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第四章第6讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及 三角函数模型的简单应用


第 6 讲 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及

三角函数模型的简单应用

1.“五点法”作图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、 最低点及与 x 轴相交的三个点,作图 的一般步骤为: (1)定点:如下表所示. π 3π -φ π-φ -φ 2π-φ 2 2 x ω ω ω ω π 3π 0 π 2π ωx+φ 2 2 0 A

0 0 y=Asin(ωx+φ) -A (2)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接得到 y=Asin(ωx+φ) 在一个周期内的图象. (3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得 y=Asin(ωx+φ)在 R 上的图象. 2.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的两种途径 φ - ω

3.函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义 当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时,A 叫做振幅,T 2π 1 = 叫做周期,f= 叫做频率,ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相. ω T

由图象求解析式 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一般步骤: ①由函数的最值确定 A 的值; ②由函数的周期来确定 ω 的值; ③由函数图象最高点(或最低点)的坐标得到关于 φ 的方程,再由 φ 的范围得 φ 的值.也 可以由起始点的横坐标得 φ 的值.

1.(必修 4 P57A 组 T1(1)改编)要得到函数 y=cos(x+1),x∈R 的图象,只需把 y=cos x(x ∈R)上的所有点( ) A.向左平移 π 个单位长度 B.向右平移 π 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度 答案:C π? ? π? 2.(必修 4 P55 练习 T2(1)改编)为了得到函数 y=3sin? ?x-5?的图象,只需将 y=3sin?x+5? 的图象上的所有点( ) π A.向左平移 个单位长度 5 π B.向右平移 个单位长度 5 2π C.向左平移 个单位长度 5 2π D.向右平移 个单位长度 5 π? ?? π? 2π? 解析:选 D.∵y=sin? ?x-5?=sin??x+5?- 5 ?,故选 D. 3.(必修 4 P56 练习 T2(3)改编)为了得到 y=3sin 2x+1 的图象,只需将 y=3sin x 的图象 上的所有点( ) A.横坐标伸长 2 倍,再向上平移 1 个单位长度 1 B.横坐标缩短 倍,再向上平移 1 个单位长度 2 C.横坐标伸长 2 倍,再向下平移 1 个单位长度 1 D.横坐标缩短 倍,再向下平移 1 个单位长度 2 1 解析:选 B.将 y=3sin x 的图象上的所有点的横坐标缩短 倍,将 y=3sin 2x 的图象,再 2 向上平移 1 个单位长度即得 y=3sin 2x+1 的图象,故选 B. 4.(必修 4 P60 例 2 改编)关于函数 f(x)=|sin x|的下列结论中,正确的序号为________(把 正确的序号全填上). ①f(x)是偶函数,图象关于 y 轴对称; ②周期 T=π; π π? ③它的一个单调增区间为? ?-2,2?; ④当 x∈[0,2π]时,其图象与 x 轴围成的平面图形的面积为 2π. 解析:f(-x)=|sin(-x)|=|-sin x|=|sin x|=f(x), ∴f(x)是偶函数,图象关于 y 轴对称,①正确; 又 f(x+π)=|sin(x+π)|=|-sin x|=|sin x| =f(x),∴周期 T=π,②正确; π ? ? ? π? ∵f(x)=|sin x|=?-sin x, x∈? ?-2,0?,?sin x, x∈?0,2?. ? π ? ? π? ∴f(x)在? ?-2,0?上是减函数,在?0,2?上是增函数,③错误; 2 πsin x dx π 函数 f(x)=|sin x|x∈[0,2π]与 x 轴围成的面积为 S= ? =2(-cos x)| ?0 =2×(1 ?0 +1)=4.④错误. 答案:①②

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与变换 π 已知 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx(ω>0)离 y 轴最近的一条对称轴为 x= . 12 (1)求 f(x)的周期; (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. [解] (1)f(x)=sin ωx+ 3cos ωx π 1 3 ωx+ ?, =2? sin ωx+ cos ωx?=2sin? 3 ? ? 2 ?2 ? π π 由题意得 ωx+ = ,∴ω=2, 3 2 π? 2π 即 f(x)=2sin? ?2x+3?.周期 T= 2 =π. π? π (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin? ?2x+3?=2sin X. 3 列表:并描点画出图象. x X y=sin X π? y=2sin? ?2x+3? π - 6 0 0 0 π 12 π 2 1 2 π 3 π 0 0 7π 12 3π 2 -1 -2 5π 6 2π 0 0

π? π (3)法一:把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位长度,得到 y=sin? ?x+3?的图 3 π 1 x+ ?的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到 y= 象;再把 y=sin? ? 3? 2 π π ? ? sin? 最后把 y=sin? ?2x+3?的图象; ?2x+3?的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横 π? 坐标不变),即可得到 y=2sin? ?2x+3?的图象. 1 法二:将 y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变),得到 y=sin 2 π ? π?? 2x 的图象;再将 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位长度,得到 y=sin? ?2?x+6??= 6 π? π? sin? 再将 y=sin? ?2x+3?的图象; ?2x+3?的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐 π 2x+ ?的图象. 标不变),即得到 y=2sin? 3? ?

