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数学:1.5《函数y=Asin(wx+@)的图象》学案(新人教A版必修4)


? §1.5 函 数 y ? A sin( ? ? ) 的图象
编者:刘桂勇 【学习目标、细解考纲】
1.会用 “五点法”作出函数 y ? Asm(wx ? ? ) 以及函数 y ? A cos(wx ? ? ) 的图象的图 象。
( 2.理解 ?、W、A 对函数 y ? A sin wx ? ? ) 的图象的影响.

3.能够将

y ? sin x 的图象变换到 y ? A sin(wx ? ? ) 的图象. 4.会根据条件求解析式.

【知识梳理、又基再现】
( 1.函数 y ? sin x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 )的图象,可以看作是正弦曲线上所有

的点_________(当 ? >0 时)或______________(当 ? <0 时)平行移动 ? 个单位长度而 得到. 2.函数 y ? sin?x, x ? R (其中 ? >0 且 ? ? 1 )的图象,可以看作是把正弦曲线 上 所有点的横坐标______________(当 ? >1 时)或______________(当 0< ? <1 时)到原
1 来的 倍(纵坐标不变)而得到. ? 3.函数 y ? A sin x, x ? R( A >0 且 A ? 1)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有点的

纵坐标___________(当 A>1 时)或__________(当 0<A<1)到原来的 A 倍(横坐标不 变)而得到的,函数 y=Asinx 的值域为______________.最大值为______________,最小 值为______________.
? 4. 函数 y ? A sin( x ? ? ), x ? R 其中的(A>0, ? >0)的图象,可以看作用下面的方

法得到:先把正弦曲线上所有的点___________(当 ? >0 时)或___________(当 ? <0 时)平行移动 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标____________(当 ? >1 时)或 ____________(当 0< ? <1)到原来的1 倍(纵坐标不变) ,再把所得各点的纵横坐标 ? ____________(当 A>1 时)或_________(当 0<A<1 时到原来的 A 倍(横坐标不变)而 得到.

【小试身手、轻松过关】
1.将函数 y=sinx 的图象向左平移 ? 个单位,再向上平移 2 个单位,得到的图象
4

的函数解析式是( A. y ? sin(x ?

).

?
4

)?2

? B. y ? sin(x ? ) ? 2

C. y ? sin(x ? ) ? 2 D. y ? sin(x ? ) ? 2
? 2.要得到 y ? 3 sin(2 x ? ) 的图象,只需将 y=3sin2x 的图象(
4

?

4

?

4

).

A. 向左平移 B. 向右平移

? 个单位 4

? 个单位 4

4

C. 向左平移 ? 个单位
8 D. 向右平移 ? 个单位 8

3.把 y=sinx 的图象上各点向右平移? 个单位,再把横坐标缩小到原来的一半,
3

纵坐标扩大到原来的 4 倍,则所得的图象的解析式是( A. y ? 4 sin( 1 x ? ? ) B. y ? 4 sin(2x ? ? )

).

2

3

3 1 C. y ? 4 sin( x ? ? ) 2 3

D. y ? 4 sin(2x ? ? )
3

? 4.已知函数 y ? A sin( x ? ? )( A >0, ? >0)在同一个周期内的图象如图,则它的振幅、

周期、初相各是(

).
?
2

A. A=2,T=2 ? , ? ? ? B. A=2,T=3 ? , ? ? C. A=2,T=2 ? , ? ?

? ?
2 2

D. A=2, T=3 ? , ? ? ?

?
2

? 5.已知函数 y ? ?sin( x+?) ,在一个周期内,当 x ?
x? 7? 时取得最小值-2,那么( 12 A. y ? 1 sin(x? ? ) 2 3

?
12

时,取得最大值 2,当

).

B.

y ? 2sin(2x?

?

C. y ? 2sin(2x? ? )
6

3

)

D. y ? 2sin(x ? ? )
? 6.将函数 y ? sin(?x) 的图象向右平移 个单位,所得到的函数图象的解析式是
2 6 3

____________________;将函数 y ? cos(?2x) 的图象向左平移 ? 个单位,所得到的函数图
6

象的解析是____________________.

【基础训练、锋芒初显】
? 1.若将某正弦函数的图象向右平移 以后,所得到的图象的函数式是
2 y ? sin(x?

?
4

), 则原来的函数表达式为( 3? ) 4 2

).

