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八年级数学上册25角平分线的性质证明角平分线的三种途经素材青岛版!


证明角平分线的三种途径
从一个角的顶点引一条射线, 把这个角分成两个相等的角, 这条射线叫做这个角的平分 线.几何学习中,关于角平分线的证明问题屡见不鲜.解答它们,既可以根据定义,又可以利 用角平分线的判定定理,还可以借助等腰三角形的性质. 一、考虑要证明的角平分线把角分成两个相等的角,根据定义证明 例 1. 如图,E 、F 分别为△ABC 的边 AB 及边 CA 的延长线上的点,且 AE=AF,AD∥EF. 求证:AD 平分∠BAC.
F A E
1 2

B

D

C

简析:要证明 AD 平分∠BAC,只要证明∠1=∠2. 证明:在△AEF 中, 因为 AE=AF, 所以∠AEF=∠F. 因为 AD∥EF, 所以∠1=∠AEF,∠2=∠F. 所以∠1=∠2. 所以 AD 平分∠BAC. 二、考虑要证明的角平分线上某一点到角的两边距离相等,利用角平分线的判定定理 证明 例 2. 如图,在△ABC 中,外角∠BCE 和外角∠CBD 的平分线 CF、BF 相交于点 F.求证: AF 平分∠BAC.
D M B F

N A C P E
1

简析:要证明 AF 平分∠BAC,只要证明点 F 到∠BAC 的两边 AB 和 AC 的距离相等. 证明:过 F 作 FM⊥AB 于点 M,FN⊥BC 于点 N,FP⊥AC 于点 P. 因为 BF 平分∠CBD, 所以 FM=FN. 因为 CF 平分∠BCE, 所以 FP=FN. 所以 FM=FP. 所以点 F 到∠BAC 的两边 AB 和 AC 的距离相等. 所以点 F 在∠BAC 的平分线上. 所以 AF 平分∠BAC. 三、考虑要证明的角平分线为等腰三角形底边上的中线或高,借助等腰三角形的性质 证明 例 3. 如图,点 D 是△ABC 的 BC 边的中点,且 DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F,BE=CF. 求证:AD 平分∠BAC.
A

E
1 2

F D C

B

简析:要证明 AD 平分∠BAC,只要证明 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线. 证明:在△ABD 和△ACD 中, 因为 DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F, 所以∠1=90°,∠2=90°. 所以△BDE 和△CDF 都是直角三角形. 因为 BE=CF,BD=CD, 所以△BDE≌△CDF(HL). 所以∠B=∠C, △ABC 是等腰三角形. 所以 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线.
2

所以 AD 平分∠BAC.

3


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