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2014届贵州省遵义四中第一学期高三第三次月考数学(理)试题


2014 届贵州省遵义四中第一学期高三第三次月考数学(理)试题 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合 M ? x ? x ? 1? ? 4, x ? R , N ? ??1,0,1, 2,3? ,则 M ? N ? (
2

?

/>
?



A. ?0,1, 2? C. ??1, 0, 2,3? 2.设复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? 2i ,则 z ? ( A. ?1 ? i 3.已知命题 B. ?1 ? i )

B. ??1, 0,1, 2? D. ?0,1, 2,3?

C. 1 ? i

D. 1 ? i )

p :0 ? 3x ?1 ? 8 ,命题 q : log2 x ? 1 ,则 p 是 q 的(

A.充分必要条件 C.既不充分也不必要条件

B.必要而不充分条件 D.充分而不必要条件 )

4.已知 ?a n ?为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 cos(a2 ? a8 ) 的值为( A. ?

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2


D.

3 2

5.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为(

A.3

B.4

C .5

D.6 ) D.4

?? ? ?? ? ?? 6.向量 a 、 b 的夹角为 60? ,且 a ? 1 , b ? 2 ,则 2a ? b 等于(
A.1 B. 2 C .2

7.某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A, B, C 3 门由于上课时间相同,至多选 1 门。若学 校规定每位学生选修 4 门,则每位学生不同的选修方案共有 ( A.15 种 B.60 种 C.150 种 ) D.75 种

8.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )(其中 A ? 0, ? ? 0, ? ? 的图象向右平移

?
2

)的部分图象如图所示,将 f ( x) )

? 个长度单位,所得图象对应的函数解析式为( 3

A. f ( x) ? sin 2 x C. f ( x) ? sin(2 x ? 9.已知 sin ? ? cos? ? A. ?

B. f ( x) ? ? sin 2 x

2? ) 3

D. f ( x) ? sin(2 x ? )

2? ) 3

2 , ? ? (0,π) ,则 tan? (
B. ? 1 C.

2 2

2 2


D.1

10.直线 y ? kx 是曲线 y ? ln x 的切线, 则 k 的值是 ( A. e 11.函数 f ( x) ? B. ?e C.

1 e

D. ?

1 e

1 ? b(a ? 0) 的图像因酷似汉字的“囧”字,而被称为“囧函数”。则方程 x ?a


1 ? x 2 ? 1 的实数根的个数为( x ?1
A.1 B.3

C .2

D.4

12.已知双曲线 E 的中心为原点, P(3,0) 是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两 点,且 AB 的中点为 N (?12, ?15) ,则 E 的方程式为( )

x2 y 2 ? ?1 A. 3 6

x2 y 2 ? ?1 B. 4 5
第Ⅱ卷

x2 y 2 ? ?1 C. 6 3

x2 y 2 ? ?1 D. 5 4

本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根 据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.

?0 (? x

1

2

? 1)dx ?
?? ? ?? ?4?

14.已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin x, 则f ? ?

15.如图 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上, AD ? AC , sin ?BAC ?

2 2 , AB ? 3 2 , 3

AD ? 3 ,则 BD 的长为______________

16.一个四面体所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则此球表面积为 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c .向量 m ? (cos B, cos C ),



??

?? ? ? n ? (b, 2a ? c), 且向量 m 与 n 共线.
(1)求 cos B 的值; (2)若 b ? 3 ,求 ?ABC 的面积的最大值. 18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ? ? 2
2 n ?1

an ?

n ? n ? N ?? . 2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn

? 2nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n .

19. (本小题满分 12 分) 某社区举办防控甲型 H7N9 流感知识有奖问答比赛,甲、乙、丙三人同时回答一道卫生
3 知识题,三人回答正确与错误互不影响。已知甲回答这题正确的概率是 ,甲、丙两人都回 4

答错误的概率是

1 1 ,乙、丙两人都回答正确的概率是 . 12 4

(1)求乙、丙两人各自回答这道题正确的概率; (2)用 ? 表示回答该题正确的人数,求 ? 的分布列和数学期望 E? . 20. (本题满分 12 分) 如图所示的长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,O 为 AC 与 BD 的交点, BB1 ?

2 , M 是线段 B1 D1 的中点.

(1)求证: BM // 平面 D1 AC ; (2)求证: D1O ? 平面 AB1C ; (3)求二面角 B ? AB1 ? C 的大小. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? (1)若 x ?

a2 ? 3 ,g ( x) ? x ? ln x ,其中 a ? 0 。 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 。 x

1 是函数 y ? F ( x) 的极值点,求实数 a 的值; 2 5 恒成立,求实 2

(2)若函数 y ? F ( x) ( x ? ?0, 3? ) 的图象上任意一点处切线的斜率 k ? 数 a 的取值范围; (3)若函数 y ? f ( x) 在 ?1, 2? 上有两个零点,求实数 a 的取值范围。

请考生在第 22、23、24 三 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 为圆 O 直径,直线 CD 与圆 O 相切于 E,AD 垂直于 CD 于 D, BC垂直于

CD于C,EF 垂直AB于F,连接AE, BE.证明:

(1) ?FEB ? ?CEB; (2) EF ? AD ? BC.
2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线 l 上两

点 M , N 的极坐标分别为 (2, 0), (

2 3 ? , ) ,圆 C 的参数方程为 3 2

? ? x ? 2 ? 2 cos ? (? 为参数) ? y ? ? 3 ? 2 sin ? ? ?
(1)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系。 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数

f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 3

(1)求不等式 f ( x) ? 4 的解集; (2)求函数 y ?

f ( x) 的最小值

2014 届贵州省遵义四中第一学期高三第三次月考

数学(理)试题参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 A 3 B 4 A 5 B 6 C 7 D 8 C 9 B 10 C 11 B 12 B

二、填空题: 13.

