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2012年深圳市高三年级第一次调研考试(理科数学)


绝密★启用前

试卷类型:A

2012 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)
参考公式: 如果事件 A、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A)? P( B); 如果事件 A、 B 相互独立,那么 P( AB) ? P( A)P( B);

2012.2

1 若锥体的

底面积为 S ,高为 h ,则锥体的体积为 V ? Sh . 3

一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一 项是符合题目要求的.
1.若 z ? (1 ? i)i ( i 为虚数单位) ,则 z 的虚部是 A. 1 B. ?1 C. i D. ?i 2.已知 b , c 是平面 ? 内的两条直线,则“直线 a ? ? ”是“直线 a ? b ,直线 a ? c ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知直线 l : x tan ? ? y ? 3tan ? ? 0 的斜率为 2 ,在 y 轴上的截距为 1,则 tan(? ? ? ) ? 7 7 A. ? B. 开始 3 3 5 C. D. 1 7 输入函数 f ( x)
x 4.执行图 1 的程序框图,如果依次输入函数: f ( x) ? 3 、 f ( x) ? sin x 、

f ( x) ? x3 、 f ( x) ? x ?
A. 3
x

1 ,那么输出的函数 f ( x ) 为 x

对任意实数 x 及任意 正数 m ,均有 f ( x) ? f (? x) ? 0,
f ( x ? m) ? f ( x)

_ 否

B. sin x C. x
3

是 输出函数 f ( x) 结束

1 D. x ? x

?1, x ? 0 图1 ? 2 5.已知符号函数 sgn( x) ? ?0, x ? 0 ,则函数 f ( x) ? sgn(ln x) ? ln x 的零点个数为 ? ?1, x ? 0 ?
A. 4 B. 3 C. 2 D.1

1

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 6.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 ,若目标函数 z ? y ? ax 仅在点 (?3,0) 处取到最大值,则 . ? y ?1 ? 0 ?
实数 a 的取值范围为 A. (3, 5) B. ( , ? ?)

1 2

C. (?1, 2)

D. ( , 1)

1 3

7. 2012 ”含有数字 0, 1, 2 ,且有两个数字 2.则含有数字 0, 1, 2 ,且有两个相同数字的四位数的个数 “ 为 A. 18 B. 24 C. 27 D. 36

8.设 S 是实数集 R 的非空子集,如果 ?a , b ? S , 有 a ? b ? S , a ? b ? S ,则称 S 是一个“和谐集” .下面 命题为假命题的是 ... A.存在有限集 S , S 是一个“和谐集” B.对任意无理数 a ,集合 x x ? ka, k ? Z 都是“和谐集” C.若 S1 ? S 2 ,且 S1 , S2 均是“和谐集” ,则 S1 ? S2 ? ? D.对任意两个“和谐集” S1 , S2 ,若 S1 ? R , S2 ? R ,则 S1 ? S2 ? R

?

?

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分为必做题和选 做题两部分.
(一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.
π 4 0

?

cos xdx ?



10.某中学组织了“迎新杯”知识竞赛,从参加考试的学生中抽出 0.030 频率/组距 若干名学生,并将其成绩绘制成频率分布直方图(如图 2) ,其 0.025 中成绩的范围是[50,100],样本数据分组为[50,60) ,[60,
0.020 0.015

70),[70,80),[80,90),[90,100],已知样本中成绩小于 0.010 70 分的个数是 36,则样本中成绩在 [60, 90) 内的学生人数 为 .
2

50 60 70 80 90 100分数 图2

11.已知抛物线 y ? 8x 的准线 l 与双曲线 C : 双曲线 C 的离心率 e ? .

x2 ? y 2 ? 1 相切,则 2 a

12.已知等比数列 {an } 的第 5 项是二项式 ? x ?

? ?

1 ? ? 展开式的常数项,则 a3a7 ? 3x ?