函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种作法: ①五点法:用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设 z=ωx+ π 3 φ,由 z 取 0, ,π, π,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出 2 2 图象. ②图象变换法:由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主 要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.

π 1. 将函数 y=cos 2x+1 的图象向右平移 个单位长度, 再向下平移 1 个单位长度后得到 4 的函数图象对应的表达式为( ) A.y=sin 2x B.y=sin 2x+2 π 2x- ? C.y=cos 2x D.y=cos? 4? ? π? π 解析: 选 A.将函数 y=cos 2x+1 的图象向右平移 个单位长度得到 y=cos 2? ?x-4?+1= 4 sin 2x+1,再向下平移 1 个单位长度得到 y=sin 2x,故选 A. 2.为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象,可以将函数 y= 2cos 3x 的图象( ) π A.向右平移 个单位长度 12 π B.向右平移 个单位长度 4 π C.向左平移 个单位长度 12 π D.向左平移 个单位长度 4 π? ? ? π ?? 解析:选 A.∵y=sin 3x+cos 3x= 2cos? ?3x-4?= 2cos?3?x-12??,将 y= 2cos 3x 的 π ? π ?? 图象向右平移 个单位长度即可得到 y= 2cos? ?3?x-12??的图象,故选 A. 12 1 3.已知函数 f(x)= 3sin ωxcos ωx-cos2ωx- (ω>0,x∈R),且函数 f(x)的最小正周期 2 为 π. (1)求函数 f(x)的对称轴; π (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度得到函数 g(x)的 12 π π - , ?上的最值. 图象,求函数 y=4g2(x)-12g(x)-1 在 x∈? ? 12 3? 1 3 1 解 : (1) 由 已 知 f(x) = 3 sin ωxcos ωx - cos2ωx - = sin 2ωx - cos 2ωx - 1 = 2 2 2 π 2π ? sin? ?2ωx-6?-1,因为 f(x)的最小正周期为 π,故2ω=π,所以 ω=1. π? 故 f(x)=sin? ?2x-6?-1, π π 其对称轴满足 2x- =kπ+ (k∈Z), 6 2 kπ π 故其对称轴为 x= + (k∈Z). 2 3 π π π x+ ? ? (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度得到函数 y=sin?2? 12 ? ? 12?-6?-1=sin 2x-

1 的图象,再向上平移 1 个单位长度,得到函数 g(x)=sin 2x 的图象,因此 y=4g2(x)-12g(x) -1=4sin22x-12sin 2x-1. π 2π? 1 ? 3?2 令 t=sin 2x, 由于 2x∈? 故 t∈? 所以 y=4t2-12t-1=4? ?-6, 3 ?, ?-2,1?, ?t-2? -10, 1 ? 1 π 2 因为当 t∈? ?-2,1?时,函数 y=4t -12t-1 单调递减,所以当 t=-2,即 x=-12时,ymax π =6;当 t=1,即 x= 时,ymin=-9. 4

由 y=Asin(ωx+φ)的图象确定解析式 (1)[根据图象写性质](2015· 高考全国卷Ⅰ)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图 所示,则 f(x)的单调递减区间为( )

1 3? A.? ?kπ-4,kπ+4?,k∈Z 1 3? B.? ?2kπ-4,2kπ+4?,k∈Z 1 3 k- ,k+ ?,k∈Z C.? 4? ? 4 1 3? D.? ?2k-4,2k+4?,k∈Z π? (2)[根据图象求解析式]函数 f(x)=sin(ωx+φ)? ?x∈R,ω>0,|φ|<2?的部分图象如图所示, 则函数 f(x)的解析式为( )

