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数列综合练习题3


数列复习题
一、选择题 1、若数列{an}的通项公式是 an=2(n+1)+3,则此数列 ( ) (A)是公差为 2 的等差数列 (B)是公差为 3 的等差数列 (C) 是公差为 5 的等差数列 (D)不是等差数列 2、等差数列{an}中,a1=3,a100=36,则 a3+a98 等于 ( ) (A)36 (B)38 (C)39 (D)42 3、含 2n+1 个项的等

差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( ) 2n ? 1 n ?1 n ?1 n ?1 (A) (B) (C) (D) n n n 2n 4、设等差数列的首项为 a,公差为 d,则它含负数项且只有有限个负数项的条件 是 ( ) (A)a>0,d>0 (B)a>0,d<0 (C)a<0,d>0 (D)a<0,d<0 5、在等差数列{an}中,公差为 d,已知 S10=4S5,则 (A)
a1 是 d

(

)

1 1 (B)2 (C) (D)4 2 4 6、 设{an}是公差为-2 的等差数列, 如果 a1+ a4+ a7+……+ a97=50, 则 a3+ a6+ a9…… + a99= ( ) (A)182 (B)-80 (C)-82 (D)-84 7、等差数列{an} 中,S15=90,则 a8= ( ) (A)3 (B)4 (C)6 (D)12 1 5 1 , , ,则 a101= 8、等差数列{an}中,前三项依次为 ( ) x ? 1 6x x 1 2 2 (A) 50 (B) 13 (C)24 (D) 8 3 3 3

9、数列{an}的通项公式 a n ?

1 n ?1 ? n

,已知它的前 n 项和为 Sn=9,则项数 n=

( ) (A)9 (B)10 (C)99 (D)100 10、等差数列{an}中,a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450,求 a2+a8= ( ) (A)45 (B)75 (C)180 (D)300 11、已知{an}是等差数列,且 a2+ a3+ a8+ a11=48,则 a6+ a7= ( ) (A)12 (B)16 (C)20 (D)24 12、在项数为 2n+1 的等差数列中,若所有奇数项的和为 165,所有偶数项的和 为 150,则 n 等于 ( ) (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 13、 等差数列{an} 的前 m 项和为 30, 前 2m 项和为 100, 则它的前 3m 项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 1 14 、等差数列 {an} 的公差为 ,且 S100=145 ,则奇数项的和 a1+a3+a5+ …… + 2

a99=( ) (A)60 (B)80 (C)72.5 (D) 其它的值 15、等差数列 {an} 中,a1+a2+……a10=15, a11+a12+…… a20=20 ,则 a21+a22+…… a30=( ) (A)15 (B)25 (C)35 (D)45 16、 等差数列{an}中, a1=3, a100=36, 则 a3+a98= ( ) (A)36 (B)39 (C)42 (D)45 17、 {an}是公差为 2 的等差数列, a1+a4+a7+……+a97=50, 则 a3+a6+……+ a99= ( ) (A)-50 (B)50 (C)16 (D)1.82 18、若等差数列{an}中,S17=102,则 a9= ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 19、 夏季高山上温度从山脚起每升高 100 米,降低 0.7℃,已知山顶的温度是 14.1℃, 山脚的温度是 26℃,则山的相对高度是 ( ) (A)1500 (B)1600 (C)1700 (D)1800 20、若 x≠y,且两个数列:x,a1,a2,y 和 x,b1,b2,b3,y 各成等差数列, 那 ( )(A)
3 4

么 (B)
4 3

a1 ? x ? y ? b3
(C)
2 3

(D)值不确

定 21、一个等差数列共有 2n 项,奇数项的和与偶数项的和分别为 24 和 30,且末 项比首项大 10.5, 则该数列的项数是 ( ) (A)4 (B)8 (C)12 (D)20 22、等差数列{an}中如果 a6=6,a9=9,那么 a3= ( ) 2 16 (A)3 (B) (C) (D)4 3 9 2 16 23、 设{an}是等比数列, 且 a1= , S3 = , 则它的通项公式为 an= ( ) 3 9

? 1? (A) 6 ? ? ? ?2 ?

n ?1

? 1 ? (B) 6 ? ? ? ? ? 2 ?

n

? 1? (C) 6 ? ? ? ? ? 2 ?

n ?1

? 1? (D) 6 ? ? ? ? ? 2 ?

n ?1



3 2

2a ? b = ( 2c ? d 1 1 1 (A)1 (B) (C) (D) 2 4 8 25、 已知等比数列{an} 的公比为 q, 若 a n?1 =m (n 为奇数) , 则 a 3n ?1 = (

24、 已知 a、 b、 c、 d 是公比为 2 的等比数列, 则

)

)

2

2

(A)mqn-1

(B) mqn

(C) mq

(D)

1 8

26、 已知等比数列前 10 项的和为 10, 前 20 项的和为 30, 那么前 30 项的和为( ) (A)60 (B)70 (C)90 (D)126 27、若{an}是等比数列,已知 a4 a7=-512,a2+a9=254,且公比为整数,则数列的

a12 是 (A)-2048

( (B)1024 (C)512 (D) -512

)