6



13.如图 3 所示的几何体中,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD ? 平面 ABE , D 已知 AB ? 2 , AE ? BE ? 3 ,且当规定主(正)视

C
M

2 方向垂直平面 ABCD 时,该几何体的左(侧)视图的面积为 .若 2
M 、 N 分别是线段 DE 、 CE 上的动点,则 AM ? MN ? NB 的最小值
2

N
A E
图3

B





(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分. 14 . 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 点 P (1 , (

π ) 到曲线 2

B C D
图4

π 3 l : ? c o ? (? ?) s 4 2

2 上的点的最短距离为

. O A

15. (几何证明选讲选做题) 如图 4,A , B 是圆 O 上的两点, OA ? OB ,OA ? 2 , 且

C 为 OA 的中点,连接 BC 并延长交圆 O 于点 D ,则 CD ?



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, ? (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)已知横坐标分别为 ? 1 、1 、5 的三点 M 、 N 、 P 都在函数 f ( x ) 的图像上,求 sin ?MNP 的值.
y

π π ?? ? ) ,其部分图像如图 5 所示. 2 2

1
?2 ?1 0 ?1

1
图5

2

3

4

5

6 x

17. (本小题满分 13 分) 随机调查某社区 80 个人,以研究这一社区居民在 20 : 00 ? 22 : 00 时间段的休闲方式与性别的关 系,得到下面的数据表: 休闲方式 性别 男 女 合计 看电视 看书 合计

10
10 20

50
10 60

60
20 80

(1)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查 3 名在该社区的男性,设调查的 3 人在这一时间段 以看书为休闲方式的人数为随机变量 X ,求 X 的分布列和期望;
3

(2)根据以上数据,能否有 99 %的把握认为“在 20 : 00 ? 22 : 00 时间段的休闲方式与性别有关 系”? 参考公式: K 2 ? 参考数据:

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k0 )
k0

0.15

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

2.072

18. (本小题满分 13 分) 如图 6,平行四边形 ABCD 中, AB ? BD , AB ? 2 , BD ? 2 ,沿 BD 将 ?BCD 折起,使二面角

A ? BD ? C 是大小为锐角 ? 的二面角,设 C 在平面 ABD 上的射影为 O .
(1)当 ? 为何值时,三棱锥 C ? OAD 的体积最大?最大值为多少? (2)当 AD ? BC 时,求 ? 的大小. C D C O A B 图6 A B

D

4

19. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T : 2 a b 2 ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N .
如图 7,已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M ,N 的任意一点,且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点 R, S , O 为坐 标原点,求证: OR ? OS 为定值.
y P M R T N S O x

???? ??? ?

图7

20.(本小题满分 14 分)

1 3 x ? bx 2 ? cx ? d , 设曲线 y ? f (x) 在与 x 轴交点处的切线为 y ? 4 x ? 12 ,f ?( x ) 3 为 f ( x ) 的导函数,满足 f ?(2 ? x) ? f ?( x) .
已知函数 f ( x ) ? (1)求 f ( x ) ; (2)设 g ( x) ? x f ?( x) , m ? 0 ,求函数 g ( x) 在 [0, m] 上的最大值; (3)设 h( x) ? ln f ?( x) ,若对一切 x ? [0, 1] ,不等式 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 恒成立,求实数 t 的取 值范围.

5

21.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ?

a 1 , n ? N* (其中 e 为自然对数的底数) , an ?1 ? n n . 2 e an ? e
2 n , Tn ? e? n . n ?1

(1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)设 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , Tn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ,求证: S n ?

6

2012 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比 照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影 响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 1 A 2 A 3 D 4 C 5 C 6 B 7 B 8 D

二、填空题:本大题每小题 5 分,满分 30 分. 9.

2 ; 2

10. 90 ; 14. 2 2 ;

11.

5 ; 2
3 5. 5

12.

25 ; 9

13. 3 ;

15.

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, ? (1) 求函数 f ( x ) 的解析式;
y

π π ?? ? ) ,其部分图像如图所示. 2 2

(2) 已知横坐标分别为 ? 1 、 1 、 5 的三点 M 、

1 -2 -1 O -1 1 2 3 4 5 6

N 、 P 都在函数 f ( x) 的图像上,求
sin ?MNP 的值.
解: (1)由图可知, A ? 1 , 最小正周期 T ? 4 ? 2 ? 8, 所以 T ?

x

?????????????????????1 分



?

? 8,? ?

