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选修2-1简易逻辑复习


常用逻辑用语
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命题的四种形式及其关系 充要条件 常用逻辑用语 简易逻辑 逻辑联结词 简单命题与复合命题

全称量词与存在量词

一、命题的四种形式及其关系 例 1:下列语句中哪些是命题?其中哪些是真命题? (1)“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?” ; (2)“一个数不是正数就是负数” ; (3)“珠海是一个多么美丽的海滨城市啊! ” ; (4)“ x ? y 为有理数,则 x 、 y 也都是有理数” ; (5) “作 ?ABC ∽ ?A 1B 1C1 ”. 例 2: 下列四个命题中真命题有哪几个? ( 1) “若 xy=1,则 x、 y 互为倒数”的逆命题 ( 2) “面积相等的三角形全等”的否命题 2 (3)“若 m≤1,则方程 x -2x+m=0 有实根”的逆否命题 (4)“若 A∩B=B,则 A ? B”的逆否命题 例 3: 写出下述命题逆命题、否命题、逆否命题. (1)若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x , y 全为 0 .

(2)若 a ? b 是偶数,则 a , b 都是偶数.

(3)若 x ? 3 或 x ? 7 ,则 ( x ? 3)( x ? 7) ? 0

练习与提高 1.已知 p:x +mx+1=0 有两个不等的负根,q:方程 4x +4(m-2)x+1=0(m∈R)无实根,求使 p 正确 且 q 正确的 m 的取值范围. 2.判断命题“若 m>0,则方程 x +2x-3m=0 有实数根”的逆否命题的真假.
2 2 2

1

二、充要条件 例(1)在 ?ABC 中, “ sin A ? sin B ”是“ A ? B ”的 A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2) “ x ? 1 ? 2 成立”是“ x( x ? 3) ? 0 成立”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 (3)若 a, b ? R ,则 A. ab ? 0 B. b ? a B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

1 1 ? 3 成立的一个充分不必要的条件是( 3 a b
C. a ? b ? 0 D. ab(a ? b) ? 0



(4)设集合 M ? { y | y ? ln x, x ? 0} , N ? {x | y ? ln x, x ? 0} ,那么“ a ? M ”是“ a ? N ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 练习与提高 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件



x y 2 2.已知条件 p:-1≤x≤10,q:x -4x+4-m ≤0(m>0)不变,若┓p 是┓q 的必要而不充分条件, 如何求实数 m 的取值范围?
2

1 1 1.命题 p:x>0,y<0,命题 q:x>y, > ,则 p 是 q 的什么条件?

三、逻辑联结词 例 1.已知命题 p:6 是 12 的约数,q:6 是 24 的约数,试写出由它们构成的“p∧q”、“p∨q”、 “┒p”形式的命题.

例 2.判断由下列命题构成的 p∨q,p∧q,┓p 形式的命题的真假: (1)p:负数的平方是正数,q:有理数是实数; (2)p:2≤3,q:3<2; (3)p:35 是 5 的倍数,q:41 是 7 的倍数.

练习与提高 1.设命题 p:实数 x 满足 x
2

? ?x -x-6≤0, -4ax+3a <0,其中 a>0,命题 q:实数 x 满足? 2 ?x +2x-8>0. ?
2

2

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)┓ p 是┓q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.
2

四、全称量词与存在量词 例 1:判断下列语句是不是全称命题或者特称命题,如果是,用量词符号表达出来 (1)中国的所有江河都注入太平洋; (2)0 不能作除数; (3)任何一个实数除以 1,仍等于这个实数; (4)每一个向量都有方向;

例 2:判断下列语句是不是命题?如果是,说明其是全称命题还是特称命题: (1)有一个向量 a0,a0 的方向不能确定; (2)存在一个函数 f(x0),使 f(x0)既是奇函数又是偶函数; 2 (3)对任何实数 a,b,c,方程 ax +bx+c=0 都有解; (4)平面外的所有直线中,有一条直线和这个平面垂直吗?

例 3:判断以下命题的真假: (1) ?x ? R, x ? x
2

(2) ?x ? R, x ? x
2

(3) ?x ? Q, x 2 ? 8 ? 0

(4) ?x ? R, x ? 2 ? 0
2

练习与提高 1.用“?”“?”写出下列命题的否定,并判断真假: (1)二次函数的图象是抛物线; (2)直角坐标系中,直线是一次函数的图象; (3)?a,b∈R,方程 ax+b=0 恰有一解.

2.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定: (1)三角形的内角和为 180°; (2)每个二次函数的图象都开口向下; (3)存在一个四边形不是平行四边形.

