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2008年北京市中学生数学竞赛复赛高一


2∞9年第4期

2008年北京市中学生数学竞赛复赛(高一)
一、填空题(每小题8分,共40分) 1.在Jp(1,1)、Q(1,2)、肘(2,3)、

以一10)=9,∥一6)=7,以2)=一9. 则八2 008)=——.

,v(吉,{)四个点中,能成为函数,,=口。的
图像与其反函数的图像的公共点

的只可能是 2.如图

三荛麓三[
边形彻cD
方形纸片,

.{

是一张长

图l

烹望坚:兜:J=。?掣 阴影部分的曲边
三角形的面积是——.

… 图2

将加、曰c折起,使A、口两点重合于边cD
上的点P,然后压平得折痕EF、GH.

5.对任意正实数石,用尸(戈)表示10&互 的整数部分.则F(1)+,(2)+…+F(1 023)

若咫=2,PG=l,EG=打,则长方形纸片

彻CD的面积为——.
3.二次函数以菇)满足。

=——?
二、(15分)证明: (2)(2',+1)2=4』4+4名3+4彳2+4算+l
≥424+4戈3+5石2+2名+1.

故印+肌的最小值为7.

删=而=√字+哥=7
(2x2+x+1)2=4≯+4x3+5咒2+2茁+1

若(1)成立,则

8.在条件等式两边都乘以4,有
4戈4+4x3+4算2+4戈=4’,2+4,,.

322+4x+l≤o,一l≤x≤一吉,工:一1.
于是,(2,+1)2=1,有,,=O或),=一1, 得解(一1,0),(一l,一1). 若(2)成立,则
石2—2石≤0.0≤x≤2.

配方变形得 4戈4+4并3+4戈2+4戈+l:(2y+1)2. 注意到
(2石2+石)2=4戈4+4戈3+z2



故算=0,l,2. 当工=O时,',=一1或0,从而有解 (0,0),(0,一1). 当茗=】时,,,2+,,一4=0,,,无整数解. 当x=2时,),2+),一30=0,),=一6或5. 有解(2,一6),(2,5). 综上,满足条件的解是 (,1,0),(一l,一1),(0,O),(0,一1), (2,一6),(2,5). (张同君提供)

是两个相邻的平方数,并且

2算2+菇=2(并+{)2一{
作为实值函数其最小整数值等于0. 从而,在石取整数值条件下
12石2+z l≤I 2茗2+茗+l I.

故只有两种情况. (1)(2y+1)2=4x4+4名3+4石2+4算+l
≤424+423+茁2.

万方数据

中等数学

tan

3一啪2一tan?+tan{一tar-{一协吉 =锄3?t锄2?t鲫-÷t锄吉?t锄{?咖丢

taIn

l’tan

Z严l=争l一啪l。ta_nZ:尹U.

由l+2=3,得t帅(1+2)=t卸3,即

#掣去罂三:协3. r五iF面忑2
tan j’

三、(15分)如

图3,佃是已知圆
的一条弦,它将圆 分成两部分,肘、Ⅳ 分别是两段弧的中 点,以点曰为旋转


故laIl

l+tan 2=tan 3一taII 1.tan 2?tan 3

=争L£m 3一tan 2一km 1
=tan

3?lan 2?tan 1.





中心,将弓形肼日
顺时针转一个角度

Ⅳ 图3

成弓形A。伽,MI 的中点为P.求证:胛上ⅣP.