π . 4

?????????????3 分

π π π ? ? ) ? 1 ,且 ? ? ? ? 4 2 2 π π 3π π π π 所以 ? ? ? ? ? , ? ? ? ,? ? . ???????5 分 4 4 4 4 2 4 π 所以 f ( x) ? sin ( x ? 1) . ????????6 分 4 π π (2) 解法一: 因为 f (?1) ? sin (?1 ? 1) ? 0, f (1) ? sin (1 ? 1) ? 1, 4 4 π f (5) ? sin (5 ? 1) ? ?1 , 4
又 f (1) ? sin(
7

所以 M (?1,0), N (1,1), P(5, ?1) ,

??????????????????8 分

MN ? 5, MP ? 37, PN ? 20 ,
从而 cos ?MNP ?

5 ? 20 ? 37 3 ? ? , ??????????????????10 分 5 2 5 ? 20
2

由 ?MNP ??0, π? ,得 sin ?MNP ? 1 ? cos ?MNP ? 解法二: 因为 f (?1) ? sin

4 . 5

???????12 分

π π ( ?1 ?1) ? 0, f (1) ? sin (1 ?1) ?1, 4 4

π f (5) ? sin (5 ? 1) ? ?1 , 4
所以 M (?1,0), N (1,1), P(5, ?1) , ??????????????????8 分

???? ??? ? ? ???? ? ??? ? NM ? (?2, ?1), NP ? (4, ? 2) , NM ? NP ? ?6 ,
???? ? ??? ? NM ? 5, NP ? 20 ? 2 5 ,

???? ??? ? ? NM ? NP ?6 3 则 cos ?MNP ? ???? ??? ? ?? . ? ? 5 5?2 5 NM ? NP
由 ?MNP ??0, π? ,得 sin ?MNP ? 1 ? cos ?MNP ?
2

?????????10 分

4 . 5

?????12 分

【说明】 本小题主要考查了三角函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的图象与性质,以及余弦定理,同角三角 函数关系式,平面向量的数量积等基础知识,考查了简单的数学运算能力. 17. (本小题满分 13 分) 随机调查某社区 80 个人,以研究这一社区居民在 20 : 00 ? 22 : 00 时间段的休闲方式与性别的关 系,得到下面的数据表: 性别 休闲方式 看电视 看书 合计 男 女

合计 (1)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查 3 名在该社区的男性,设调查的 3 人在这一时间段以 看书为休闲方式的人数为随机变量 X ,求 X 的分布列和期望; (2)根据以上数据,能否有 99 %的把握认为“在 20 : 00 ? 22 : 00 时间段的休闲方式与性别有关 系”? 参考公式: K 2 ? 参考数据:

10 10 20

50 10 60

60 20 80

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010

P( K 2 ? k0 )
k0

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 解: (1)依题意,随机变量 X 的取值为: 0 ,1 , 2 ,3 ,且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率
8

为p?

5 . 6
0

????????????????2 分

方法一: P ( X ? 0) ? C 3 ( ) ?

? X 的分布列为: X
P

1 3 1 5 1 1 2 5 , P ( X ? 1) ? C 3 ( ) ( ) ? , 6 216 6 6 72 1 5 25 125 3 5 3 P( X ? 2) ? C32 ( )( ) 2 ? , P ( X ? 3) ? C 3 ( ) ? . ?????6 分 6 6 72 6 216
0 1 2 3

5 1 25 125 72 216 72 216 1 5 25 125 5 ? EX ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? . ???????????8 分 216 72 72 216 2 5 方法二:根据题意可得 X ~ B (3, ) , ??????????????4 分 6 1 5 ? P ( X ? k ) ? C 3k ( ) 3? k ( ) k , k ? 0, 1, 2, 3 . ??????????????6 分 6 6 5 5 ????????????????8 分 ? EX ? np ? 3 ? ? . 6 2 (2) 提出假设 H 0 :休闲方式与性别无关系. 根据样本提供的 2 ? 2 列联表得 n(ad ? bc)2 80 ? (10 ?10 ? 10 ? 50) 2 80 k? ? ? ? 8.889 ? 6.635 . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 20 ? 20 ? 60 9 2 因 为 当 H 0 成 立 时 , K ? 6.635 的 概 率 约 为 0.01 , 所 以 我 们 有 99 % 的 把 握 认 为 “ 在 20 : 00 ? 22 : 00 时间段性别与休闲方式有关” . ?????????13 分
【说明】本题主要考察读图表、随机事件的概率、二项分布以及数学期望、独立性检验等基础知识, 考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力和应用意识. 18. (本小题满分 13 分) 如图,平行四边形 ABCD 中, AB ? BD , AB ? 2 , BD ? 2 ,沿 BD 将 ?BCD 折起,使二面角

