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数学自选模块试题选讲


数学自选模块试题 “数学史与不等式选讲”模 块
黄岩中学数学组

数学史与不等式选讲”模块
明确考试内容: (1)均值不等式 (2)柯西不等式 通常以三元形式考查不等式的证明 或求最值

均值不等式
? 不等式结构 a ? b ? c ? 3abc
3 3 3
3

a?b?c abc ? 3

? 等号成立的条件

当且仅当a ? b ? c

例 1. 已知 x, y, z ? 0 ,且 x ? y ? z ? 1 .

1 求证: x ? y ? z ? 9
3 3 3

分析:不等式具有对称性, 易知取等号的条件为

1 x? y?z? 3

1 1 x ?1? ?1? 证明: x ? ? ? ? ?? ? ? 3 ? x ? ? ? 3 3 3 ? 3? ? 3?
3

3

3

1 1 y ?1? ?1? 同理 y ? ? ? ? ?? ? ? 3 ? y ? ? ? 3 3 3 ? 3? ? 3?
3

3

3

1 1 z ?1? ?1? z ? ? ? ? ?? ? ? 3 ? z ? ? ? 3 3 3 ? 3? ? 3?
3

3

3

1 三式相加即得: x ? y ? z ? 9
3 3 3

由柯西不等式,有

( x ? y ? z )(x ? y ? z) ? ( x ? y ? z )
3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

又 ( x ? y ? z )(1 ? 1 ? 1 ) ? ( x ? y ? z) ? 1,

1 ∴x ? y ?z ? 9
3 3 3

例 2. 已知 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。 求S ?
3

?

a (1 ? b) ? b (1 ? c) ? c (1 ? a )
2 3 2 3 2

的最大值.

目标:S ? 2
3

分析: 不等式具有轮换性,易知取等号的条 件为

1 a?b?c? 3

a ? a ? (1 ? b) a (1 ? b) ? a ? a ? (1 ? b) ? 3 (这样可以吗?为什么?)
3 2 3

配系数!

3

4 1 2a ? 2a ? (1 ? b) 1 5a ? c ?3 ? ?3 ? 3 3 4 4

a (1 ? b) ? 2a ? 2a ? (1 ? b) ? 3
2 3

1

练习 1: 已知 a, b, c ? R ,且 abc ? 1 , 求证: (2 ? a)(2 ? b)(2 ? c) ? 27 .
练习 2: 已知 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 .
?

?

abc 1 ? . 求证: bc ? ca ? ab 9

柯西不等式
? 不等式结构:

(a ? a2 ? a3 )(b ? b2 ? b3 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )
2 1 2 2 2 1 2 2

2

?

? ? 本质: m ? (a1 , a2 , a3 ), n ? (b1 , b2 , b3 ) 等式成立的条件:当且仅当 ?a ? a m ?1n ? a1b1 ? aab2 ? a3b3 ? 2 ? 23 ? ? ? ? b1 b m ? nb?| m3| ? | n | 2

例 3.已知 a, b, c ? R 且 a ? b ? c ? 1 .
?

求 (a ? 1) ? 4b ? 9c 的最小值.
2 2 2

看结构,凑系数!
1 2 1 2 2 2 2 【 ( 1 ) ? ( ) ? ( ) 】 (a ? 4 b ? c 【 ) ? 9 1 3 2 1 )2b ? ( 1 )3 c 2 ? ? ? ( 1 )(a ? 1) ? ( 2 3
2



已知 (a ? 1) ? b ? c ? 2

144 从而 (a ? 1) ? 4b ? 9c ? 49
2 2 2

1 )2 ? ( 1 )2 】 (a ? 1)2 ? 4b2 ? 9c2 】 【( ) ?( 【 1 3 2 1 )2b ? ( 1 )3 c 2 ? ? ? ( 1 )(a ? 1) ? ( 2 3
2

当且仅当 a ? 1 ? 2b ? 3c , 1 1 1 2 3 即 a ? 23 , b ? 18 , c ? 7 取等号
49 49 49

例 4.已知 x, y, z ? 0 ,且 x ? y ? z ? 1 .

x y z 求 的最小值 ? ? 1? z 1? x 1? y
分式型:分母和为常数
2 2 2

2

2

2

x y z ( ? ? )[(1 ? z) ? (1 ? x) ? (1 ? y)] 1? z 1? x 1? y ? ( x ? y ? z) ? 1
2

练习 1. 设 a, b, c ? R 且 a ? b ? c ? 3 .

?

a b c ? ? 求 的最小值. b ? 2c c ? 2a a ? 2b
?

2

2

2

练习 2. 已知 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 ,

a b c 3 ? ? ? 求证: 1? b ? c 1? c ? a 1? a ? b 5

练习 3.已知 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 3 .

?

(a ? c) (b ? a) (c ? b) 4 2 ? ? ? (a ? c) 证明: a b c 3 并等号成立时 a, b, c 的值.
2 2 2

a ? b ? c ? 1,

3 ?3?3 5 9?3 5 ,b ? 或 a ? ,b ? 2 4 4

例 5.已知 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 . 求证:

?

1 1 1 3 3 . ? ? ? 2 a? b b? c c? a

结构特点:分式型
分母和非常数,但具有轮换特征

例 6.已知 a, b, c ? R ,且 abc ? 1 ,
?

bc ca ab ? ? 求 的最小值 a(b ? c) b(c ? a) c(a ? b)

2 2

2 2

2 2

结构特点:分式型
分母和非常数,但具有轮换特征


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