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高一数学必修1错题集-2


16、设 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x 属于(0,正无穷)时,f(x)=x (2+x) ,求函数 f(x)的解析式。 当 x<0 时,-x>0 -f(x)=f(-x)=-x(2-x),f(x)=x(2-x) 当 x=0,f(0)=f(-0)=-f(0) ,f(0)=0,都适合两个表达式 于是,f(x)=x(2+x) ,x>=0 x(2-x) ,x<0

17、已知二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x 且 f(0)=1;① 求 f(x) 的解析式;② 在区[-1,2]间上求 y(x)的最值 ①二次函数且 f(0)=1 设 f(x)=ax^2+bx+c ∵f(0)=c=1,∴c=1 ∵f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x ∴a(x+1)^2+b(x+1)+1-ax^2-bx-1=2x ax^2+2ax+a+bx+b+1-ax^2-bx-1=2x 2ax+a+b=2x 2ax-2x+a+b=0 (2a-2)x+(a+b)=0 ∴2a=2,a+b=0 ∴a=1,b=-1 ∴f(x)=x^2-x+1 ② f(x)=(x-1/2)^2+3/4 ∵x∈[-1,2] ∴x=1/2 时,f(x)取得最小值 3/4 当 x=-1 或 x=2 时 f(x)的值相等且为最大值 3

18、已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x-2.(1)求 f(x)的解 析式;(2)若 2x+f(x+1)≤5,求 x 的范围 (1)当 x<0 时 f(x)=-f(-x)=-(-x-2)=x+2 (2)分区间讨论: 当 x>-1 时,x+1>0,则有:2x+f(x+1)=2x+x+1-2=3x-1<=5,x<=2 当 x<-1 时,x+1<0,则有:2x+f(x+1)=2x+x+1+2=3x+3<=5,x<=2/3 因此 x 的取值范围是:(-∞,-1)∪(-1,2]

19、已知函数 f(x)=alog2x+blog3x+2,且 f(1/200)=4,求 f(200)的值 f(1/200)=-alog2200-blog3200 +2=4 所以 alog2200+blog3200=-2 f(200)=alog2200+blog3200+2=-2+2=0

20、已知 log189=a,18b=5,求 log3645.
?

思路分析:18b=5

log185=b,将 log3645 如何化为以 18 为底的对数成

为解决本题的关键. 解:解法一:∵18b=5,∴log185=b,

于是 log3645=

=

=

=

=

. 解法二:由于 log189=a,18b=5 log185=b,

因此,log3645=

=

=

.

解法三:由于 log189=a,18b=5,因此,

=a,blg18=lg5.

∴log3645=

=

=

=

=

.

21、若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________.

?

。解析: 由对称性只考虑 y≥0,因为 x>0,∴只须求 x-y 的最小值,令 x

-y=u,代入 x2-4y2=4,有 3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于 y 的二次方程
显然有实根,故△=16(u2-3)≥0

22、设 a≠0,对于函数 f(x)=log3(ax2-x+a),(1)若定义域为 R,求实数 a 的取值 范围;(2)若 f(x)的值域为 R,求实数 a 的取值范围. 解:(1)f(x)的定义域为 R,则 ax2-x+a>0 恒成立, 定义域为 R 意为无论 x 取什 么值 ax^2-ax+1 都大于 0 即 判别式△<0 且 a>0 或 a=0



解得 a>

.

(2)f(x)的值域为 R,则真数 ax2-x+a 能取遍大于 0 的所有值,值域为 R 意为 y 要取到所有的值 即为 x 要取到所有正值 即 判别式△>=0 且 a>0



解得 0<a≤

.

(注,应为:1-4a2>=0)

23、 已知实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,试求 a 的最大值 和最小值.
?

解:构造函数

f(x)=(2b2+3c2+6d2)x2-2(b+c+d)x+1

=(2b2x2-2bx+

)+(3c2x2-2cx+ )+(6d2x2-2dx+

)

=(

bx-

)2+(

cx-

)2+(

dx-

)2

∵f(x)≥0 恒成立, ∴Δ =4(b+c+d)2-4(2b2+3c2+6d2)≤0 ∴2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2. 又由已知可得 2b2+3c2+6d2=5-a2,b+c+d=3-a, ∴5-a2≥(3-a)2. ∴a2-3a+2≤0. ∴1≤a≤2. ∴amax=2,amin=1. 24、函数 y=ln^2x-lnx^2 的最小值 定义域为 x>0 y=(lnx)^2-2lnx 令 t=lnx 则 y=t^2-2t=(t-1)^2-1 当 t=1 时,即 x=e 时,y 有最小值-1.