A ? BD ? C 是大小为锐角 ? 的二面角,设 C 在平面 ABD 上的射影为 O . (1)当 ? 为何值时,三棱锥 C ? OAD 的体积最大?最大值为多少? C (2)当 AD ? BC 时,求 ? 的大小.
D C O A B A B D

解: (1)由题知 OD 为 CD 在平面 ABD 上的射影, ∵ BD ? CD , CO ? 平面 ABD ,∴ BD ? OD , ∴ ?ODC ? ? ,

?????????2 分

1 1 1 VC ? AOD ? S ?AOD ? OC ? ? ? OD ? BD ? OC 3 3 2

9

2 2 ? OD ? OC ? ? CD ? sin ? ? CD ? cos ? 6 6 2 2 , ? ? sin 2? ≤ 3 3 当且仅当 sin 2? ? 1 ,即 ? ? 45? 时取等号, ?
∴当 ? ? 45? 时,三棱锥 O ? ACD 的体积最大,最大值为 (2)(法一)连接 OB , ????????7 分 ∵ CO ? 平面 ABD , AD ? BC , ∴ AD ? 平面 BOC , ∴ AD ? OB , ?????????9 分 ∴ ?OBD ? ?ADB ? 90? , 故 ?OBD ? ?DAB , ∴ Rt ?ABD ∽ Rt ?BDO , ??????11 分

??????4 分 ????????5 分

2 . 3

????6 分 C

O

D

OD BD ? ∴ , BD AB
B ???????????????????12 分 z C OD 1 ? ,得 ? ? 60? .???????13 分 在 Rt ?COD 中, cos ? ?

BD2 ( 2)2 ∴ OD ? ? ?1, AB 2

A

CD 2 (法二) 过 O 作 OE ? AB 于 E ,则 OEBD 为矩形, 以 O 为原点, OE , OD , OC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则 O(0, 0, 0), D(0, 2 cos? , 0), A( 2, 2 cos? ? 2, 0) ,

O

D y

B( 2, 2 cos? , 0),C(0, 0, 2 sin ? ) , ???9 分

A x

E

B ?????10 分

于是 AD ? (? 2 , 2, 0) , BC ? (? 2, ? 2 cos? , 2 sin ? ) , 由 AD ? BC ,得 AD ? BC ? 0 , ∴ (? 2 ) ? (? 2 ) ? 2 ? (?2 cos? ) ? 0 ? 2 sin ? ? 0 , 得 cos ? ?

????????12 分 ????????????13 分

1 ,又 ? 为锐角,∴ ? ? 60? . 2

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,棱锥的体积、二面角及三角函数等基础知识,考查空 间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力. 19. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 3 如图,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T : a b 2

( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N .
(1)求椭圆 C 的方程;
10

(2)求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点,且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点 R, S ,O 为坐标原
y

???? ??? ?

点,求证: OR ? OS 为定值.
M

P

解: (1)依题意,得 a ? 2 , e ?

c 3 , R ? a 2

T N

S

O

x

? c ? 3, b ? a ? c ? 1 ;
2 2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4

???????????????3 分

(2)方法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x1 ,? y1 ) , 不妨设 y1 ? 0 . 由于点 M 在椭圆 C 上,所以 y1 ? 1 ?
2

x1 . 4

2

(*)

????????4 分

由已知 T (?2, 0) ,则 TM ? ( x1 ? 2, y1 ) , TN ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ,