3

基础巩固训练
1. 下列语句中命题的个数是( ) ① 地球是太阳系的一颗行星; ② 组成一个集合; A.1 B.2

?0? ? N ;③
D. 4

这是一颗大树;④ x ? a ;⑤ 1 ? 1 ? 2 ⑥ 老年人

C.3

2. 设原命题:若 a ? b ? 2 ,则 a , b 中至少有一个不小于 1.则原命题与其逆命题的真假情况是( A.原命题真,逆命题假 C.原命题与逆命题均为真命题 B.原命题假,逆命题真 D.原命题与逆命题均为假命题 )



3. △ABC 中“ cos A ? 2 sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要

2 2 4. 若 a , b 是常数, 则“ a ? 0 且 b ? 4a ? 0 ”是“对任意 x ? R ,有 ax ? bx ? 1 ? 0 ”的 (



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ? ? 5. 条件 p : ? ? ? ,条件 q : f ( x) ? logtan? x 在 (0,??) 内是增函数,则 p 是 q 的 4 2 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.如果命题“p∨q”与命题“┓p”都是真命题,那么( ) A.命题 p 不一定是假命题 B.命题 q 一定为真命题 C.命题 q 不一定是真命题 D.命题 p 与命题 q 的真假相同 2 2 2 2 7.命题 p:a +b <0(a,b∈R);命题 q:a +b ≥0(a,b∈R),则下列结论中正确的是( ) A.“p∨q”为真 B.“p∧q”为真 C.“┓p”为假 D.“┓q”为真 1 2 8.给出两个命题:p:函数 y=x -x-1 有两个不同的零点;q:若 <1,则 x>1,那么在下列四个命题中,

x

真命题是( ) A.┓p)∨q B.p∧q C.(┓p)∧(┓q) D.(┓p)∨(┓q) 9.下列命题中,是正确的全称命题的是( ) 2 2 A.对任意的 a,b∈R,都有 a +b -2a-2b+2<0 B.菱形的两条对角线相等 2 C.?x0∈R, x0=x0 D.对数函数在定义域上是单调函数 10.下列命题的否定是假命题的是( ) A.p:能被 3 整除的整数是奇数;┓p:存在一个能被 3 整除的整数不是奇数 B.p:每一个四边形的四个顶点共圆;┓p:存在一个四边形的四个顶点不共圆 C.p:有的三角形为正三角形;┓p:所有的三角形不都是正三角形 2 2 D.p:?x0∈R,x0+2x0+2≤0;┓p:?x∈R,都有 x +2x+2>0 11. “a+b>4 且 ab>4”是“a>2 且 b>2”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 12.将“x +y ≥2xy”改写成全称命题,下列说法正确的是( ) A. ?x, y ? R ,都有 x ? y ? 2 xy
2 2

B. ?x, y ? R ,都有 x ? y ? 2 xy
2 2

4

C. ?x ? 0, y ? 0 ,都有 x 2 ? y 2 ? 2 xy 13.判断下列命题的真假,其中为真命题的是 A. ?x ? R, x ? 1 ? 0
2

D. ?x ? 0, y ? 0 ,都有 x 2 ? y 2 ? 2 xy

B. ?x ? R, x ? 1 ? 0
2

C. ?x ? R, sin x ? tan x

D. ?x ? R, sin x ? tan x

二、填空题 1.用“或”、“且”、“非”填空,使命题成为真命题: (1)若 x∈A∪B,则 x∈A________x∈B; (2)若 x∈A∩B,则 x∈A________x∈B; (3)若 ab=0,则 a=0________b=0; (4)a,b∈R,若 a>0________b>0,则 ab>0. a b 2.命题“若 a<b,则 2 <2 ”的否命题为________,命题的否定为________. 3.写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定:________. 4. 已知命题 p: | 2x ? 3 |? 1 ,命题 q: log 1 (x 2 ? x ? 5) ? 0 ,则 ?p是?q 的_
2

_条件

三、解答题 1.函数 f ( x) ? lg?

? 2 ? ? 1? 的定义域为集合 A ,函数 g ? x ? ? 1 ? x ? a 的定义域为集合 B . ? x ?1 ?

(1)判定函数 f ? x ? 的奇偶性,并说明理由. (2)问: a ? 2 是 A ? B ? ? 的什么条件并证明你的结论.

2. 已知 p : 1 ?

x ?1 ? 2 , q : ( x ?1 ? m)( x ?1 ? m) ? 0 ( m ? 0) 3

且 q 是 p 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围。

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