π? A.f(x)=sin? ?2x+4? π? B.f(x)=sin? ?2x-4? π? C.f(x)=sin? ?4x+4? π 4x- ? D.f(x)=sin? 4? ? [解析] (1)法一:由题图知周期 T= 5 1? 2π 2×? ?4-4?=2,∴ ω =2,∴ ω=π. π? 1 π π 由 π× +φ= +2kπ,k∈Z,不妨取 φ= ,∴ f(x)=cos? ?πx+4?. 4 2 4 π 由 2kπ<πx+ <2kπ+π, 4 1 3? 1 3 得 2k- <x<2k+ ,k∈Z,∴ f(x)的单调递减区间为? ?2k-4,2k+4?,k∈Z.故选 D. 4 4

5 1? 法二:由题图知周期 T=2? ?4-4?=2,由对称性知, 1 5 + 4 4 3 当 x= = 时,f(x)取得最小值. 2 4 1 3 1 ∴f(x)在 x=2× - =- 处取最大值. 4 4 4 1 3? 所以 f(x)的单调减区间为? ?2k-4,2k+4?,k∈Z,故选 D. 2π 3π π? - ×4=π,所以 ω=2,又函 (2)由题图可知,函数 y=f(x)的最小正周期为 T= =? ω ? 8 8? π ? π π π ?π ? 数 f(x)的图象经过点? ?8,1?,所以 sin?4+φ?=1,则4+φ=2kπ+2(k∈Z),解得 φ=2kπ+4, π? π π 又|φ|< ,所以 φ= ,即函数 f(x)=sin? ?2x+4?,故选 A. 2 4 [答案] (1)D (2)A (1)根据 y=Asin(ωx+φ)+k 的图象求其解析式问题,主要是确定 A、ω 和 φ 的值. (2)根据图象的对称性和周期性可直接写出其单调区间和对称中心、对称轴或最值. 1.函数 f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间是( )

7π π? A.? ?2kπ-12,2kπ-12?,k∈Z π 5π? B.? ?2kπ-12,2kπ+12?,k∈Z 7π π kπ- ,kπ- ?,k∈Z C.? 12 12? ? π 5π? D.? ?kπ-12,kπ+12?,k∈Z π?? 4 5π 解析:选 C.由题图知,周期 T= ?12-? ?-3??=π. 3? π? T π ∴f(x)取得最小值-2 时,x=kπ+? ?-3?+4 =kπ-12,k∈Z, π? T 7π f(x) 取得最大值 2 时, x = kπ + ? ?-3? - 4 = kπ - 12 , k ∈ Z ,∴ f(x) 的单调减区间为 ?kπ-7π,kπ- π ?,k∈Z,故选 C. 12 12? ? π? 2.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? ?A>0,ω>0,|φ|<2?的图象如图所示,则 f(x)的解析式为 ( )

π 2x+ ? A.f(x)=sin? 3? ?

π? B.f(x)=sin? ?2x-3? π? C.f(x)=sin? ?2x+6? π 2x- ? D.f(x)=sin? 6? ? 1 1 2π 7π π π 解析: 选 A.由题图可知 A=1, 且 T= × = - = , 解得 ω=2, ∴f(x)=sin(2x+φ). 把 4 4 ω 12 3 4 7π π? 7π 3π π ?7π,-1?代入, ? ∵|φ|<π, 得-1=sin? ∴ +φ= , ∴φ= , ∴f(x)=sin? ?12 ? ?2×12+φ?, ?2x+3?, 2 6 2 3 故选 A. π 3.若函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )在一个周期内的图象如图所示,M,N 分别 2 → → 是这段图象的最高点与最低点,且OM· ON=0,则 A· ω=( )

π A. 6 C. 7 π 6

7π 12 7 D. π 3 B.

T π π 解析:选 C.由题中图象知 = - ,∴T=π,∴ω=2. 4 3 12 π 7 ? ? ? 则 M? ?12,A?,N?12π,-A?, 7π2 7 → → 由OM· ON=0,得 2=A2,∴A= π, 12 12 7 ∴A· ω= π,故选 C. 6

三角函数的图象和性质的综合应用 π? (2015· 高考湖北卷)某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? ?ω>0,|φ|<2?在 某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: π 3π π 2π 2 2 π 5π x 3 6 0 5 0 Asin(ωx+φ) -5 (1)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直接写出函数 f(x)的解析式; ........... ωx+φ 0 (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象.若 y 5π ? =g(x)图象的一个对称中心为? ?12,0?,求 θ 的最小值. π [解] (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω=2,φ=- ,数据补全如下表: 6 π 3π 0 π 2π ωx+φ 2 2

x Asin(ωx+φ) π? 函数解析式为 f(x)=5sin? ?2x-6?. π? (2)由(1)知 f(x)=5sin? ?2x-6?, π 2x+2θ- ?. 则 g(x)=5sin? 6? ?

