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拉丁方设计基础


不同捕蛾灯的捕蛾效果比较试验。

?不同的灯位?
?不同的日期? 烟叶毒素病不同毒素浓度诱病试验。 ?不同植株? ?同一植株上不同部位的叶片(老、嫩)?

如何将试验单元的两个干扰因子最大程度地减小?

拉丁方设计
双向随机区组设计
?将试验单元按这两个干扰因子从两个方向划分区组, ?在每个区组组合中安排一个试验单元,

?每个试验单元随机地接受一种处理。

试验设计与统计分析
概述

对比设计及分析
区组设计及分析 拉丁方设计及分析 裂区设计及分析 正交设计及分析 (latin square design)

“拉丁方(latin square)”一词最早是由 英国统计学家R. A. Fisher 提出的。 其含义是:将k个不同符号(字母或数字) 排列成k×k方块,使得每一个符号在每一行、 每一列都仅出现一次。

2×2 拉丁方

A B

B A A B C B C A C A B A B C D B C D A C D A B D A B C

3×3 拉丁方

4×4 拉丁方

标准方(standard square):是指代表处理的字母, 在第一行和第一列皆为顺序排列的拉丁方。

2×2 标准拉丁方

A B

B A

3×3 标准拉丁方

A B C

B C A

C A B

4×4标准拉丁方

5×5标准拉丁方

注:5×5标准拉丁方有56种,此为部分标准拉丁方

将标准方的行、列进行调换,可以转化出许多不同的拉丁方,

k ? k标准方

k!?(k ? 1)!
表1 k×k的标准方个数和拉丁方总数

k× k 2× 2 3× 3 4× 4 5× 5 6× 6 7× 7

标准方个数 1 1 4 56 9408 16942086

拉丁方总数 2 12 576 161280 812851200 61479419904000

A B C

B C A

C A B

?对试验单元分组时,可以依据两个相互独立的变异来源进 行,一个变异来源对应拉丁方的行,称为行区组;另一个变 异来源对应于拉丁方的列,称为列区组。 ?划分区组的原则与随机完全区组设计相同,只是多了一个 方向的局部控制。

果树树龄

果树试验

树 体 长 势 平行于玻璃或膜

温室盆栽

平 行 于 墙

一、拉丁方设计 拉丁方设计在行和列两个方向都应用了局 部控制,使得行、列两向皆成区组。因此在试 验结果的统计分析上要比随机区组多一项区组 间变异。

当行间、列间皆有明显差异时,其行列两
个区组的变异可以从试验误差中分解出来。

一、拉丁方设计
1. 选择标准方
根据试验的处理数k选一个k×k的标准方。

例1:研究5种不同饲料对乳牛产乳量影响的试验 饲料
5种不同饲料(分别用1、2、3、4、5表示)

个体
时期

5头乳牛(分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ)

5个泌乳期(分别为一月、二月、三月、四月、五月)

5×5拉丁方设计。

一、拉丁方设计
1. 选择标准方

表2 饲料类型对乳牛产乳量影响的拉丁方设计

泌乳时间 Ⅰ Ⅱ
牛号 Ⅲ Ⅳ

一月 A B
C D

二月 B A
D E

三月 C E
A B

四月 D C
E A

五月 E D
B C



E

C

D

B

A

一、拉丁方设计
1. 选择标准方

列随机

32154
行随机

25431
处理随机

51342

一、拉丁方设计
2. 列随机
按照列随机数字串的排列顺序“32145”进行列随机。 1 2 3 4 5

3
1 2 C E

2
B A

1
A B

4
D C

5
E D

1
2 3 4 5

A
B C D E

B
A D E C

C
E A B D

D
C E A B

E
D B C A

3
4 5

A
B D

D
E C

C
D E

E
A B

B
C A

一、拉丁方设计
3. 行随机 按照行随机数字串的排列顺序“25431”进行行随机。

3
1 2 C E

2
B A

1
A B

4
D C

5
E D 2 5 4

3 E D B

2 A C E

1 B E D

4 C B A

5 D A C

3
4 5

A
B D

D
E C

C
D E

E
A B

B
C A

3
1

A
C

D
B

C
A

E
D

B
E

一、拉丁方设计

4. 处理随机 处理的“51342”排列顺序即5=A, 1=B, 3=C, 4=D, 2=E 按照处理随机数字串的排列顺序“51342”进行处理随 机。 3 2 1 4 5 3 2 1 4 5 2
5 4 3 1