?TM ? TN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? ( x1 ? 2) ? y1
2

2

x 5 2 ? ( x1 ? 2) ? (1 ? 1 ) ? x1 ? 4 x1 ? 3 4 4
2

2

5 8 1 ( x1 ? ) 2 ? . ??????????????6 分 4 5 5 ???? ??? ? 8 1 由于 ? 2 ? x1 ? 2 ,故当 x1 ? ? 时, TM ? TN 取得最小值为 ? . 5 5 3 13 8 3 2 由(*)式, y1 ? ,故 M ( ? , ) ,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r ? . 5 25 5 5 13 2 2 故圆 T 的方程为: ( x ? 2) ? y ? . ????????8 分 25 ?
方法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,故设 M (2cos ? ,sin ? ), N (2cos ? , ? sin ? ) , 不妨设 sin ? ? 0 ,由已知 T (?2, 0) ,则

TM ?TN ? (2 cos? ? 2, sin ? ) ? (2 cos? ? 2, ? sin ? )

2 ? (2 c o ? ? 2) 2 ? s i n ? ? 5 c o 2 ? ? 8 c o ? ? 3 s s s

4 1 ? 5(cos ? ? ) 2 ? . ????????????????????6 分 5 5 ???? ??? ? 1 4 8 3 故当 cos ? ? ? 时, TM ? TN 取得最小值为 ? ,此时 M ( ? , ) , 5 5 5 5 13 2 又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r ? . 25 13 2 2 故圆 T 的方程为: ( x ? 2) ? y ? . ????????8 分 25
11

(3) 方法一:设 P( x0 , y0 ) ,则直线 MP 的方程为: y ? y 0 ?

y 0 ? y1 ( x ? x0 ) , x0 ? x1
????????10 分

令 y ? 0 ,得 x R ?
2 2

x1 y 0 ? x0 y1 x y ? x0 y1 , 同理: x S ? 1 0 , y 0 ? y1 y 0 ? y1
2 2

故 xR ? xS ?

x1 y0 ? x0 y1 y0 ? y1
2 2

(**)

????????11 分

又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x0 ? 4(1 ? y0 ) , x1 ? 4(1 ? y1 ) ,????????12 分
2 2
2 2

代入(**)式,得:

xR ? xS ?

4(1 ? y1 ) y 0 ? 4(1 ? y 0 ) y1
2 2 2

2

y 0 ? y1
2

2

?

4( y 0 ? y1 )
2 2

y 0 ? y1
2

2

?4.
????????14 分

所以 OR ? OS ? xR ? xS ? xR ? xS ? 4 为定值.

方 法 二 : 设 M (2cos ? ,sin ? ), N (2cos ? , ? sin ? ) , 不 妨 设 sin ? ? 0 , P(2 cos? , sin ? ) , 其 中

sin ? ? ? sin ? .则直线 MP 的方程为: y ? sin ? ?

2(sin ? cos ? ? cos ? sin ? ) , sin ? ? sin ? 2(sin ? cos ? ? cos ? sin ? ) 同理: x S ? , sin ? ? sin ?
令 y ? 0 ,得 x R ? 故 xR ? xS ?

sin ? ? sin ? ( x ? 2 cos ? ) , 2 cos ? ? 2 cos ?

??????????12 分

4(sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? sin 2 ? ) 4(sin 2 ? ? sin 2 ? ) ? ? 4. sin 2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ?
????????14 分

所以 OR ? OS ? xR ? xS ? xR ? xS ? 4 为定值.

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、圆的方程、向量、圆与椭圆的位置关系、直 线方程等基础知识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查数 形结合思想、化归与转化思想. 20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 3 x ? bx 2 ? cx ? d ,设曲线 y ? f (x) 在与 x 轴交点处的切线为 y ? 4 x ? 12 , 3

f ?( x ) 为 f ( x) 的导函数,满足 f ?(2 ? x) ? f ?( x) .
(1)求 f ( x ) ; (2)设 g ( x) ? x f ?( x) , m ? 0 ,求函数 g ( x) 在 [0, m] 上的最大值; (3)设 h( x) ? ln f ?( x) ,若对一切 x ? [0, 1] ,不等式 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 恒成立,求实数 t 的取值范 围. 解: (1) f ?( x) ? x ? 2bx ? c ,
2

????????????1 分
12

? f ?(2 ? x) ? f ?( x) ,? 函数 y ? f ?( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 b ? ?1 .??2 分 ? 直线 y ? 4 x ? 12 与 x 轴的交点为 (3, 0) , ? f (3) ? 0 ,且 f ?(3) ? 4 ,
即 9 ? 9b ? 3c ? d ? 0 ,且 9 ? 6b ? c ? 4 , 解得 c ? 1 , d ? ?3 . ????????????????4 分 ????????????????5 分

1 3 x ? x2 ? x ? 3 . 3 (2) f ?( x) ? x2 ? 2 x ? 1 ? ( x ?1)2 ,
则 f ( x) ?