π 12 0

π 3 5

7π 12 0

5π 6 -5

13 π 12 0

因为函数 y=sin x 图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z, π kπ π 令 2x+2θ- =kπ,解得 x= + -θ,k∈Z. 6 2 12 5π ? kπ π 5π kπ 由于函数 y=g(x)的图象关于点? ?12,0?成中心对称,所以令 2 +12-θ=12,解得 θ= 2 π - ,k∈Z. 3 π 由 θ>0 可知,当 k=1 时,θ 取得最小值 . 6 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 π ①奇偶性:φ=kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;φ=kπ+ (k∈Z)时,函数 y 2 =Asin(ωx+φ)为偶函数. 2π ②周期性:y=Asin(ωx+φ)存在周期,其最小正周期为 T= . ω π π ③单调性:根据 y=sin t 和 t=ωx+φ(ω>0)的单调性来研究,由- +2kπ≤ωx+φ≤ + 2 2 π 3π 2kπ(k∈Z)得单调增区间;由 +2kπ≤ωx+φ ≤ +2kπ(k∈Z)得单调减区间. 2 2 ④对称性:利用 y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求解,令 ωx+φ=kπ(k∈Z)得其对 称中心. π π 利用 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+ (k∈Z)求解,令 ωx+φ=kπ+ (k∈Z)得其对称轴. 2 2 π 1.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R, ω>0,0<φ<2? ?的部分图象如图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; π π x- ?-f?x+ ?的单调递增区间. (2)求函数 g(x)=f? ? 12? ? 12? 解:(1)由题图知, 11π 5π? 2π 周期 T=2? ? 12 -12?=π,所以 ω= T =2. 5π ? 因为点? ?12,0?在函数图象上, 5π ? ? 5π ? 所以 Asin? ?2×12+φ?=0,即 sin? 6 +φ?=0, 5π 所以 +φ=kπ(k∈Z). 6

π π 又因为 0<φ< ,所以 φ= . 2 6 π 又点(0,1)在函数图象上,所以 Asin =1,解得 A=2, 6 π 2x+ ?. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin? 6? ? π π ? ? x- ? (2)g(x)=2sin 2? ? ? 12?+6? π π x+ ? ? -2sin?2? ? ? 12?+6? π 2x+ ? =2sin 2x-2sin? 3? ? 1 3 =2sin 2x-2? sin 2x+ cos 2x? 2 ?2 ? =sin 2x- 3cos 2x π? =2sin? ?2x-3?, π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z), 2 3 2 π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 12 12 π 5π? 所以函数 g(x)的单调递增区间是? ?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. 2.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,x∈R,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; π? ? π? ? π? (2)若 g(x)=f? ?x+6?+f?x-6?,求函数 g(x)在区间?0,2?上的值域. 解:(1)由图可知,函数的最大值为 A+B=3,最小值为-A+B=-1,解得 A=2,B= 1. π 5π 2π - ??=π,由 =π 解得 ω=2. 函数的最小正周期为 T=2×?12-? 12 ? ? ? ? ω π π ? ? ? ? ? 由 f? ?-12?=2sin?2×?-12?+φ?+1=-1, π? 得 sin? ?φ-6?=-1, π π π π 故 φ- =2kπ- (k∈Z),解得 φ=2kπ- (k∈Z),又因|φ|<π,所以 φ=- . 6 2 3 3 π? 所以 f(x)=2sin? ?2x-3?+1. π? (2)由(1)知,f(x)=2sin? ?2x-3?+1, π? ? π? 故 g(x)=f? ?x+6?+f?x-6? π π x+ ?- ?+1+ =2sin?2? ? ? 6? 3?

π? π? 2sin?2? ?x-6?-3 +1

? 2π? =2sin 2x+2sin? ?2x- 3 ?+2
2π 2π -2cos 2xsin +2 3 3 π ? =sin 2x- 3cos 2x+2=2sin? ?2x-3?+2 π π 2π π 3 0, ?,所以 t∈?- , ?,故 sin t∈?- ,1?,所以函数 g(x) 设 t=2x- ,因为 x∈? 2 3 3? ? ? ? 3 ? 2 ? π ? 在区间? ?0,2?上的值域是[2- 3,4]. =2sin 2x+2sin 2xcos 三角函数模型的简单应用 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关系: π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温? 3 π 1 π [解] (1)因为 f(t)=10-2? cos t+ sin t? ? 2 12 2 12 ? π π? π π π 7π =10-2sin? ?12t+3?,又 0≤t<24,所以3≤12t+3< 3 , π π? -1≤sin? ?12t+3?≤1. π π? 当 t=2 时,sin? ?12t+3?=1; π π? 当 t=14 时,sin? ?12t+3?=-1. 于是 f(t)在[0,24)上的最大值为 12,最小值为 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时实验室需要降温. π π? 由(1)得 f(t)=10-2sin? ?12t+3?, π π? 故有 10-2sin? ?12t+3?>11, π π? 1 即 sin? ?12t+3?<-2. 7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 < t+ < , 6 12 3 6 即 10<t<18. 故在 10 时至 18 时实验室需要降温. 三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面, 一是已知函数模型, 利用三角函数的有 关性质解决问题, 其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系, 二是把 实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题, 其关键是建模. π A>0,ω>0,0<φ< ?的图象如图 1.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)? 2? ?