A. y ? sin(x?

? B. y ? sin(x? ) ? C. y ? sin(x? )
4

D. y ? sin(x ?

?
4

)-

?
4
?
12

? 2.已知函数 y ? Asin( x ? ? ) 在同一周期内,当 x ?

时,y

最大=2,当

x=

7? 时, 12

y 最小=-2,那么函数的解析式为(
? A. y ? 2sin( x ? ) 2
3

).

? B. y ? 2sin(2x - )
6

? C. y ? 2sin(2x ? )
6

? D. y ? 2sin( x ? ) 2
3

3. 已知函数 y ? f(x), 将f(x) 图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后把所得的图形沿着 x 轴向左平移
? 1 个单位,这样得到的曲线与 y ? sinx的图 2 2

象相同,那么已知函数 y ? f(x) 的解析式为( A. f(x) ?

).

1 x ? sin( - ) 2 2 2
2 2

1 ? B. f(x) ? sin(2x ? )

1 x ? C. f(x) ? sin( ? ) 2 2 2 1 ? D. f(x) ? sin(2x - ) 2 2

4.下列命题正确的是( A. y ? cosx的图象向左平移 B. y ? sinx 的图象向右平移

).
?
2 得y ? sinx 的图象

?
2

得y ? cosx 的图象

C. 当 ? <0 时, y ? sinx 向左平移 ? 个单位可得 y ? sin(x? ? ) 的图象
? ? D. y ? sin(2x ? )的图象由y ? sin2x 的图象向左平移 个单位得到
3 3

5.把函数 y ? sinx 的图象向右平移 得到的函数的解析式为( 1 ? A. y ? sin( x - )
2 8 1 ? B. y ? sin( x ? ) 2 8

? 后,再把各点横坐标伸长到原来的 2 倍,所 8

).

? C. y ? sin(2x - )
8

? D. y ? sin(2x - )
4

? 6.函数 y ? 3sin(2x ? ) 的图象,可由函数 y ? sinx 的图象经过下述________变换
3

而得到(

).
? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 3 2 ? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 3 2

A.向右平移 B.向左平移

C. 向右平移 D.向左平移

? 1 个单位,横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标缩小到原来的 6 3

1 ? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标缩小到原来的 2 6 3

? 7.函数 y ? 3sin(2x ? ) 的图象可看作是函数 y ? 3sin2x 的图象,经过如下平移得到
3

的,其中正确的是( ). ? A.向右平移 个单位
3

B.向左平移 C.向右平移

? 个单位 3

? 个单位 6

D.向左平移

? 个单位 6

? 8.如图所示,与函数 y ? Asin( x ? ? ) 的图象相对应的解析式是(

).

A. y ? 2sin( ?
x 2 x 2

x 2

2? ) 3 4? ) 3 2? ) 3 3

B. y ? 2sin( ? C. y ? 2sin( ?

x ? D. y ? 2sin( ? ) 2
1 ? 9. 函 数 y ? 3s i n x - ) 的 周 期 是 _________ , 振 幅 是 __________ , 当 ( 2 4

x=____________________时, y ma x ? __________;当 x=____________________时,
y mi n? __________.

10.函数 y ? sin(2x ?

5? ) 的图象的对称轴方程为____________________. 2

? ? 11.已知函数 y ? Asin( x ? ? ) (A>0, >0, ? ? ? ) 0< 的两个邻近的最值点为 ( ,) ? 2
6

和(

2? , 2) ? ,则这个函数的解析式为____________________. 3

12.函数 f(x) ? 3sin(2x ? 5Q) 的图象关于 y 轴对称, Q 的最小值为________________. 则
? 13.已知函数 y ? Asin( ? ? ) (A>O, ? >0, ? < ? )的最小正周期是
2? ,最小值是-2, 3

且图象经过点(

5? ,) 0 ,求这个函数的解析式. 9

? 14.函数 y ? sinx 的图象可由 y ? cos(2x - ) 的图象经过怎样的变化而得到?
6

【举一反三

能力拓展】

1、函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的最小值为-2,其图象相邻的最高点和最

低点横坐标差是 3? ,又图象过点(0,1) ,求这个函数的解析式.

2、下图为某三角函数图形的一段. (1)用正弦函数写出其解析式.