E
D B A C

A
C E D B

B
E D C A

C
B A E D

D
A C B E

2
5 4 3 1

2
4 1 5 3

5
3 2 4 1

1
2 4 3 5

3
1 5 2 4

4
5 3 1 2

2 5 4 3 1

3 2 4 1 5 3

2 5 3 2 4 1

1 1 2 4 3 5

4 3 1 5 2 4

5 4 5 3 1 2

饲料号

泌乳时间 Ⅰ Ⅱ 牛号 Ⅲ Ⅳ Ⅴ

一月 二月 三月 四月 五月 2 5 1 3 4 4 3 2 1 5 1 2 4 5 3 5 4 3 2 1 3 1 5 4 2

拉丁方设计

处理间

误差

变异

行区组

列区组

二、结果分析
拉丁方试验的任一观测值的线性模型为:

xij (t ) ? ? ? ? i ? ? j ? ? (t ) ? ? ij (t )
(i = 1,2,…,k; j = 1,2,…k, k = 1,2,…k)

式中: μ 为总体平均数,

? i 为横行的效应,
? j 为纵列的效应,

? ij (t ) 为独立的随机误差,具有 N (0, ? 2 )。

? t 为处理的效应,

平方和与自由度的分解为:

SST = SSr+SSc+SSt+SSe
df T = dfr+ dfc+ dft+dfe
式中: r 表示横行, r = 1,2,…,k; c 表示纵列, c = 1,2,…,k; t 表示处理, t = 1,2,…k;

e 表示随机误差。

校正数:

T2 C? k ?k

2 SS ? ( x ? x ) 总平方和: ? T

? ? x2 ? C
?
2 T ? r

横行平方和:SS r ? k ? ( xr ? x) 2 纵列平方和:SS
c

k
2 T ? c

?C

? k ? ( xc ? x)

2

?

k
2 t

?C

处理平方和:

SSt ? k ? ( xt ? x)

2

T ? ? k

?C

误差平方和:SS ? SS - SS - SS - SS e T r c t

总自由度:

dfT=k×k-1

横行自由度: dfr =k-1
纵列自由度: dfc =k-1 处理自由度: dft =k-1 误差自由度: dfe =dfT - dfr - dfc - dft

表3 饲料类型对乳牛产乳量影响的试验资料
泌乳时间 Ⅰ 一月 2 300 4 420 1 350 5 280 3 400 二月 5 320 3 390 2 360 4 400 1 380 三月 1 390 2 280 4 400 3 390 5 350 四月 3 390 1 370 5 260 2 280 4 430 五月 4 380 5 270 3 400 1 370 2 320


牛号 Ⅲ Ⅳ



(1)原始资料的整理

将试验结果整理成横行、纵列两向表:
泌乳时间 Ⅰ Ⅱ 一月 2 300 4 420 二月 5 320 3 390 三月 1 390 2 280 四月 3 390 1 370 五月 4 380 5 270 Tr 1780 1730

牛号


Ⅳ Ⅴ Tc

1 350
5 280 3 400 1750

2 360
4 400 1 380 1850

4 400
3 390 5 350 1810

5 260
2 280 4 430 1730

3 400
1 370 2 320 1740

1770
1720 1880 T=8880

(1)原始资料的整理

将试验结果整理成处理的总和与平均数表:
饲料 Tt xt 5号 1480 296 1号 1860 372 3号 1970 394 4号 2030 406 2号 1540 308 总和 T=8880

(2)平方和和自由度的分解
T 8880 ? ? 3154176 k ?k 5? 5
2 2

平方和的分解:

C?