25、已知函数 y=loga(ax2-x)在区间[2,4]上是增函数,求 a 的取值范围

a>0 且 a<>1。ax^2-x 开口向上,对称轴为 x=1/(2a)。 若 0<a<1,则 ax^2-x 在[2,4]上递减,1/(2a)>=4,0<a<=1/8。 若 a>1,则 ax^2-x 在[2,4]上递增,1/(2a)<=2,a>=1/4,取 a>1。 所以,a 的取值范围是(0,1/8]U(1,+无穷)。

26、求函数 y=㏒ 0.5(1-3^x)-㏒ 2(3^x+1/3)的最小值

27、已知函数 f(x)=ln(a^x-b^x)(a>1>b>0) (1)求函数 f(x)的定义域 (2)判断函数 f(x)在定义域 I 上的单调性,并说明理由 (3)当 a.b 满足什么关系时,f(x)在[1,+∞)上横取正值 1、因为 a>1>b>0, 所以,当 x>0 时,a^x>b^x,a^x-b^x>0 当 x<=0 时,a^x<=b^x,a^x-b^x<=0 若使 f(x)=ln(a^x-b^x )有意义,a^x-b^x>0

所以,函数的定义域 I 为(0,+∞)。 2、在定义域内,a^x 为增函数,b^x 为减函数,-b^x 为增函数,所以 a^x-b^x 为增函数,f(x)=ln(a^x-b^x)为增函数。 3、a>1>b>0, ∴a^x 单调增,b^x 单调减, 则 a^x-b^x 单调增 ∴f(x)=ln(a^x-b^x)单调增

要使得 f(x)在[1,+∞)上恒正, 只要 f(1)>0 f(1)=ln(a-b)>0 ∴a-b>1, 即 a-b>1 时满足题意 28、函数 y=log0.5(x2-4)的递增区间是 y=log0.5(x2-4)=log0.5(t) 因为:0<0.5<1 所以:y=log0.5(t)在 t>0 时是减函数 g(x)= x2-4x>0,x<-2 时是减函数 根据复合函数的同增异减原则知道: x<-2 时 y=log0.5(x2-4)是单调递增函数 所以:单调递增区间是(-∞,-2)

29、已知函数 f(x)=loga(1-mx)/(x-1)(a>0,a≠1)的图像关于原点对称, 1)求 m 的值 2)判断 f(x)在(1,正无穷)上的单调性,并根据定义证明

(1) ∵f(x)图像关于原点对称 ∴f(x)是奇函数 f(-x)=loga (1+mx)/-x-1 =-f(x) =-loga (1-mx)/(x-1) =loga (x-1)/(1-mx) ∴1+mx/-x-1=x-1/1-mx 解得: {m=1 {m=-1 ∵1-mx/x-1>0 ∴1-mx>0,x-1>0

或 1-mx<0,x-1<0 即:1<x<1/m 或 1/m<x<1 ∴m=-1(m=1 舍去)

(2) f(x)=loga(x+1)/(x-1) x>1 x+1/x-1=[(x-1)+2]/(x-1) =1+[2/(x-1)] 当 x 增大时 2/x-1 递减 即:x+1/x-1 随 X 的增大而减小 所以 f(x)在 (1,正无穷)单调递减

30、若函数 y= log 常数 a 的取值范围是?

a

(1-ax) (a>0,a≠1) 在区间 (0,2) 上是单调增函数 ,则

函数 y= log a (1-ax) (a>0,a≠1)是复合函数,可以利用“同增异减”的方法知道 其单调性:当组成他的两个初等函数单调性相同时,复合函数为增函数;当组成 他的两个初等函数单调性不同时,复合函数为减函数

函数 y= log a (1-ax) (a>0,a≠1)是有两个初等函数:y=log a x,y=1-ax 组成 因为 a>0,所以 y=1-ax 为减函数 又函数 y= log a (1-ax) (a>0,a≠1)在(0,2)上是增函数 所以 y=log at 为减函数,则:0<a<1 , 因为对数的真数大于零,所以在(0,2)上 y=1-ax>0 解得:a<1/2 综上:0<a<1/2 即:a 的取值范围为(0,1/2)


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