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2017年高考一轮复习教案—第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数


第一节

任意角和弧度制及任意角的三角函数

三角函数的概念 (1)了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互 化. (2)会判断三角函数值的符号. (3)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

知识点一 角的有关概念 (1)从运动的角度看,可分为正角、负角和零角. (2)从终边位置来看,可分为象限角和轴线角. (3)若 α 与 β 角的终边相同,则 β 用 α 表示为 β=α+2kπ(k∈Z). ?易误提醒 (1)不少同学往往容易把“小于 90° 的角”等同于“锐角”,把“0°~90° 的角”

等同于“第一象限的角”. 其实锐角的集合是{α|0° <α<90° }, 第一象限角的集合为{α|2kπ<α<2kπ π + ,k∈Z}. 2 (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同,终边相同的角的同一三角函数 值相等. [自测练习] 1.若 α=k· 360° +θ,β=m· 360° -θ(k,m∈Z),则角 α 与 β 的终边的位置关系是( A.重合 C.关于 x 轴对称 B.关于原点对称 D.关于 y 轴对称 )

解析:角 α 与 θ 终边相同,β 与-θ 终边相同. 又角 θ 与-θ 的终边关于 x 轴对称. ∴角 α 与 β 的终边关于 x 轴对称. 答案:C 知识点二 弧度的概念与公式 在半径为 r 的圆中 分类 1 弧度的角 定义(公式) 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角,用符号 rad 表

示. 角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形的面积公式 l |α|= (弧长用 l 表示) r 180? π 1° = rad;1rad=? ? π ?° 180 弧长 l=|α|· r 1 1 S= lr= |α|· r2 2 2

?易误提醒 角度制与弧度制可利用 180° =π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的 度量制度必须一致,不可混用. [自测练习] 3 2.弧长为 3π,圆心角为 π 的扇形半径为________,面积为________. 4 3 l 3π 1 解析:弧长 l=3π,圆心角 α= π,由弧长公式 l=|α|· r,得 r= = =4,面积 S= lr 4 |α| 3 2 π 4 =6π. 答案:4 6π

知识点三 任意角的三角函数

三角函数













设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 定 义 y 叫作 α 的正弦, 记作 sinα Ⅰ Ⅱ 各象限符号 Ⅲ Ⅳ 口诀 正 正 负 负 x 叫作 α 的余弦, 记作 cosα 正 负 负 正 一全正,二正弦,三正切,四余弦 y 叫作 α 的正切, x 记作 tanα 正 负 正 负

三角函数线 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM 为 余弦线 有向线段 AT 为正 切线

?易误提醒 三角函数的定义中, 当 P(u, ν)是单位圆上的点时有 sinα=ν, cosα=u, tanα ν ν u ν = ,但若不是单位圆时,如圆的半径为 r,则 sinα= ,cosα= ,tanα= . u r r u [自测练习] 3.若 sinα<0 且 tanα>0,则 α 是( A.第一象限角 C.第三象限角 ) B.第二象限角 D.第四象限角

解析: 由 sinα<0, 得 α 在第三、 四象限或 y 轴非正半轴上, 又 tanα>0, ∴α 在第三象限. 答案:C 4.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴.若 P(4,y)是角 θ 终边上一点, 2 5 且 sinθ=- ,则 y=________. 5 解析:由三角函数的定义,sinθ= 2 5 又 sinθ=- <0, 5 ∴y<0 且 y 2 5 2=- 5 , 16+y y , 16+y2

解之得 y=-8. 答案:-8

考点一 角的集合表示及象限角的判断|

2kπ π 1.(2015· 东城期末)若角 α 满足 α= + (k∈Z),则 α 的终边一定在( 3 6 A.第一象限或第二象限或第三象限 B.第一象限或第二象限或第四象限 C.第一象限或第二象限或 x 轴非正半轴上 D.第一象限或第二象限或 y 轴非正半轴上 2kπ π 解析:由 α= + ,k∈Z, 3 6 π 当 k=0 时,α= ,终边在第一象限. 6

)

