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2014高考数学备考学案(文科)能力提升第56课 立体几何中的翻折问题


考纲要求
掌握平面图形翻折为立体图形的过程中, 几何元素和几何关 系的变化情况.

典例剖析
【例 1】 (2011 陕西高考)如图,在 ?ABC 中,?ABC ? 45 ,?BAC ? 90 ,
? ?

AD 是 BC 上的高,沿 AD 把 ?ABD 折起,使 ?BDC ? 90? .
(1)

证明:平面 ABD ⊥平面 BDC ; (2 )设 BD ? 1 ,求三棱锥 D ? ABC 的表面积.

A

A

D

B

D

C
B

C

【解析】 (1)∵折起前 AD 是 BC 边上的高, ∴当 ?ABD 折起后, AD ? DC, AD ? DB , 又 DC ? DB ? D ,∴ AD ⊥平面 BDC , 又∵ AD ? 平面 ABD ,∴平面 ABD ⊥平面 BDC .

(2)由(1)知, DA ? DB , DA ? DC , DB ? DC , ∵ DA ? DB ? DC ? 1 ,∴ AB ? BC ? CA ? 2 ,

S?DAM ? S?DBC ? S?DCA

1 1 ? ? 1? 1 ? , 2 2

1 3 , S?ABC ? ? 2 ? 2 ? sin 60? ? 2 2 1 3 3? 3 ? ∴三棱锥 D ? ABC 的表面积是 S ? ? 3 ? . 2 2 2

【变式】 (2012 江西高考) 如图, 在梯形 ABCD 中, AB ∥ CD ,E , F 是线段 AB 上 的 两 点 , 且 DE ? AB , CF ? AB , AB ? 12 , AD ? 5 , BC ? 4 2 ,

DE ? 4 . 现将 ?ADE ,?CFB 分别沿 DE ,CF 折起, A, B 两点重合与点 G , 使
得到多面体 CDEFG . (1)求证:平面 DEG ? 平面 CFG ; (2)求多面体 CDEFG 的体积.
D C D C

A

E

F

B

E G

F

【解析】 (1)∵ DE ? AB , CF ? AB ,

AD ? 5 , BC ? 4 2 , DE ? 4 ,
∴ CF ? DE ? 4 ,∴ AE ? ∴折叠完后 EG ? 3, GF ? 4 ,
2 2 2 又∵ EF ? 12 ? AE ? BF ? 5 ,∴ EG ? GF ? EF ,∴ EG ? GF ,

AD2 ? DE 2 ? 3, BF ? BC 2 ? CF 2 ? 4 ,

又∵ CF ? 平面 EGF , GE ? 平面 EGF , ∴ CF ? GE , CF ? GF ? F ,∴ EG ? 平面 CFG , ∵ EG ? 平面 DEG ,∴平面 DEG ? 平面 CFG .

(2)过 G 作 GO ? EF ,

GO 即为四棱锥 G ? CDEF 的高,

D O G

C

E

F

∵ GO ? EF ? GG ? GF , ∴ 5GO ? 3 ? 4 , GO ? ∴ VCDEFG ? VG ?CDEF

12 , 5

1 12 ? ? 5 ? 5 ? ? 20 . 3 5

E F 【例 2】 2012 珠海二模) ( 在边长为 4 的正方形 ABCD 中, 、 分别为 BC 、

CD 的中点, M 、 N 分别为 AB 、CF 的中点,现沿 AE 、 AF 、 EF 折叠,
使 B 、 C 、 D 三点重合,构成一个三棱锥. (1)判别 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明; (2)证明 AB ? 平面 BEF ; (3)求多面体 E ? AFNM 的体积.

B
A M B D

M
F N E C

N F E

A

【解析】 (1) MN ∥平面 AEF ,证明如下: 因翻折后 B 、 C 、 D 三点重合(如图) , B

M A E

N F

∴ MN 为 ?ABF 的一条中位线, ∴ MN ∥ AF , ∵ AF ? 平面 AEF , MN ? 平面 AEF ∴ MN ∥平面 AEF .

(2)∵ AB ? BE, AB ? BF , BE ? BF ? B , ∴ AB ? 平面 BEF . (3)∵ AB ? 4, BE ? BF ? 2 , ∴ VA? BEF ? ∴又

1 1 8 ? ( BE ? BF ) ? AB ? , 3 2 3

VE ? AFNM S AFNM 3 ? ? , VE ? ABF S?ABF 4
3 8 ? ? 2. 4 3

∴ VE ? AFNM ?

【变式】 (2012 深圳一模)如图,直角梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AD ? AB ,

E CD ? 2 AB ? 4 , ? 2 , 为 CD 的中点, ?BCE 沿 BE 折起, CO ? DE , 将 使得 AD
其中点 O 在线段 DE 内. (1)求证: CO ? 平面 ABED ; (2)问 ?CEO (记为 ? )多大时, 三棱锥 C ? AOE 的体积最大? 最大值为多少?
C

D

E

C
D O θ E

A

B

A

B

【解析】 (1)证明:在直角梯形 ABCD 中,

CD ? 2 AB , E 为 CD 的中点,
则 AB ? DE ,又 AB ∥ DE ,

AD ? AB ,知 BE ? CD .
∵ BE ? DE , BE ? CE , CE ? DE ? E , ∴ BE ? 平面 CDE . ∵ CO ? 平面 CDE ,∴ BE ? CO. 又 CO ? DE , BE ? DE ? E , ∴ CO ? 平面 ABED .

(2)由(1)知 CO ? 平面 ABED , ∴ VC ? AOE ?

1 1 1 S?AOE ? OC ? ? ? OE ? AD ? OC . 3 3 2

∵ CD ? 2 AB ? 4 , AD ? 2 , CE ? 2 , 得三棱锥 C ? AOE 中,

OE ? CE cos? ? 2cos? , OC ? CE sin ? ? 2sin ? ,
∴ VC ? AOE ?

2 2 sin 2? ? , 3 3
π 2
π 时取等号, 4

当且仅当 sin 2? ? 1, ? ? (0, ) ,即 ? ?

(此时 OE ? 2 ? DE , O 落在线段 DE 内) . 故当 ? ?

π 2 时, 三棱锥 C ? AOE 的体积最大,最大值为 . 4 3

归纳反思
翻折问题的关键在于抓住: 1.两图的特征关系. 2.哪些量在变,哪些量没变.


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