?

1 所示,则当 t= 秒时,电流强度是( 100

)

B.5 安 D.10 安 T 4 1 1 解析:选 A.由图象知 A=10, = - = , 2 300 300 100 2π ∴ω= =100π. T ∴I=10 sin(100πt+φ). ? 1 ,10?为五点中的第二个点,∴100π× 1 +φ=π. ?300 ? 300 2 π ∴φ= . 6 π? ∴I=10sin ? ?100πt+6?, 1 当 t= 秒时,I=-5 安. 100 2 . 某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y = a + π ? Acos? ?6?x-6??(x=1,2,3,?,12)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,为 28 ℃,12 月份 的月平均气温最低,为 18 ℃,则 10 月份的平均气温值为________℃. 28+18 解析:依题意知,a= =23, 2 28-18 π ? A= =5,∴y=23+5cos? ?6?x-6??, 2 π ? 当 x=10 时,y=23+5cos? ?6×4?=20.5. 答案:20.5

A.-5 安 C.5 3 安

一、选择题 π 1.(必修 4 P58A 组 T2(3)改编)函数 f(x)=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图 2 所示,则 y=f(x)的解析式为( )

π? A.y=sin? ?x+6? π? C.y=sin? ?2x-3? 3 11π π 3π 解析:选 D.由题知 T= - = , 4 12 6 4

π? B.y=sin? ?x+3? π? D.y=sin? ?2x+6?

π π π 得 T=π,故 ω=2,由 2× +φ= ,得 φ= ,故选 D. 6 2 6 π π? ? ? 2.(必修 4 P143A 组 T5 改编)f(x)=sin? ) ?3+2x?+cos?2x-6?的一条对称轴方程为( π π A.x=- B.x= 6 12 π π C.x= D.x= 6 3 π π ? ? ? 解析:选 B.法一:f(x)=sin? ?3+2x?+cos?2x-6? 3 1 3 1 = cos 2x+ sin 2x+ cos 2x+ sin 2x 2 2 2 2 π ? =2cos? ?2x-6?, π kπ π 由 2x- =kπ,得对称轴方程为 x= + (k∈Z). 6 2 12 π 令 k=0,∴该函数的一条对称轴方程为 x= . 12 π π 2x- ??+ 法二:f(x)=sin?2+? 6?? ? ? π π ? ? ? cos? ?2x-6?=2cos?2x-6?, π π 代入验证可得当 x= 时,2x- =0, 12 6 ∴f(x)max=2. π 故 x= 为该函数的一条对称轴. 12 π? ? π? 3.(必修 4 P147A 组 T12 改编)函数 f(x)=sin? ?x+6?+sin?x-6?+cos x+a 的最大值为 1, 则常数 a 的值为( ) A.-1 B.3 C.2 D.1+ 3 π π π x+ ?+sin?x- ?+cos x+a= 3sin x+cos x+a=2sin?x+ ?+a, 解析:选 A.f(x)=sin? 6 6 ? ? ? ? ? 6? π? 当 sin? ?x+6?=1 时,f(x)max=2+a, 又∵f(x)max=1,∴a=-1,故选 A. 二、填空题 π? 4.(必修 4 P58A 组 T2(3)改编)关于函数 f(x)=4sin? ?2x+3?(x∈R),有下列命题: π? ①y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos? ?2x-6?; ②y=f(x)是以 2π 为最小正周期的周期函数; π ③y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称; 6 π ④它的图象可由 y=4cos 2x 向右平移 个单位得到. 12 其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号). π? π? π? ?π ? 解析:因为 f(x)=4sin? ?2x+3?=4cos?2-2x-3?=4cos?2x-6?,①正确;又函数 f(x)= π? 2π 2π π π π 4sin? ?2x+3?的最小正周期 T= ω = 2 =π,②错误;令 2x+3=kπ+2(k∈Z),则 2x=kπ+6(k π kπ π 2x+ ? ∈Z),即 x= + (k∈Z),③错误;又 y=4cos 2x=4sin? 2? ? 2 12