SST ? ? x2 ? C ? 3002 ? 3202 ? ?? 3202 ? 3154176 ? 63224
SS r T ? ? k
2 r 2 2 2 ( 1780 ? 1730 ? ? ? 1880 ) ?C ? ? 3154176 ? 3224 5 2 2 2 ( 1750 ? 1850 ? ? ? 1740 ) ?C ? ? 3154176 ? 2144 5 2 2 2 ( 1480 ? 1860 ? ? ? 1540 ) ?C ? ? 3154176 ? 50504 5

SS c

?T ?
k T ? ? k
t

2 c

2

SS t

SS e ? SS T - SS r - SS c - SS t ? 7352

(2)平方和和自由度的分解

自由度的分解:

dfT=k×k-1=25-1=24
dfr =k-1=5-1=4

dfc =k-1=5-1=4 dft =k-1=5-1=4 dfe =dfT - dfr - dfc - dft=12

(3)列方差分析表进行F检验
变异来源 横行(乳牛)间 纵列(月份)间 处理(饲料)间 误 差 df 4 4 4 12 SS 3224 2144 50504 7352 S2 536.00 806.00 12626.00 612.67 20.61** 3.26 5.41 F F0.05 F0.01

总变异

24

63224

? ?

乳牛和月份间的差异不是试验的目的,不需比较; 5种不同饲料间存在着极显著的差异,需作多重比较。

(4)饲料间多重比较

q法
2 se 612.67 sx ? ? ? 11.07 k 5

由dfe=12,秩次距k=2、3、4、5,查表得临界q值, 并求解LSR值。

k
2 3 4 5

q0.05
3.08 3.77 4.20 4.51

q0.01
4.32 5.04 5.50 5.84

LSR0.05
34.096 41.734 46.494 49.926

LSR0.01
47.822 55.793 60.885 64.649

(4)饲料间多重比较
差异显著性 α=0.05 α=0.01 a a A A

饲料
4号 3号

平均产乳量
406 394

1号
2号 5号

372
308 296

a
b b

A
B B

? 饲料4号、3号和1号的产乳量极显著高于饲料2号和5号;
? 饲料4号、3号和1号间差异未达显著; ? 饲料2号和5号间差异未达显著。

?在进行拉丁方试验时,某些区组因素,如奶牛的泌
乳阶段,试验因素的各处理要逐个在不同阶段实施,

如果前一阶段有残效,在后一阶段的试验中,就会
产生系统误差而影响试验的准确性。此时应根据实

际情况,安排适当的试验间歇期以消除残效。
?横行、纵列区组因素与试验因素间不存在交互作用 , 否则不能采用拉丁方设计。

拉丁方设计

? 试验的重复数与处理数相等,行数与列数相等,即 处理数=行数=列数;

? 每一横行和每一纵列都包括全部处理,形成一个完
全区组;

? 所有处理在横行和纵列中都进行随机排列。

拉丁方设计

? 必须是三个因素的试验,且三个因素的水平数相等。 ? 各因素间无交互作用。 ? 各行、列、处理的方差齐性。

拉丁方设计

拉丁方设计在不增加试验单位的情况下,比随机区组

设计多设置了一个区组因素,能将横行和纵列两个区
组间的变异从试验误差中分离出来,因此应用拉丁方

设计在控制试验误差、提高试验精确度方面比随机区
组试验更为有效。

Cochran经过8年的田间试验表明,拉丁方试验的误差
方差约为随机区组试验的73%。

拉丁方设计

因拉丁方设计需要保持行、列、处理数三者相等如 正方形的试验空间,故缺乏伸缩性;

在田间试验时,不能将横行区组和纵列区组分开设
置,要求有整块方形的试验地,缺乏随机区组设计 的灵活性。

* 一般,拉丁方设计处理数不能太多,以5-8个为宜,且在对试 验精确度有较高要求时使用。 * 为了较精确地估计试验误差和检验处理效应,正式的拉丁方 试验要求误差自由度不小于12,最好大于20。

*若处理数多(k >10),则重复数也多,横行、纵列区组数也 多,导致试验工作量大,且同一单位组内试验动物的初始条件 亦难控制一致。 * 若处理数少(k≤4 ),则重复数也少,误差自由度小于12, 检验的灵敏度下降;此时,可采用“重复拉丁方设计”或“复

拉丁方设计”,即采用相同大小的拉丁方重复进行若干次试验,
如5次3×3拉丁方试验, 3次4×4拉丁方试验。然后将试验数据 合并分析,从而增加了误差项的自由度,提高检验的灵敏度。


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