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2011-2012学年第一学期期末高二数学(理科)试题及答案


肇庆市中小学教学质量评估 肇庆市中小学教学质量评估 2011—2012 学年第一学期统一检测题 — 高二数学(理科) 高二数学(理科)

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 选择题: 只有一项是符合题目要求的. 只有一项是符合题目要求的 1.在空间中,下列命题正确的是

A.垂直于同一平面的两条直线平行 C.平行于同一直线的两个平面平行 2.下列是全称命题且是真命题的是 A. ?x ∈ R, x 2 > 0 C. ?x ∈ Q, x 2 ∈ Q
3.双曲线 x2 y2 ? = 1 的渐近线方程是 25 4

B.垂直于同一平面的两个平面平行 D.平行直线的平行投影重合

B. ?x, y ∈ R, x 2 + y 2 > 0
2 D. ?x0 ∈ Z , x0 > 1

2 A. y = ± x 5

5 B. y = ± x 2

C. y = ±

4 x 25

D. y = ±

25 x 4

4.命题“若 a>-3,则 a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 A.1 B.2 C .3 D.4

5.已知向量 a = (1,1,0) , b = (?1,0,2) ,且 k a + b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 的值是 A.1 B. 1 5 C. 3 5 D. 7 5

6.若焦点在 x 轴上的椭圆 A. 3 B.

x2 y2 1 + = 1 的离心率为 ,则实数 k 等于 2 k 2 2 3 C. 8 3 D. 3 2

7.若圆 x 2 + y 2 + (m 2 ? 1) x + 2my ? m = 0 关于直线 x ? y + 1 = 0 对称,则实数 m 的值为
A.-1 或 3 B.-1 C .3 D.不存在

8.如图,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形, 则该几何体体积为
2 3

A. 4 3 C.4

B. 2 3 D.2

正视图 2

2 侧视图

俯视图

小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 填空题: 9.用一个平面截半径为 25 的球,截面面积是 225π,则球心到截面的距离为 、B(3,-2) 、C( 10.若 A(-2,3)
11.双曲线 1 ,m)三点共线,则 m 值为 2



.



.

x2 y2 ? = 1 的离心率等于 2 4



.

12.若动点 P 在 y = 2 x 2 + 1 上,则点 P 与点 Q(0,-1)连线中点的轨迹方程是



.

13.不等式 (a + x)(1 + x) < 0 成立的一个充分而不必要条件是 ? 2 < x < ?1 ,则 a 的取值范

围是



.
D C

14.如图,在梯形 ABCD 中,AB//CD,AB=4, CD=2. E、F 分别为 AD、BC 上点,且 EF=3, EF//AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积
A E

F

B

比为



.

小题, 解答须写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步 解答题: 骤.
15. (本小题满分 12 分)

求满足下列条件的直线的方程: (1)经过点 A(3,2) ,且与直线 4x+y-2=0 平行; (2)经过点 B(2,-3) ,且平行于过点 M(1,2)和 N(-1,-5)的直线;

(3)经过点 C(3,0) ,且与直线 2x+y-5=0 垂直.

16. (本小题满分 12 分) 如图,一个高为 H 的三棱柱形容器中盛有水. 若侧面 AA1B1B 水平放置时,液面恰 好过 AC、BC、A1C1、B1C1 的中点 E、F、E1、F1. 当底面 ABC 水平放置时,液面高为 多少?
E A C F E1 B A1 C1 F1 B1

17. (本小题满分 14 分) 求与 x 轴相切, 圆心在直线 3x-y=0 上, 且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 7 的圆的方 程.

18. (本小题满分 14 分) 如图,棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M、N、E、F 分别是 A1B1、A1D1、 B1C1、C1D1 的中点.
F C1 E B1 D A B

(1)求证:B、D、E、F 四点共面; (2)求证:平面 AMN//平面 BEFD; (3)求点 A1 到平面 AMN 的距离.
A1

N

M

C

19. (本小题满分 14 分) 如图, 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, F 分别是棱 BC、 1 上的点, E、 CC CF=AB=2CE, AB:AD:AA1=1:2:4. (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值; (2)证明:AF ⊥ 平面 A1ED; (3)求二面角 A1—ED—F 的大小的正弦值.
F A B E C D B1 A1 C1 D1

20. (本小题满分 14 分) 已知 F1、F2 分别为椭圆 C1: y2 x2 + = 1(a > b > 0) 的上、下焦点,其中 F1 也是抛 a2 b2
5 . 3

物线 C2: x 2 = 4 y 的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且 | MF1 |= (1)求椭圆 C1 的方程;
y

(2)已知 A(b,0) B(0,a) , ,直线
y=kx(k>0)与椭圆 C1 相交于 E、F 两点.