四、(15分)定义在区间[0,1]上的函数

同理,由于o<吉<吉<专<号,则 tan吉?tan吉≠t 与?一t锄{?t觚吉≠o. 由丢+{=吉,得
o j

八z)满足八o)=八1)=o,且对任意的石。、并:
∈[O,1]都有

tan(吉+{)=tan丢,


爿旦毒丝)≤∥并。)+八z:).
(1)证明:对任意的x∈[0,1],都有

“戈)≥o;

(2)求“导)的值;

?一tan吉?tan号~2‘ 故锄吉+啪{ =tan丢一tan丢?tan吾?tan吉 2咖虿一啪i。啪了。胁百
l l 1

等』tan吉.
=tan吾?tan喜?tan吉.
=协3?tan

(3)计算“丢)+,(丢)+…+厂(毒)+ …+“毒).
五、(15分)北京市中学有m(m>2)名 中学生为“北京奥运会”共提交了n条不同 的建议.已知其中任两名学生提交的建议中 至少有一条建议是相同的,也至少有一条建 议是不同的.求证:提交建议的学生数m不 超过2”1.

j啪i一啪了一啪i


①+②得

协3一伽2一胁t+t觚告一胁{一t趴告
2?胁-+tan{?tan{?tan吉.
三、如图4,取

参考答案

AB的中点c,A.曰 的中点C.,易知 A.曰=A曰,于是,
一l

一山Ⅳ(丢,去)2.拈+学3.
堋031.54.簪5.8194
二、l、2、3弧度都不等于号+凡7c(n∈
Z).则t柚l、t柚2、tan 3都有意义,且

Cl=AC.

联结鹏.、^℃. 则们。上A。B,
NCLAB.

N 图4

在未旋转时,c】

与C是同一点,删是

万方数据

2009年第4期

垂直于佃的直径.由相交弦定理得
Mct?NC=AC?cB=ACz.

联结Pc、阳。.则 Pc.些Ac,Pc些A.c.,
么4I
Cl

“雩)≤删+“吉)一o+o—o.
于是,“丢)≤o. 但由(1)知“{)≥o,故

JP=么CI Pc=么』4CP.

故脱。?cⅣ=昭J?Pc,即 们I Pe。

7百5丽。

“{)=“专)=o.
继续求下去可得

,:90。+2AcP:么脚,
么MPc。=么PNc.

又么们I P=900+么Al Cl P 所以,△们.P∽△PC~,有
设刚交A层于K.则么C,PⅣ=么繇,Ⅳ.
南女[MPN=么MPC。+[Cl
PN

“毒)=o(I|}=1,2,…,2 008). 因此,厂(丢)+/(丢)+…+/(毒)+… 十“毒)=o.
五、设A为m名中学生所提不同建议的

=么删G+么C酬=900.
因此,MPLNP.

集合,Am=l,2,…,m)表示第i个学生提
的建议的集合,以I
x I表示集合x中元素的

四、(1)任取石。=算:=石∈[O,1],贝4

,“萼)≤m)+“戈),
即八石)≤矾善).
于是,厂(石)≥0.

个数,i表示x的补集,则I A 1.凡.因为任两 名学生提出的建议中都至少有一条是相同 的.也至少有一条是不同的,所以,
,4i

n Aj≠彩,月j≠A,(1≤i<,≤m).

故对任意的并∈[o,1]都有“并)≥o. (2)由/(0)=以1)=0,得

由Ai nAj=g,可以断定A.≠Ai(i,,= l,2,…,m且i≠_『).

“学)≤∥o)+以1)=o+o=o.、
于是,一丢)≤o. 但由(1)结果知“丢)≥o,故“丢)=o. 由“丢)=o,/(1)=o,得

如若不然,假设某个A产Ai,由Ai n Ai
=彩可得A。nA『-0,与AinA,≠g矛盾. 这样就形成了如下的2m个集合:

A。,』4:,…,A。,石,五,…,石,
它们都是A的子集合,且彼此不等.因为n 个元素的集合的子集个数为2”,所以,2巩≤ 24.即m≤2”1. 故提交建议的学生数m不超过2”1.

“掣)≤“吉)们)-o+o=。.
于是,“丢)≤o. 由(?)知“寻)≥o,故“昙)=o. (3)由/(o)=o,“丢)=o,得
万方数据

(事实上,等号可以达到,我们通过n;4
的情况说明,m可以等于24~=8.例如: {o},{n,6 f,{口,c},}口,d},{口,c,d}, {口,6,c}。}口.,6,d},}口。6,c,Jf 就是一例.) (李延林提供)


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