2 3

14. 0 15. 3

16. 3?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解: (1)由 m // n ,得 b cosC ? (2a ? c) cos B

? b cosC ? c cos B ? 2a cos B
由正弦定理,得 sin B cosC ? sin C cos B ? 2 sin A cos B

? sin A ? 2 sin A cos B
又 sin A ? 0 , ? cos B ? 又 B ? (0, ? ) ? B ?

?
3

1 2

1 a2 ? c2 ? b2 a2 ? c2 ? 3 ? (2) ? cos B ? 2 2ac 2ac
? ac ? a 2 ? c 2 ? 3 ? 2ac ? 3

? ac ? 3
? S ?ABC ? 1 2 ac sin B ? 3 4 ac ? 3 3 4

18.解: (1) a n ?

1 2n 1 2
n

(2) S n ? 2 ? (n ? 2)( )

19.解: (1)记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件 A、B、C, 则 P( A) ?

3 1 ,且 P( A) ? P(C ) ? , 4 12

1分

P( B) ? P(C ) ?

1 , 4

2分

即 [1 ? P( A)] ? [1 ? P(C )] =

1 , 12

3分

P( B) ? P(C ) ?

1 , 4

4分

? P( B) ?
P(C ) ?

3 , 8

5分

2 , 3

6分

(2) ? 的可能取值为 0、1、2、3. 则 P(? ? 0) ? P( A ? B ? C ) ? ? ? ?
1 1 5 4 3 8 5 , 96

7分
7 , 8分 24
15 , 32

P(? ? 1) ? P( A ? B ? C ) ? ( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ?

P(? ? 2) ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P(? ? 3) ? P( A ? B ? C ) ? 3 , 10 分 16

9分

?? 的分布列为

?
P
11 分 ∴ ? 的数学期望 E? = 0 ?

0
5 96

1
7 24

2
15 32

3
3 16

5 7 15 3 43 . ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 96 34 32 16 24

12 分

20.解: (1)连接 D1O,如图, ∵O、M 分别是 BD、B1D1 的中点,BD1D1B 是矩形, ∴四边形 D1OBM 是平行四边形, ∴D1O∥BM. ∵D1O?平面 D1AC,BM?平面 D1AC,∴BM∥平面 D1AC. (2)连接 OB1,∵正方形 ABCD 的边长为 2,BB1= 2 , ∴B1D1=2 2 ,OB1=2,D1O=2, 则 OB12+D1O2=B1D12,∴OB1⊥D1O. ∵在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC⊥BD,AC⊥D1D, ∴AC⊥平面 BDD1B1,又 D1O⊥平面 BDD1B1,

∴AC⊥D1O,又 AC∩OB1=O, ∴D1O⊥平面 AB1C. (3)在平面 ABB1 中过点 B 作 BE⊥AB1 于 E,连接 EC, ∵CB⊥AB,CB⊥BB1, ∴CB⊥平面 ABB1,又 AB1?平面 ABB1, ∴CB⊥AB1,又 BE⊥AB1,且 CB∩BE=B, ∴AB1⊥平面 EBC,而 EC//平面 EBC, ∴AB1⊥EC. ∴∠BEC 是二面角 B-AB1-C 的平面角. 在 Rt△ BEC 中,BE=
2 3 ,BC=2 3

∴tan∠BEC= 3 ,∠BEC=60° , ∴二面角 B-AB1-C 的大小为 60° . 21.解: (1) F ( x) ? 2 x ?

a2 ? ln x ? 3 x

F ' ( x) ? 2 ?

a2 1 ? x2 x

(2) F ' ( ) ? 4 ? 4a 2 ? 0 且 a ? 0

1 2

?a ? 1

对任意的 x ? ?0, 3? 恒成立

? 2a 2 ? ? x 2 ? 2 x 对任意的 x ? ?0, 3? 恒成立

? 2a 2 ? ( ? x 2 ? 2 x ) m a x
而当 x ? 1 时, ? x 2 ? 2 x ? ?( x ? 1) 2 ? 1 取最大值为 1,

? 2a 2 ? 1 ,且 a ? 0 ,? a ?
(3) f ' ( x) ? 1 ?

2 2

a 2 ( x ? a)( x ? a) ? ,且 a ? 0 x2 x2

f ' ( x) ? 0 ? x ? ? a ; f ' ( x) ? 0 ? x ? a 或 x ? ?a ; f ' ( x) ? 0 ? ? a ? x ? a

? y ? f ( x) 在 (??, ? a) 和 (a, ? ?) 上递增;而在 (?a, a) 上递减。

当1 ? x ? 2 时

i) 0 ? a ? 1 ,则 y ? f ( x) 在 ?1, 2? 上递增, y ? f ( x) 在 ?1, 2? 上不可能有两个零点。 ii) 1 ? a ? 2 ,则 y ? f ( x) 在 ?1, a ? 上递减,而在 ?a, 2? 上递增。

? y ? f ( x) 在 ?1, 2? 上有极小值(也就是最小值) f (a) ? 2a ? 3
而 f (1) ? a 2 ? 2,f (2) ?

a2 ?1 2

? f (1) ? 0 ? ? ? f ( 2) ? 0 ? f (a) ? 0 ?

? 2 ?a?

3 2

? 2 ?a?

3 时, y ? f ( x) 在 ?1, 2? 上有两个零点。 2

iii) a ? 2 ,则 y ? f ( x) 在 ?1, 2? 上递减, y ? f ( x) 在 ?1, 2? 上不可能有两个零点。 综上所述: 2 ? a ? 22.略 23. (1) y ? (2)相交 24. (1) x x ? ?8或x ? 2 (2) ?

3 2

3 x 3

?

?

7 2


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