2π π 5π 当 k=1 时,α= + = ,终边在第二象限. 3 6 6 2π π π 当 k=-1 时,α=- + =- ,终边在 y 轴的非正半轴上,故选 D. 3 6 2 答案:D 1 2.已知 sinα>0,cosα<0,则 α 所在的象限是( 2 A.第一象限 C.第一或第三象限 B.第三象限 D.第二或第四象限 )

π π 解析:因为 sinα>0,cosα<0,所以 α 为第二象限角,即 +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,则 + 2 4 1 π 1 1 kπ< α< +kπ,k∈Z.当 k 为偶数时, α 为第一象限角;当 k 为奇数时, α 为第三象限角, 2 2 2 2 故选 C. 答案:C 3.在-720° ~0° 范围内所有与 45° 终边相同的角为________. 解析:所有与 45° 有相同终边的角可表示为: β=45° +k×360° (k∈Z), 则令-720° ≤45° +k×360° <0° , 765 45 得-765° ≤k×360° <-45° ,解得- ≤k<- , 360 360 从而 k=-2 或 k=-1,代入得 β=-675° 或 β=-315° . 答案:-675° 或-315°

解决终边相同的角的集合的两个方法 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边 相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角. (2)利用终边相同的角的集合 S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角 β 所在的象限时,只 需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和,然后判断角 α 所在的象限.

考点二 三角函数的定义|

已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上, 3 求 10sinα+ 的值. cosα [解] 设 α 终边上任一点为 P(k,-3k), 则 r= k2+?-3k?2= 10|k|.

当 k>0 时,r= 10k, ∴sinα= -3k 3 1 10k =- , = = 10, k 10k 10 cosα 3 =-3 10+3 10=0; cosα

∴10sinα+

当 k<0 时,r=- 10k, -3k 3 ∴sinα= = , - 10k 10 - 10k 1 = =- 10, cosα k ∴10sinα+ 3 =3 10-3 10=0. cosα 3 =0. cosα

综上,10sinα+

用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标, 则可先求出点 P 到原点的距离 r, 然后用三角函数的 定义求解. (2)已知角 α 的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点 的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.

1.已知 α 是第二象限角,P(x, 5)为其终边上一点,且 cosα= A. 3 C.- 2 解析:依题意得 cosα= 答案:D B.± 3 D.- 3

2 x,则 x=( 4

)

x 2 = x<0,由此解得 x=- 3,选 D. x2+5 4

考点三 扇形的弧长及面积公式|

(1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角. (2)已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大? [解] (1)设圆心角是 θ,半径是 r,

2r+rθ=10 r=4, ? ? ? ? ? ?r=1, ? 则?1 2 ? (舍),? 1 ?θ=8 r =4 ? ? ? ?2θ· ?θ=2, 1 故扇形圆心角为 . 2 (2)设圆心角是 θ,半径是 r, 则 2r+rθ=40. 1 2 1 S= θ· r = r(40-2r)=r(20-r) 2 2 =-(r-10)2+100 ≤100, 当且仅当 r=10 时,Smax=100,θ=2. 所以当 r=10,θ=2 时,扇形面积最大.

弧度制应用的两个关注点 1 nπr (1)弧度制下 l=|α|· r,S= lr,此时 α 为弧度.在角度制下,弧长 l= ,扇形面积 S 2 180 nπr2 = ,此时 n 为角度,它们之间有着必然的联系. 360 (2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形.

2.已知扇形的半径是 2,面积为 8,则此扇形的圆心角的弧度数是( A.4 C.8 B.2 D.1

)

解析:设半径为 r,圆心角的弧度数为 θ, 1 1 由 S= θr2,∴8= ×θ×4,∴θ=4. 2 2 答案:A

9.数形结合思想在三角函数中的应用 1 【典例】 (1)满足 cosα≤- 的角 α 的集合为________. 2 (2)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一 → 点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于 C(2,1)时,OP的坐标为 ________.

[思路点拨] (1)利用三角函数线可直观清晰地得出角 α 的范围. (2)点 P 转动的弧长是本题的关键,可在圆中作三角形寻找 P 点坐标和三角形边长的关 系. 1 [解析] (1)作直线 x=- 交单位圆于 C,D 两点,连接 OC,OD, 2 则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角 α 终边的范围,故满足 条件的角 α 的集合为
? ? ? 2 4 ?α 2kπ+ π≤α≤2kπ+ π,k∈Z ?. 3 3 ? ? ?

