BF,∴CF· 4CF=2×8, ∴CF=2.

答案:2

3.如图,割线PBC经过圆心O,OB=PB= 1,OB绕点O逆时针旋转120°到OD,连

结PD交圆O于点E,则PE=________.
解析:依题意得: PD= PO2+OD2-2PO· ODcos 120° 7; = 又 PE· PD=PB· PC, PB· PC 1×3 3 7 因此 PE= PD = = . 7 7

3 7 答案: 7

4.(2012·太原模拟)如图,⊙O是△ABC

的内切圆,切点分别是D、E、F,
已知∠A=100°,∠C=30°,则∠DFE的度数是 ________.
解析:∠B=180° -∠A-∠C=180° -100° -30° =50° , ∠BDO+∠BEO=180° , ∴B、D、O、E 四点共圆, ∴∠DOE=180° -∠B=180° -50° =130° . 又∵∠DFE 是圆周角,∠DOE 是圆心角, 1 ∠DFE= ∠DOE=65° . 2

答案:65°

5.(2012· 东城模拟)如图,已知 PA 是⊙O 的切 线,A 是切点,直线 PO 交⊙O 于 B,C 两 点,D 是 OC 的中点,连结 AD 并延长交⊙O 于点 E,若 PA=2 3,∠APB=30° ,则 AE=________. 解析:根据已知可得,在 Rt△PAO 中,AO=APtan 30°

=2.故 OD=1,且∠AOD=120° .在△AOD 中,根据余 弦定理可得 AD= 4+1-2×2×1×cos 120° 7.又根 = 据相交弦定理得 CD· DB=AD· DE,即 1×3= 7×DE, 3 7 10 7 所以 DE= ,所以 AE= . 7 7

10 7 答案: 7

1.与圆有关的辅助线的五种作法:

(1)有弦,作弦心距;
(2)有直径,作直径所对的圆周角; (3)有切点,作过切点的半径; (4)两圆相交,作公共弦; (5)两圆相切,作公切线. 2.圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时,要注意找相等 的角,找相似三角形,从而得出线段的比,由于圆幂定理涉及 圆中线段的数量计算,所以应注意代数法在解题中的应用.

圆周角、弦切角和圆的切线问题

[例1]

(2012·广东高考)如图所示,圆

O的半径为1,A,B,C是圆周上的三点,
满足∠ABC=30°,过点A作圆O的切线与 OC的延长线交于点P,则PA=________.

[自主解答] ∴OA⊥AP.

连结 OA.∵AP 为⊙O 的切线,

又∠ABC=30° ,∴∠AOC=60° . ∴在 Rt△AOP 中,OA=1,PA=OA· 60° 3. tan =
[答案] 3

本例条件变为“PA 是⊙O 的切线,切点为 A,PO 交圆 O 于 B、C,且 AC= 3,∠PAB=30° ”,求圆的半径 r.
解:如图. ∵∠PAB=30° ,∴∠ACB=30° . 在 Rt△ABC 中 AC= 3, 故 BC=2,即圆的半径为 1.

1.圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多

用于推出角的关系,从而证明三角形全等或相似,可
求线段或角的大小. 2.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化;关 于圆周上的点,常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆 周角或弦切角.

1.(2012·惠州调研)已知PA是圆O的切 线,切点为A,直线PO交圆O于B,C 两点,AC=2,∠PAB=120°,则圆 O的面积为________.

解析:∵PA 为圆 O 的切线,A 为切点, ∴∠PAO=90° . 又∵∠PAB=120° ,∴∠OAB=30° . 又∵OA=OB,∴∠OBA=30° , ∴∠AOC=∠OAB+∠OBA=60° . 又∵OA=OC,∴△OAC 为等边三角形, ∴圆 O 的半径 OA=AC=2, ∴圆 O 的面积为 4π.

答案:4π

2.(2012· 广州模拟)如图,AB 是圆 O 的直径, 直线 CE 与圆 O 相切于点 C,AD⊥CE 于 点 D,若圆 O 的面积为 4π,∠ABC=30° , 则 AD 的长为________.
解析:由题意可知圆 O 的半径为 2,在 Rt△ABC 中, 1 由∠ABC=30° 可得 AC= AB=2, 由弦切角定理可知∠ 2 1 ACD=∠ABC=30° ,故 AD= AC=1. 2

答案:1

四点共圆问题

[例2] (2012· 郑州模拟)如图,锐角三 角形ABC的内心为I,过点A作直线BI的垂 线,垂足为H,点E为内切圆I与边CA的切

点.
(1)求证:四点A,I,H,E共圆; (2)若∠C=50°,求∠IEH的度数.

[自主解答] 得 IE⊥AE,

(1)由圆 I 与边 AC 相切于点 E,

结合 IH⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90° . 所以,四点 A,I,H,E 共圆. (2)由(1)知四点 A,I,H,E 共圆,则∠IEH=∠HAI.
1 1 在△HIA 中,∠HIA=∠ABI+∠BAI= ∠ABC+ ∠BAC= 2 2 1 1 1 (∠ABC+∠BAC)= (180° -∠C)=90° ∠C. - 2 2 2 1 结合 IH⊥AH,得∠HAI=90° -∠HIA= ∠C, 2 1 所以∠IEH= ∠C. 2 由∠C=50° 得∠IEH=25° .

判断四点共圆的步骤

(1)观察几何图形,找到一定点、一对对角或一外角与
其内对角; (2)判断四点与这一定点的关系; (3)判断四边形的一对对角的和是否为180°; (4)判断四边形一外角与其内对角是否相等;

(5)下结论.

