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两角和与差的余弦公式(1)


◆目标:1.理解两角和与差的余弦公式.

2.通过三角计算的学习,培养学生的计 算能力. 3.培养学生学习数学的兴趣.
◆重点:两角和与差的余弦公式的推导和运用

.
.

◆难点:两角和与差的余弦公式的推导和运用



习 练


1.角? 的终边与单位圆的交点坐标 为 (cos ?,sin?) ; 角 ? 的终边与单位圆的交点坐标 为 (cos?,sin?) .

2. a ?b ?

a ? b cos a, b



若 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ),

则 a ?b ?

x1 x2 ? y1 y2





习 练



3.sin30°= cos30°= sin45°= cos45°= sin60°= cos60°=

1 2

2 2
3 2

, 3 2 ; , 2 2 ; , 1 . 2

由预习练习知道,

创 设 情 境 兴 趣 导 入

1 3 cos 60? ? , cos 30? ? , 2 2

?cos(60? ? 30?) ? cos 30 ??
1 3 cos 60? ? cos 30? ? ? 2 2
显然

3 2

cos ? 60? ? 30?? ? cos60?- cos30?.

cos ?? ? ? ? ? cos? - cos ?.

动 脑 思 考 探 索 新 知

? 在单位圆中,设向量 OA、 OB 与x轴正半轴的夹角分别为 ? 和
??? ? ??? ?

则点A
所以

?cos?,sin? ?
1

,点B ?cos?,sin? ? .

OA ? ?cos?,sin? ?
,
0B ?
1 ;

OB ??cos?,sin? ?

且 0A ?

OA, OB ? ?

??

于是 OA ? OB ? OA ? OB ? cos OA,OB ? cos(? - ?) 又

OA ? OB ? cos?cos? ? sin?sin?
cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

所以

动 脑 思 考 探 索 新 知

cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

(1)

cos(? ? ? ) ? cos ?? ? (?? )?

? cos ? ? cos(?? ) ? sin ? ? sin(?? )
? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

(2)

说明:(1)、(2)两式对任意角都成立. 由此得到两角和与差的余弦公式

cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

公式特征: 余余正正符号异

例1 求 cos 75? 的值.

巩 固 知 识 典 型 例 题

解 cos 75? ? cos(45? ? 30?)

? cos 45? cos 30? ? sin 45? sin 30?
2 3 2 1 ? ? ? ? 2 2 2 2

?

6? 2 . 4

分析 可利用公式将 75°角看作45°角 与30°角之和.

练习1. 求cos15°值.

巩 固 知 识 典 型 例 题

3 4 cos ? ? , cos ? ? , 例2 设 并且? 和? 都是锐角,求cos(? ? ? ) 5 5
的值. 解

3 4 因为 cos ? ? , cos ? ? , 5 5 并且? 和? 都是锐角,
2 所以 sin ? ? 1 ? cos ? ?

4 5 3 sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 5 因此 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
3 4 4 3 ? ? ? ? ?0 5 5 5 5

分析 可以利用公式, 但是需要首先求出 sin ? 与 sin ? 的值.

自 我 反 思 目 标 检 测

练习2. 已知 sin ? ?

1 3 , cos ? ? , 且?,? 均为锐角,求 5 10

cos(? ? ? ) 的值.

理 论 升 华 整 体 建 构

两角和与差的余弦公式内容是什么?

cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?; cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?.


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