(2)求与这个函数关于直线 x ? 2? 对称的函数解析式

3、已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b( A ? 0, ? ? 0, b 为常数, | ? |? ? ) 的一段图象如图所示, 求该函数的解析式。

【名师小结

感悟反思】

1、首先弄清由哪个函数图象变到哪个函数图象,其次要清楚 A.?.? 对图象的影响 2、根据条件求解析式一定要注意数形结合.

§1.5 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象
【知识梳理 双基再现】

1、向左;向右 2、缩短;伸长 3、伸长;缩短;[-A,A];A;-A 4、向左;向右;缩短;伸长;伸长;缩短

【小试身手
1、D 2、C

轻松过关】
3、B

4、D 点拨:由题干图可知 A ? 2, T ? 由

2 2 ? 3? ,得 ? ? ,? y ? 2sin( x ? ? ), ? 3 3 3 2 3? ? ? ? ? 0,?? ? ? , 由“五点法”中的第一零点 ( ? , 0),? ? 4 3 4 2
5、B 6、 y ? sin(

2?

9? 3 ? (? ? ) ? 3? , 4 4

?
3

? x)

y ? c o s (x2?

?
3

)

【基础训练
1、A 2、A

锋芒初显】
3、D 4、A 5、A 6、B 7、D 8、C

3 9.4? ; 3; x ? 4k? ? ? (k ? Z ); 3; 2 x ? 4k ? ?
10、

?

2

;?

3

k? ? ? (k ? Z ) 2

11、 y ? 2sin(2 x ?

?
6

)

12、

? 10

13、解: T ?

2? , ? ? 3, A ? 2, y ? sin(3x ? ? ) ? 3 5? 5? ( , 0) ?sin(3 ? ? ?) ? 0 ∵图象过 9 9 ?

2?

即 sin(

5? ? ? ) ? 0 又 | ? |? ? 3

故函数解析式为 y ? 2sin(3 x ? 14、解:? y ? cos( x ?

?
3

).

?
2

) ,即为 y ? sin x

? y ? cos(2 x ? ) 横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,得 y ? cos( x ? ) ,再沿 x 轴向 6 6
右平移

?

?

? ? ? ? 个单位,得 y ? cos( x ? ? ) ,即 y ? cos( x ? ) ? sin x 6 3 2 3

15、解:设 y ? A sin(? x ? ? ) ,

T 5? 3? 2 ? ?? ? ? T ? 3? ,? ? ? , 2 2 2 3 ? 2 2 ? 又 A=5,将最高点 ( ,5) 代入 y ? 5sin( x ? ? ) ,得 y ? 5sin( ? ? ? ) ? 5 所以 4 3 3 4
由图象知

?
6

? ? ? 2 k? ?

?
2

,

? ? ? 2 k? ?

?
3

(k ? Z )

?| ? |? ? ,?? ?

?
3

2 ? ? y ? 5sin( x ? ) 3 3
【举一反三 能力拓展】 T 1 x 1、解:A=2,半周期 ? 3? , T ? 6? , ? ? ,? y ? 2sin( ? ? ). 2 3 3 1 ? ? 又 x ? 0, y ? 1,sin ? ? ,| ? |? ,?? ? 2 2 6 x ? ∴解析式 y ? 2sin( ? ) 3 6 13? ? ? ? 4? , 2、解: (1)该函数的周期 T ? 3 3 2? 1 ? ,又 A=3, 所以 ? ? T 2

所以所给图象是曲线 y ? 3sin

1 ? 1 ? y ? 3sin ( x ? ) ? 3sin( x ? ) . 2 3 2 6 1 ? 设(x,y)为 y ? 3sin( x ? ) 上任意一点,该点关于直线 x ? 2? 对称点应为 (4? ? x, y ) , 2 6 1 ? 1 ? 所为与 y ? 3sin( x ? ) 关于直线 x ? 2? 对称的函数解析式是 y ? ?3sin( x ? ) 2 6 2 6
3、解:由图可知:

x ? 沿 X 辐向右平移 而得到的,于是所求函数的解析式为: 2 3

3?0 3 T ? ? 5 ? , ? ? (? ) ? ? , 2 2 2 2 3 6 5 2? 2? 6 则 T ? ? ?? ? ? ? . 5 3 T ? 5 3 6 6 ? ? 而 x ? ? ? ? (? ) ? ? ? , 5 5 3 2 9 ?? ? ? 10 A?
则函数解析式为

3 6 9 3 y ? sin( x ? ? ) ? . 2 5 10 2


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