3.(2012·乌鲁木齐模拟)如图,BA是⊙O 的直径,延长BA至E,使得AE=AO, 过E点作⊙O的割线交⊙O于D、C, 使得AD=DC. (1)求证:OD∥BC;

(2)若ED=2,求⊙O的内接四边形ABCD的周长.

解:(1)证明:连结 AC, ∵OD 是⊙O 的半径,AD=DC,∴OD⊥AC, ∵∠BCA=90° ,∴BC⊥AC, ∴OD∥BC.

(2)由(1)及 EA=AO,ED=2, OD ED EO 2 知 BC = EC = EB= , 3 ∴EC=3,∵ED· EC=EA· EB=3EA2, ∴3EA2=2×3,即 EA= 2. 3 3 3 2 ∵CD=EC-ED=1,BC= OD= EA= , 2 2 2 7 2 ∴四边形 ABCD 的周长为 AD+CD+BC+BA=2+ . 2

相交弦、切割线定理的应用

[例3]

(2012· 辽宁高考)如图,⊙O和⊙O′相交于A,

B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连

接DB并延长交⊙O于点E.

证明:(1)AC·BD=AD·AB; (2)AC=AE.

[自主解答]

证明:(1)由 AC 与⊙O′相切于 A,

得∠CAB=∠ADB,同理∠ACB=∠DAB, AC AB 所以△ACB∽△DAB.从而AD=BD, 即 AC· BD=AD· AB.

(2)由 AD 与⊙O 相切于 A,得∠AED=∠BAD, AE AD 又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD.从而AB=BD, 即 AE· BD=AD· AB. 结合(1)的结论,AC=AE.

解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 (1)直接应用相交弦、切割线定理及推论; (2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中 时,可转化为证明三角形相似,一般思路为“相似三角

形→比例式→等积式”.在证明中有时还要借助中间比
来代换,要灵活把握.

4.(2012·泉州模拟)如图,AB为圆O的直 径,P为圆O外一点,过P点作PC⊥AB

于C,交圆O于D点,PA交圆O于E点,
BE交PC于F点.求证: (1)∠P=∠ABE; (2)CD2=CF·CP.

证明:(1)依题意,得∠AEB=∠ACP=90° , 所以在 Rt△ACP 中,∠P=90° -∠PAB; 在 Rt△ABE 中,∠ABE=90° -∠PAB; 所以∠P=∠ABE.

(2)连结 AD、BD,在 Rt△ABD 中,CD2=AC· BC, 由(1)得△BCF∽△PCA, BC CF 所以PC=AC, 即 AC· BC=CF· PC, 故 CD2=CF· CP.

5.(2012· 长春模拟)如图,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的平分线,△ACD 的外接圆交 BC 于点 E,AB=2AC. (1)求证:BE=2AD; (2)当 AC=1,EC=2 时,求 AD 的长.
解:(1)证明:连结 DE,因为 ACED 是圆的内接四边形,所 以∠BDE=∠BCA,又∠DBE=∠CBA,所以△BDE∽△ BE DE BCA,即有BA= CA,而 AB=2AC, 所以 BE=2DE.又 CD 是∠ACB 的平分线,所以 AD=DE, 从而 BE=2AD.

(2)由条件得 AB=2AC=2,设 AD=t,根据割线定理得 BD· BA=BE· BC,即(AB-AD)· BA=2AD· (2AD+CE), 1 所以(2-t)×2=2t(2t+2), 2t +3t-2=0, 即 解得 t= 或 2
2

1 t=-2(舍去),即 AD= . 2


更多相关文档:

2015选修4-1+几何证明选讲

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...2015选修4-1+几何证明选讲_数学_高中教育_教育专区...答案 1∶ 3 5. (2014· 湛江模拟)如图,在△ABC...

选修4-1 几何证明选讲 复习教案

选修4-1 几何证明选讲 复习教案_数学_高中教育_教育专区。高三一轮复习,选修4...考点一 平行线截割定理的应用 [例 1] (2014· 广东高考节选)如图, 在平行...

一轮复习精品讲义:选修4-1 几何证明选讲

搜 试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...一轮复习精品讲义:选修4-1 几何证明选讲_数学_高中...答案:2 3 4.(2014· 湖北高考)如图,P 为⊙O ...

数学选修4-1几何证明选讲总复习题(教师版)

数学选修4-1几何证明选讲总复习题(教师版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区...【唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试】如图, AB 为圆 O 的直径, CD...

一轮复习精品讲义:选修4-1-几何证明选讲

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...一轮复习精品讲义:选修4-1-几何证明选讲_数学_...3.(2014· 江苏高考)如图,AB 是圆 O 的直径,C...

高中数学选修4-1 几何证明选讲知识点梳理

选修 4-1 1. 平行线等分线段定理 几何证明选讲知识点梳理》 平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也...

高中数学选修4-1几何证明选讲知识点及练习含答案(精品)

高中数学选修4-1几何证明选讲知识点及练习含答案(精品)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。相似三角形的判定及有关性质知识点 1:比例线段的相关概念 比例线段:...

数学4-1《几何证明选讲》知识点总结

高中数学选修 4-1几何证明选讲》 ---知识点总结 1、平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等。 推...

高考数学专题复习十八、几何证明选讲(选修4-1)

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高考数学专题复习十八、几何证明选讲(选修4-1)_高三...2014年高考理科数学新课... 2014年高考理科数学北京...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com