(2)如图所示, 过圆心 C 作 x 轴的垂线,垂足为 A,过 P 作 x 轴的垂线与过 C 作 y 轴的垂线交于点 B.因为圆心移动的距离为 2, 所以劣弧 PA =2, π 即圆心角∠PCA=2,则∠PCB=2- , 2 π? 所以|PB|=sin? ?2-2?=-cos2, π? |CB|=cos? ?2-2?=sin2, 所以 xP=2-|CB|=2-sin2, yP=1+|PB|=1-cos2, → 所以OP=(2-sin2,1-cos2).
? ? 2 4 2kπ+ π≤α≤2kπ+ π,k∈Z ? [答案] (1)?α? 3 3 ? ? ?

(2)(2-sin2,1-cos2) [思想点评] (1)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况, 然后观察 适合条件的角的位置; (2)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化,结合弧长公式、三角函数定义 寻找关系. [跟踪练习] 函数 y=ln(sinx- 解析:(1)∵sinx> 3 )的定义域为________. 2

3 3 ,作直线 y= 交单位圆于 A,B 两点,连接 OA,OB,则 OA 与 2 2

OB 围成的区域 ( 图中阴影部分 ) 即为角 α 的终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为

π 2π ? ? ? ?x 2kπ+ <x<2kπ+ ,k∈Z? . 3 3 ? ? ?

π 2π? 答案:? ?2kπ+3,2kπ+ 3 ?(k∈Z)

A 组 考点能力演练 π π? 1.已知 MP、OM、AT 分别为角 θ? ?4<θ<2?的正弦线、余弦线、正切线,则一定有( A.MP<OM<AT C.AT<OM<MP B.OM<AT<MP D.OM<MP<AT )

π π? 解析:如图所示,MP、OM、AT 分别为角 θ? ?4<θ<2?的正弦线、 π π 余弦线、 正切线, 由于 <θ< , 所以 OM<MP, 又由图可以看出 MP<AT, 4 2 故可得 OM<MP<AT,故选 D. 答案:D 2.已知 sinα<0,cosα<0,则角 α 的终边所在的象限是( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

解析:由 sinα<0 得角 α 的终边在第三或第四象限,由 cosα<0 得角 α 的终边在第二或第 三象限,所以满足 sinα<0,cosα<0 的角 α 的终边在第三象限,故选 C. 答案:C 3.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所对的弧长是( A.2 2 C. sin1 B.sin2 D.2sin1 )

1 解析:由题设,圆弧的半径 r= , sin1 ∴圆心角所对的弧长 l=2r= 答案:C 1 4.若 x∈(0,2π),则 sinx> 的必要不充分条件是( 2 ) 2 . sin1

π 5π A. <x< 6 6 π π C. <x< 6 2

π B. <x<π 6 π 5π D. <x< 3 6

1 π 解析:本题考查三角函数的性质与充分必要条件.依题意,由 sinx> ,x∈(0,2π)得知 2 6 5π π π 1 π 5π 1 <x< ,可以推得 <x<π;反过来,由 <x<π 不能得知 sinx> ,如取 <x= <π,此时 sinx= . 6 6 6 2 6 6 2 1 π 因此,sinx> 的必要不充分条件是 <x<π,故选 B. 2 6 答案:B 7π 5. 点 P 从(-1,0)出发, 沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达点 Q, 则点 Q 的坐标为( 3 1 3 A.?- , ? ? 2 2? 1 3 C.?- ,- ? 2? ? 2 B.?- )

?

3 1? ,- 2 2? 3 1? , 2 2?

D.?-

?

7π 解析:设点 A(-1,0),点 P 从(-1,0)出发,沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达点 Q, 3 7π π 2π 2π 1 2π 3 则∠AOQ= -2π= (O 为坐标原点),所以∠xOQ= ,cos =- ,sin = ,所以点 3 3 3 3 2 3 2 1 3 Q 的坐标为?- , ?. 2 2 ? ? 答案:A 6.如果角 θ 的终边经过点?-

?

3 1? , ,那么 tanθ 的值是________. 2 2?