π? ? π?? ? =4sin? ?2?x+4??,y=4sin?2x+3? π π π ? π?? =4sin? ?2?x+6??,又4-6=12,④正确. 答案:①④ π 5.(必修 4 P71B 组 T8(2)改编)函数 y=sin (-3x+ ),x∈[0,π],在区间[a,b](0<a<b<π) 4 上是增函数,记 amin=A,bmax=B.则 A+B=________. π? π? ? 解析:∵y=sin? ?-3x+4?=-sin?3x-4?, π π 3π 由题意得 2kπ+ ≤3x- ≤2kπ+ ,k∈Z. 2 4 2 2kπ π 2kπ 7π 即 + ≤x≤ + ,k∈Z. 3 4 3 12 ∵x∈[0,π], ∴k=0, π 7π 此时 f(x)的单调递增区间为[ , ], 4 12 又 f(x)在区间[a,b]上是增函数. π 7π ∴a≥ ,b≤ . 4 12 π 7π 5π ∴A= ,B= ,∴A+B= . 4 12 6 5π 答案: 6 三、解答题 6. (必修 4 P60 例 1 改编)如图, 某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足 y=Asin (ωt +φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π).

(1)求解析式; (2)若某行业在当地需要的温度在区间[20-5 2,20+5 2]之间为最佳营业时间,那么 该行业在 6~14 时,最佳营业时间为多少小时. π 1 2π π ? 解:(1)由图象知 A=10, · =14-6,∴ω= ,∴y=10sin ? ?8t+φ?+b.① 2 ω 8 ymax=10+b=30,∴b=20. π 3π? 3π 当 t=6 时,y=10 代入①得 φ= ,∴解析式为 y=10sin? ?8t+ 4 ?+20,t∈[6,14]. 4 (2)由题意得, π 3π? 2 2 π π ?π 3π? 20-5 2≤10sin ? ?8t+ 4 ?+20≤20+5 2,即- 2 ≤sin ?8t+ 4 ?≤ 2 ,∴2kπ-4≤8t 3π π + ≤2kπ+ ,k∈Z. 4 4 即 16k-8≤t≤16k-4, ∵t∈[6,14],∴k=1,即 8≤t≤12,所以最佳营业时间为 12-8=4 小时.

一、选择题

a 1.若 f(x)=asin x+b(a,b 为常数)的最大值是 3,最小值是-5,则 的值为( ) b A.-4 B.4 或-4 1 1 C.- D. 4 4 ? ? ?a+b=3, ?a=4, a [导学号 03350331] 解析:选 B.当 a>0 时,? 解得? 此时 = b ?-a+b=-5, ?b=-1, ? ?
? ? ?-a+b=3, ?a=-4, a -4;当 a<0 时,? 解得? 此时 =4,故选 B. b ? ? ?a+b=-5, ?b=-1, π? π 2.将函数 y=3sin? ) ?2x+3?的图象向右平移2个单位长度,所得图象对应的函数( π 7π? A.在区间? ?12,12?上单调递减 π 7π? B.在区间? ?12,12?上单调递增 π π? C.在区间? ?-6,3?上单调递减 π π? D.在区间? ?-6,3?上单调递增 π? π [导学号 03350332] 解析:选 B.将 y=3sin? ?2x+3?的图象向右平移2个单位长度后得到 π π 2π? ? x- ? ? y=3sin?2? ? ? 2?+3?=3sin?2x- 3 ?的图象, π 7π π 2π π 当 ≤x≤ 时,- ≤2x- ≤ , 12 12 2 3 2 2π? ? π 7π? ∴y=3sin? ?2x- 3 ?在?12,12?上单调递增,故选 B. π π? 3.函数 f(x)=2sin (ωx+φ)? ?ω>0,-2<φ<2?的部分图象如图所示,则 ω,φ 的值分别是 ( )

π A.2,- 3 π C.4,- 6

π B.2,- 6 π D.4, 3 π 3 3 5 - ?= π,∴T=π, [导学号 03350333] 解析:选 A.∵ T= π-? 4 12 ? 3? 4 2π ∵ =π(ω>0),∴ω=2. ω 5 5 π π 由图象知当 x= π 时,2× π+φ=2kπ+ (k∈Z),即 φ=2kπ- (k∈Z). 12 12 2 3 π π π ∵- <φ< ,∴φ=- . 2 2 3 4.已知 a 是实数,则函数 f(x)=acos ax 的图象可能是( )