? x 2 ? x, x ? 1, ? g ( x) ? x ( x ? 1) ? x x ? 1 ? ? 2 ? x ? x , x ? 1. ?
2

???????????????7 分

其图像如图所示. 当x ?x?
2

y

1 1? 2 时, x ? ,根据图像得: 4 2

2 1 ?1

1 2 (ⅰ)当 0 ? m ? 时, g ( x) 最大值为 m ? m ; 2
(ⅱ)当

O

1

1? 2 2

1 1 1? 2 时, g ( x) 最大值为 ; ?m? 4 2 2

2 x

(ⅲ)当 m ?

1? 2 2 时, g ( x) 最大值为 m ? m . 2
2

?????????????10 分

(3)方法一: h( x) ? ln( x ?1) ? 2ln x ?1 ,

h( x ?1? t ) ? 2ln x ? t , h(2x ? 2) ? 2ln 2x ?1 ,
? 当 x ? [0, 1] 时, 2x ?1 ? 2x ?1 , ? 不等式 2ln x ? t ? 2ln 2x ?1 恒成立等价于 x ? t ? 2x ? 1 且 x ? t 恒成立,
由 x ? t ? 2x ? 1 恒成立,得 ? x ? 1 ? t ? 3 x ? 1 恒成立,

? 当 x ? [0, 1] 时, 3x ? 1? [1, 4] , ? x ? 1? [?2, ?1] , ? ? 1 ? t ? 1,
?????????????????12 分

又? 当 x ? [0, 1] 时,由 x ? t 恒成立,得 t ?[0,1] , 因此,实数 t 的取值范围是 ?1 ? t ? 0 . ?????????????14 分

方法二: (数形结合法)作出函数 y ? 2 x ? 1, x ? [0, 1] 的图像,其图像为线段 AB (如图) ,

y

? y ? x ? t 的图像过点 A 时, t ? ?1 或 t ? 1 ,
13

4B 3 2 A 1 ? 2 ?1O 1 2 3 4 x

? 要使不等式 x ? t ? 2x ? 1 对 x ? [0, 1] 恒成立,
必须 ?1 ? t ? 1, ?????????????12 分

又? 当函数 h( x ? 1 ? t ) 有意义时, x ? t ,

? 当 x ? [0, 1] 时,由 x ? t 恒成立,得 t ?[0,1] ,
因此,实数 t 的取值范围是 ?1 ? t ? 0 . ?????????????14 分

方法三:? h( x) ? ln( x ?1)2 , h( x) 的定义域是 {x x ? 1} ,

? 要使 h( x ? 1 ? t ) 恒有意义,必须 t ? x 恒成立, ? x ? [0, 1] ,?t ?[0,1] ,即 t ? 0 或 t ? 1 . ??????①
由 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 得 ( x ? t )2 ? (2 x ? 1)2 , 即 3x2 ? (4 ? 2t ) x ? 1 ? t 2 ? 0 对 x ? [0, 1] 恒成立, 令 ? ( x) ? 3x2 ? (4 ? 2t ) x ? 1 ? t 2 , ? ( x) 的对称轴为 x ? ? ???????12 分

2?t , 3

2?t ? ? 2?t ? 2?t ? 1, ? 0, ?0 ? ? ? 1, ?? ?? 则有 ? 或? 或? 3 3 3 ?? (0) ? 0 ?? ? (4 ? 2t )2 ? 4 ? 3 ? (1 ? t 2 ) ? 0 ?? (1) ? 0 ? ? ?
解得 ?1 ? t ? 1. ??????② 综合①、②,实数 t 的取值范围是 ?1 ? t ? 0 . ?????????????14 分 【说明】本题主要考查函数导数运算法则、导数的几何意义、二次函数和分段函数的图像及其性质的 运用、不等式的求解与证明等基础知识,考查分类讨论思想和数形结合思想,考查考生的计算推理能力及 分析问题、解决问题的能力和创新意识. 21.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ?