B F F1 M A O x

求四边形 AEBF 面积的最大值.

E

2011—2012 学年第一学期统一检测题 — 高二数学(理科) 高二数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题 题号 答案
1 A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 D 7 C 8 B

二、填空题
9.20 12. y = 4x 2 10. 1 2 11. 3 14.7:5

13. 2,+∞) (

三、解答题
15. (本小题满分 12 分)

解: 1)由直线 4x+y-2=0 得直线的斜率为-4, ( 所以经过点 A(3,2) ,且与直线 4x+y-2=0 平行的直线方程为
y-2=-4(x-3),即 4x+y-14=0.

(2 分)

(4 分)

(2)由已知,经过两点 M(1,2)和 N(-1,-5)的直线的斜率
k= ?5?2 7 = , ?1?1 2

(6 分)

所以,经过点 B(2,-3) ,且平行于 MN 的直线方程为
y+3= 7 ( x ? 2) ,即 7x-2y-20=0. 2

(8 分) (9 分) (10 分)

(3)由直线 2x+y-5=0 得直线的斜率为-2, 所以与直线 2x+y-5=0 垂直的直线的斜率为
1 . 2

所以,经过点 C(3,0) ,且与直线 2x+y-5=0 垂直的直线方程为
y= 1 ( x ? 3) ,即 x-2y-3=0. 2

(12 分)

16. (本小题满分 12 分)

C F E A E1 B A1

C1 F1 B1

解:当侧面 AA1B1B 水平放置时,水的体积 V 等于 四棱柱 ABFE—A1B1F1E1 的体积,
V = V四棱柱 = S 梯形ABFE ? H .

(3 分)

当底面 ABC 水平放置时,设水面高为 h,则水的体积 V = S ?ABC ? h . 因为 E、F 为 AC、BC 的中点,所以 S ?CEF = 所以 S 梯形ABFE =
3 S ?ABC . 4 1 S ?ABC , 4

(6 分)

(8 分) (11 分) (12 分)

3 3 由 S 梯形ABFE ? H = S ?ABC ? h ,即 S ?ABC ? H = S ?ABC ? h ,得 h = H . 4 4 3 故当底面 ABC 水平放置时,液面高为 H . 4

17. (本小题满分 14 分)

解:设所求的圆的方程是 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 (r > 0) , 则圆心到直线 x-y=0 的距离为 所以 r 2 = (
|a?b| 2 |a?b| 2

(2 分) (4 分)

, ①

) 2 + ( 7 ) 2 ,即 2r 2 = (a ? b) 2 + 14

(6 分)

因为所求的圆与 x 轴相切,所以 r 2 = b 2 又因为所求圆心在直线 3x-y=0 上,所以 3a-b=0

② ③

(8 分) (10 分)

?a = 1, ?a = ?1, ? ? 联立①②③,解得 ?b = 3, 或 ?b = ?3, ?r = 3, ?r = 3. ? ?
故所求圆的方程为 ( x ? 1) 2 + ( y ? 3) 2 = 9 或 ( x + 1) 2 + ( y + 3) 2 = 9 .

(12 分)

(14 分)

18. (本小题满分 14 分) (1)证明:如图,连接 B1D1. 因为 E、F 为 B1C1、C1D1 的中点, 所以 EF//B1D1. 又因为 BD//B1D1, 所以 EF//BD. 故 B、D、E、F 四点共面. (2)证明:连接 EN. 因为 M、N 为 A1B1、A1D1 的中点,所以 MN//B1D1. 又 EF//B1D1,所以 MN/ / EF. 因为 EF?平面 BEFD,所以 MN//平面 BEFD. 因为 E、N 为 B1C1、A1D1 的中点,所以 EN//A1B1,且 EN=A1B1. 又 AB//A1B1,且 AB=A1B1,所以 NE/ / AB,且 NE=AB. 所以四边形 ABEN 为平行四边行,故 AN//BE. 因为 BE?平面 BEFD,所以 AN//平面 BEFD. 因为 MN?平面 AMN,AN?平面 AMN,且 MN∩AN=N, 所以平面 AMN//平面 BEFD. (3)证明:设 A1 到平面 AMN 的距离为 d. 在?AMN 中, AM = AN = a 2 + 所以 S ?AMN = (9 分) (7 分) (8 分) (5 分) (6 分) (3 分) (4 分)
A N A1 M B1 D B F E C1

(2 分)

C

1 2 5 1 2 1 2 2 a = a , MN = a + a = a, 4 2 4 4 2
(11 分)