[导学号 03350334] 解析:选 C.采用排除法.对于选项 A,由最大值为 1 可得|a|=1, 由周期为 π 可得|a|=2,两者矛盾,选项 A 可以排除;同理可得选项 B,D 不正确;对于选 项 C,由最大值可得|a|=2,由周期为 π 可得|a|=2,故选项 C 正确. π? 5.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? ?A>0,ω>0,|φ|<2?在一个周期内的图象如图所示.若方 程 f(x)=m 在区间[0,π]上有两个不同的实数解 x1,x2,则 x1+x2 的值为( )

π 2 A. B. π 3 3 4 π 4 C. π D. 或 π 3 3 3 [导学号 03350335] 解析:选 D.要使方程 f(x)=m 在区间[0,π]上有两个不同的实数解, 只需函数 y=f(x)与函数 y=m 的图象在区间[0,π]上有两个不同的交点,由图象知,两个交 π 2π π π 2π 4π 点关于直线 x= 或 x= 对称,因此 x1+x2=2× = 或 x1+x2=2× = . 6 3 6 3 3 3
2 017 nπ π? ? ? 6.函数 f(x)=sin(ωx+φ)? ?ω>0,|φ|<2?的部分图象如图,则 ?f? 6 ?=( n=1

)

1 A.- 2 C.1

B.0 3 D. 2

T 5π π π [导学号 03350336] 解析:选 C.由题图可知: = - = ,T=π,∴ω=2. 4 12 6 4 π π π π ? ? ? 由 f? ?6?=1,即 sin?3+φ?=1,得3+φ=2kπ+2,k∈Z, π π π ∴φ=2kπ+ ,k∈Z,又|φ|< ,∴φ= , 6 2 6 π ? 则 f(x)=sin? ?2x+6?. nπ? ?nπ π? ∴f? ? 6 ?=sin? 3 +6?,此函数的周期 T=6,又 2 017=6×336+1,

π? ?2π? ?3π? ?4π? 而 f? ?6?+f? 6 ?+f? 6 ?+f? 6 ?+
2 017 nπ 5π? ?6π? ? f? + f = 0 ,∴ ?f? ?6? ?6? ? 6 ?= n=1

π? π ?π π? f? ?6?=sin?3+6?=sin2=1.故选 C. 二、填空题 7. 已知函数 y = Asin(ωx + φ)(A>0 , |φ|<π) 的一段图象如图所示.则函数的解析式为 ________.

[导学号 03350337] 解析:由题图可知 A=2, T 3π ? π? π = - - = ,∴T=π,ω=2. 2 8 ? 8? 2 π π π 3 - ,2?代入得- +φ=2kπ+ ,|φ|<π,∴φ= π, ∴y=2sin(2x+φ),将点? 8 ? ? 4 2 4 3π ? ∴函数的解析式为 y=2sin? ?2x+ 4 ?. 3π? 答案:y=2sin? ?2x+ 4 ? 8.函数 y=sin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示,M、N 分别是最高点、最低点, → → O 为坐标原点,且OM· ON=0,则函数 f(x)的最小正周期是________.

1 ? → → ?1 ? ,1 , [导学号 03350338] 解析: 由题图可知, M? N ( x , - 1) , 所以 OM · ON=?2,1?· (xN, N ?2 ? 1? 1 -1)= xN-1=0,解得 xN=2,所以函数 f(x)的最小正周期是 2×? ?2-2?=3. 2 答案:3 9.为了研究钟表与三角函数的关系, 建立如图所示的坐标系, 设秒针针尖位置 P(x, y). 若 3 1 初始位置为 P0? , ?,当秒针从 P0(注:此时 t=0)正常开始走时,点 P 的纵坐标 y 与时间 ? 2 2? t 的函数关系为________.