a 1 , n ? N* (其中 e 为自然对数的底数) , an ?1 ? n n . 2 e an ? e
2 n , Tn ? e? n . n ?1

(1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)设 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , Tn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ,求证: S n ? 解: (1)? an ?1 ?
n

an , e an ? e 1 e 1 1 ?????????????3 分 ? ? ? en ,即 n ? n?1 ? 1 . an ?1 an e an?1 e an 1 1 令 bn ? n ?1 ,则 bn?1 ? bn ? 1, b1 ? ? 2, e an a1 因此,数列 {bn } 是首项为 2 ,公差为 1 的等差数列. ?????????????5 分 bn ? 2 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 , 1 1 . ?????????????6 分 ? an ? ? n ?1 bn e (n ? 1)en?1
14

(2) (方法一)先证明当 n ? N* 时, en?1 ? n . 设 f ( x) ? ex?1 ? x, x ?[1, ??) ,则 f ?( x) ? ex?1 ?1 ,

? 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , ? f (x) 在 (1,??) 上是增函数,则当 x ? 1 时, f ( x) ? f( ) 0 ,即 e x?1 ? x .???8 分 1 ? 1 1 1 1 因此,当 n ? N* 时, en?1 ? n , an ? , ????9 分 ? ? ? n ?1 (n ? 1)e (n ? 1)n n n ? 1 1 1 当 n ? N* 时, n ? 1 ? e n , an ? ? n n ?1 ? e? (2 n ?1) . ???????10 分 n ?1 (n ? 1)e e ?e 1 1 1 1 1 1 n ? S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? . 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
??????????12 分

? Tn ? a1 ? a2 ? a3 ?? ? an ? e ? e ? e ?? ? e
(方法二)数学归纳法证明

?1

?3

?5

? (2 n ?1)

?e

?[1? 3? 5 ??? 2 n ?1)] (

? e? n .
2

?????????14 分

1 n n 1 ? ,? 当 n ? 1 时, S n ? 成立; , 2 n ?1 2 n ?1 2 1 1 ? T1 ? a1 ? , e ? n ? , 2 e 1 1 又? e ? 2 ,? ? , 2 e 2 ?????????????????8 分 ? 当 n ? 1 时, Tn ? e? n 成立. k ?k2 (2)设 n ? k 时命题成立,即 S k ? , Tk ? e , k ?1 k 1 ? 当 n ? k ? 1 时, Sk ?1 ? Sk ? ak ?1 ? , k ? 1 (k ? 2)ek k ?1 k 1 k ?1 要证 S k ?1 ? ? ? , 即证 , k k?2 k ? 1 (k ? 2)e k ?2 k ??????????9 分 化简,即证 e ? k ? 1 . x x 设 f ( x) ? e ? x ?1, x ? 0, ??) ,则 f ?( x) ? e ?1 , ( x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , ?当 ? f (x) 在 (0,??) 上是增函数,则当 x ? 0 时, f ( x) ? f(0) 0 ,即 e x ? x ? 1 . ? n k 因此,不等式 e ? k ? 1 成立,即当 n ? k ? 1 时 S n ? 成立. ???????11 分 n ?1
(1)? S1 ? a1 ? 当 n ? k ? 1 时, Tk ?1 ? Tk ? ak ?1 ? e
2

?k 2

1 e? k ?k ? ? , (k ? 2)ek k ? 2
2

要证 Tk ?1 ? e? ( k ?1) , 即证
2

化简,即证 ek ?1 ? k ? 2 . 根据前面的证明,不等式 e

2 e? k ? k ? e? ( k ?1) , k ?2

? k ? 2 成立,则 n ? k ? 1 时 Tn ? e? n 成立. 2 n * 由数学归纳法可知,当 n ? N 时,不等式 S n ? , Tn ? e? n 成立.?????14 分 n ?1
k ?1
2

【说明】考查了数列的递推公式的处理、等差数列的通项公式、数学归纳法等知识,考查学生的构造 数列和函数解决问题的意识,考查了学生变形的能力,化归与转化的思想以及创新意识.

15


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