3 解析:由定义知 tanθ= =- . 3 3 - 2 答案:- 3 3

1 2

2π 2π sin ,cos ?,则 α=________. 7.已知角 α(0≤α<2π)的终边过点 P? 3? ? 3 2π 解析: 本题考查了三角函数值的概念及同角三角函数的关系问题. 由已知条件 sin >0, 3 2π cos 3 2π 3 11π cos <0 可得角 α 的终边在第四象限,又由 tanα= =- (0≤α<2π)可得 α= . 3 2π 3 6 sin 3 11π 答案: 6 8.(2016· 成都一诊)在直角坐标系 xOy 中,已知任意角 θ 以坐标原点 O 为顶点,以 x 轴

的非负半轴为始边,若其终边经过点 P(x0,y0),且|OP|=r(r>0),定义:sicosθ= π? “sicosθ”为“θ 的正余弦函数”,若 sicosθ=0,则 sin? ?2θ-3?=________.

y0-x0 ,称 r

π 解析:因为 sicosθ=0,所以 y0=x0,所以 θ 的终边在直线 y=x 上,所以当 θ=2kπ+ , 4 π? π π? π 1 ? k∈Z 时,sin? ?2θ-3?=sin?4kπ+2-3?=cos3=2; π 5π 2θ- ? 当 θ=2kπ+ ,k∈Z 时,sin? 3? ? 4 5π π π 1 4kπ+ - ?=cos = . =sin? 2 3? ? 3 2 π 1 2θ- ?= . 综上得 sin? 3? 2 ? 1 答案: 2 9.已知扇形 OAB 的圆心角 α 为 120° ,半径长为 6, (1)求 ? AB 的长; (2)求 ? AB 所在弓形的面积. 解:(1)∵α=120° = 2π ,r=6, 3

2π ∴? AB 的长 l= 3 ×6=4π. 1 1 (2)∵S 扇形 OAB= lr= ×4π×6=12π, 2 2 1 2π 1 3 S△ABO= r2· sin = ×62× =9 3, 2 3 2 2 ∴S 弓形=S 扇形 OAB-S△ABO=12π-9 3. 10.已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tanθ=-x,求 sinθ+cosθ 的值. 解:∵θ 的终边过点(x,-1)(x≠0), 1 ∴tanθ=- , x 又 tanθ=-x, ∴x2=1,∴x=± 1. 当 x=1 时,sinθ=- 因此 sinθ+cosθ=0; 当 x=-1 时,sinθ=- 因此 sinθ+cosθ=- 2. 2 2 ,cosθ=- , 2 2 2 2 ,cosθ= , 2 2

综上 sinθ+cosθ=0 或- 2. B 组 高考题型专练 1.(2011· 高考课标全国卷)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终 边在直线 y=2x 上,则 cos2θ=( 4 A.- 5 3 C. 5 ) 3 B.- 5 4 D. 5

解析:∵角 θ 的终边在直线 y=2x 上, ∴tanθ=2. cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 则 cos2θ= 2 = =- . 5 cos θ+sin2θ 1+tan2θ 答案:B → 2.(2012· 高考安徽卷改编)在平面直角坐标系中,点 O(0,0),P(6,8),将向量OP绕点 O 3π → → 按逆时针方向旋转 后得向量OQ,则点OQ的坐标是( 2 A.(8,-6) C.(-6,8) 解析:|OP|=10,且设∠xOP=θ, 6 3 4 ∴cosθ= = ,sinθ= . 10 5 5 3π? → 设OQ=(x,y),则 x=10cos? ?θ+ 2 ?=10sinθ=8, 3π? y=10sin? ?θ+ 2 ?=-10cosθ=-6. 答案:A 3.(2014· 高考大纲卷)已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cosα=( 4 A. 5 3 C.- 5 解析:cosα= 答案:D 4.(2014· 高考新课标全国卷Ⅰ)若 tanα>0,则( A.sin2α>0 C.sinα>0 解析:tanα>0,知 sinα,cosα 同号, B.cosα>0 D.cos2α>0 ) -4
2

)

B.(-8,-6) D.(-6,-8)

)

3 B. 5 4 D.- 5 ?-4? +3
2=-5.

4

∴sin2α=2sinαcosα>0. 答案:A


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