π [导学号 03350339] 解析:由题意可设 y=Asin(ωt+φ)(A>0,0<φ< ),显然 A=1,函数 2 1 2 3 π 2π π 初相满足 tan φ= = ,∴φ= ,又函数的周期为 60 秒,∴ =60,∴ω=± , 3 6 | ω | 30 3 2

π π? π 由于秒针是顺时旋转,∴ω=- ,所以 y 与时间 t 的函数关系为 y=sin? ?-30t+6?. 30 π π? 答案:y=sin? ?-30t+6? 三、解答题 1 3 10.已知函数 y= cos2x+ sin xcos x+1,x∈R. 2 2 (1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图象可由 y=sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 1 1+cos 2x? 3 [导学号 03350340] 解:(1)y= ? 2? 2 ?+ 4 sin 2x+1 π 5 1 2x+ ?+ , = sin? 6 ? 4 2 ? π π π 7 当 2x + = + 2kπ , k ∈ Z , 即 x = + kπ , k ∈ Z 时 , ymax = , ∴ 所 求 集 合 是 6 2 6 4 ? ? ? π ?x x= +kπ,k∈Z ?. 6 ? ? ? (2)将函数 y=sin x(x∈R)的图象依次作如下变换: ①将函数 y=sin x(x∈R)的图象向左平 π π 1 x+ ?的图象; 移 , 得到 y=sin? ②将所得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标 6 ? ? 6 2 π? 1 不变),得到 y=sin? ?2x+6?的图象;③将得到的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的2倍(横 1 π 5 坐标不变),得到 y= sin2x+ 的图象;④最后将得到的图象向上平移 个单位长度,得到的 2 6 4 1 π 5 即是 y= sin2x+ + 的图象. 2 6 4 11.为迎接夏季旅游旺季的到来,某景区单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,工 作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减 少浪费,就想适时调整投入,为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客 栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律: ①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同; ②入住客栈的游客人数在 2 月份最少,在 8 月份最多,相差约 400 人; ③2 月份入住客栈的游客约为 100 人,随后逐月递增直到 8 月份达到最多. (1)一年中入住客栈的游客人数 y 与月份 x 之间的关系近似为:y=f(x)=Asin(ωx+φ)+ B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),试求出 f(x)的解析式; (2)请问哪几个月份要准备 400 份以上的食物? [导学号 03350341] 解:(1)因为该函数近似满足 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0 <|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是 12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且 f(8) -f(2)=400,故该函数的振幅为 200;由③可知,f(x)在[2,8]上单调递增,且 f(2)=100,所 以 f(8)=500. 2π 根据上述分析可得, =12, ω ? ? - A + B = 100, ? ?A=200, π 故 ω= ,且? 解得? 6 ?A+B=500, ?B=300. ? ? 根据分析可知,当 x=2 时,f(x)最小, 当 x=8 时,f(x)最大, π ? 故 sin? ?2×6+φ?=-1, π 8× +φ?=1. 且 sin? ? 6 ? 5π 又因为 0<|φ|<π,故 φ=- . 6

π 5π? 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f(x)=200sin? ?6x- 6 ?+300. π 5π? (2)由条件可知,200sin? ?6x- 6 ?+300≥400, π 5π? 1 π π 5π 5π x- ≥ ?2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ ,k∈Z,解得 12k+6≤x≤12k+ 化简,得 sin? ?6 6 ? 2 6 6 6 6 10,k∈Z. 因为 x∈N*,且 1≤x≤12,故 x=6,7,8,9,10. 即只有 6,7,8,9,10 五个月份要准备 400 份以上的食物. 12.已知向量 a=(cos ωx-sin ωx,sin ωx),b=(-cos ωx-sin ωx,2 3cos ωx),设函 1 ? 数 f(x)=a· b+λ,(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈? ?2,1?. (1) 求函数 f(x)的最小正周期; π ? 3π ,0 ,求函数 f(x)在区间?0, ?上的取值范围. (2) 若 y=f(x)的图象经过点? 5? ?4 ? ? [导学号 03350342] 解:(1)因为 f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2 3sin ωx· cos ωx+λ =-cos 2ωx+ 3sin 2ωx+λ π? =2sin? ?2ωx-6?+λ. 由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴,可得 π? π π k 1 sin? 1,所以 2ωπ- =kπ+ (k∈Z),即 ω= + (k∈Z). ?2ωπ-6?=± 6 2 2 3 1 ? 5 又 ω∈? ?2,1?,k∈Z,所以 k=1,故 ω=6. 6π 所以 f(x)的最小正周期是 . 5 π ? (2)由 y=f(x)的图象过点? ?4,0?, π? ?5 π π? 得 f? ?4?=0,即 λ=-2sin?6×2-6? π =-2sin =- 2. 4 5 π? 故 f(x)=2sin? ?3x-6?- 2. 5 π? 3π π 5 π 5π 1 由 0≤x≤ ,有- ≤ x- ≤ ,所以- ≤sin? ?3x-6?≤1, 5 6 3 6 6 2 5 π? 得-1- 2≤2sin? ?3x-6?- 2≤2- 2, 3π? 故函数 f(x)在? ?0, 5 ?上的取值范围为[-1- 2,2- 2].


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