1 2 5 2 2 2 3 2 a× a ? a = a . × 2 2 4 16 8

因为 V三棱锥A1 ? AMN = V三棱锥A? A1MN ,
1 3 1 1 即 × a2 × d = × a2 × a , 3 8 3 8

(12 分) (13 分) (14 分)

解得 d =

a a ,故 A1 到平面 AMN 的距离为 . 3 3

19 . (本小题满分 14 分)

A1 B1

z D1 C1

解:以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 设 AB=1,依题意得 A(0,0,0) 1(0,0,4) ,A , D(0,2,0) ,E(1,
3 ,0 ) ,F(1,2,1). 2

(2 分)
A

F D E C y

1 (1)易得 EF = (0, ,1) , A1 D = (0,2,?4) . 2

(3 分)
x

B

所以 cos < EF , A1 D >=

EF ? A1 D | EF | ? | A1 D |

=

0 +1? 4 5 ×2 5 2

3 =? , 5

(5 分)

3 故异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 . 5 3 (2)易得 AF = (1,2,1) , A1 E = (1, ,?4) , A1 D = (0,2,?4) . 2

(6 分) (7 分) (8 分) (9 分)

因为 AF ? A1 E = 1 + 3 ? 4 = 0 , AF ? A1 D = 0 + 4 ? 4 = 0 , 所以 AF ⊥ A1 E , AF ⊥ A1 D . 又 A1E?平面 A1ED,A1D?平面 A1ED,A1E∩A1D= A1, 所以 AF⊥平面 A1ED. (3)设平面 EFD 的法向量为 m = ( x, y, z ) .

(10 分)

? EF ? m = 0, 1 1 ? 由 EF = (0, ,1) , ED = (?1, ,0) , ? 2 2 ? ED ? m = 0, ?
?1 ? 2 y + z = 0, ? x = ? z, ? 得? 解得 ? ? y = ?2 z. ?? x + 1 y = 0, ? ? 2

不妨令 z = ?1 ,

得 m = (1,2,?1) .

(11 分) (12 分) (13 分)

由(2)可知, AF = (1,2,1) 为平面 A1ED 的一个法向量. 于是 cos < m, AF >= m ? AF | m | ? | AF |
5 . 3 5 . 3

=

1+ 4 ?1 6× 6

=

2 , 3

从而 sin < m, AF >=

所以二面角 A1—ED—F 的大小的正弦值为

(14 分)

20. (本小题满分 14 分)

解: 1)设 M ( x0 , y 0 )( x0 < 0) . ( 由 C2: x = 4 y ,得 F1(0,1).
2

y B F F1

(1 分) ① ② (2 分) (3 分)
E M

因为 M 在抛物线 C2 上,故 x = 4 y 0 .
2 0

A O x

5 5 又 | MF1 |= ,则 y 0 + 1 = . 3 3

? 2 6 , ? x0 = ? ? 3 解①②得 ? ?y = 2 . ? 0 3 ?

(4 分)

2 2 6 2 ( ) 2 (? ) 4 8 3 + 3 因为点 M 在椭圆上,故 2 = 1 ,即 2 + 2 = 1 2 a b 9a 3b



(5 分) (6 分) (7 分)

又 c=1,则 a 2 = b 2 + 1



? 2 y2 x2 ?a = 4, 解③④得 ? 2 故椭圆 C1 的方程为 + = 1. 4 3 ?b = 3. ?

(2)不妨设 E ( x1 , y1 ) , F ( x 2 , y 2 ) ,且 x1 < x 2 .
y2 x2 12 将 y = kx 代入 + = 1 中,可得 x 2 = 2 , 4 3 3k + 4

(8 分) (9 分)

即 x 2 = ? x1 =

2 3 3k 2 + 4

,所以 y 2 = ? y1 =

2 3k 3k 2 + 4

.

由(1)可得 | OA |= 3 , | OB |= 2 . 故四边形 AEBF 的面积为
S = S ?BEF + S ?AEF = 1 1 × 2 x2 × 2 + × 2 y 2 × 3 = 2 x2 + 3 y2 . 2 2

(10 分)

(11 分)

所以 S =

4 3 3k + 4
2

+

6k 3k + 4
2

= 2 3 ? 1+

4 3k 3k 2 + 4

(12 分)

因为 3k 2 + 4 ≥ 4 3k ,所以

4 3k ≤ 1. 3k 2 + 4 2 3 时,等号成立. 3

(13 分)

所以 S ≤ 2 6 ,当且仅当 k =

故四边形 AEBF 面积的最大值为 2 6 .

(14 分)


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