28、数列{an}、{bn}都是等差数列,它们的前 n 项的和为

S n 3n ? 1 ,则这两个 ? Tn 2n ? 1

数列的第 5 项的比为 ( ) 49 34 28 (A) (B) (C) (D)以上结论都不对 29 17 19 c a b ? 4 lg ? lg , 29、 已知 lg 2 则 a, b, c ( ) a b c (A)成等差数列 (B)成等比数列 (C)既成等差数列又成等比数列 (D)既不成等差数列又不成等比数列 30、若 a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 成等比数列,且公比为 q,则 q3+q2+q 的值为 ( )(A)1 (B)-1 (C)0 (D)2 31、若一等差数列前四项的和为 124,后四项的和为 156,又各项的和为 350, 则 此 数 列 共 有 ( ) (A)10 项 (B)11 项 (C)12 项 (D)13 项 32、 在 3 和 9 之间插入两个正数, 使前三个数成等比数列, 后三个数成等差数列, 则二数之和为 ( ) 1 1 1 1 (A) 13 (B) 11 或0 (C) 10 (D) 9 2 2 4 2 1 1 1 33、数列 1, , ,……, 的前 n 项和为 ( ) 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? ??? ? n 2n ? 1 2n n?2 2n (A) (B) (C) (D) n 2n ? 1 n ?1 n ?1
1 1 34、设数列{an}各项均为正值,且前 n 项和 Sn= (an+ ),则此数列的通项 2 an

an (

应 ) (B) an= n ? n ? 1 (D) an= 2 n ? 1



(A) an= n ? 1 ? n (C) an= n ? 2 ? n ? 1

35、数列{an}为等比数列,若 a1+ a8=387,a4 a5=1152,则此数列的通项 an 的表达 式 为 ( ) 1 (A) an =3×2n -1 (B) an =384×( )n -1 2 1 1 (C) an =3×2n -1 或 an =384×( )n -1 (D) an =3×( )n -1 2 2 36、 已知等差数{an}中, a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450, 则 a1+ a9= ( )

(A)45 (B)75 (C)180 37、已知等比数列{an}中,an>0,公比 q≠1,则
2 2 2 2 (A) a3 ? a7 ? a4 ? a6 2 2 2 2 (C) a3 ? a7 ? a4 ? a6 2 2 2 2 (B) a3 ? a7 ? a4 ? a6

(D)300 ( )

2 2 2 2 (D) a3 ? a7 与a4 ? a6 的大小不确定

9 1 2 38、在等比数列中,首项 ,末项 ,公比 ,求项数 ( ) 8 3 3 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 39、等比数列{an}中,公比为 2,前四项和等于 1,则前 8 项和等于 ( ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)21 40、某厂产量第二年增长率为 p,第三年增长率为 q,第四年增长率为 r,设这三 年增长率为 x,则有 ( ) p?q?r p?q?r (A) x ? (B) x ? 3 3 p?q?r p?q?r (C) x ? (D) x ? 3 3 二、填空题 1、已知等差数列公差 d>0,a3a7=-12,a4+a6=-4,则 S20=_______ 2、数列{an}中,若 a1,a2,a3 成等差数列,a2,a3,a4 成等比数列,a3,a4,a5 的倒数又成等差 数列,则 a1,a3,a5 成_______数列 3、已知{an}为等差数列,a1=1,S10=100,an=_______.令 an=log2bn,则的前五项之和 S5′=_______

1 1 1 1 ? 则其前 n 项和 Sn=________. 4、已知数列 , , ,?, 6 12 20 (n ? 1)(n ? 2)

5、数列前 n 项和为 Sn=n2+3n,则其通项 an 等于____________. 6、等差数列{an}中, 前 4 项和为 26, 后 4 项之和为 110, 且 n 项和为 187, 则 n 的值为____________. 7、已知等差数列{an}的公差 d≠0, 且 a1,a3,a9 成等比数列,

a1 ? a3 ? a9 的值是 a2 ? a 4 ? a10

________. 8、等差数列{an}中, S6=28, S10=36(Sn 为前 n 项和), 则 S15 等于________. 9、 等比数列{an}中, 公比为 2, 前 99 项之和为 56, 则 a3+a6+a9+…a99 等于________. 10、 等差数列{an}中, a1=1,a10=100,若存在数列{bn}, 且 an=log2bn,则 b1+b2+b3+b4+b5 等于____________. n ?1 n ? 2 n ? 3 , , , ? , 前 n 项的和为____________. 11、已知数列 1, n n n 12、已知{an}是等差数列,且有 a2+a3+a10+a11=48, 则 a6+a7=____________. 13、等比数列{an}中, a1+a2+a3+a4=80, a5+a6a7+a8=6480, 则 a1 必为________. 1 1 a?c 14、三个数 、1、 成等差数列,而三个数 a2、1、c2 成等比数列, 则 2 a c a ? c2 等于____________.

15、已知 lg x ,

1 , lgy 成等比数列, 且 x>1,y>1, 则 x、y 的最小值为________. 2
2 an , 已知{an}既是等差数列, 又是等比数列,则{an} ? 2a n ? 5

16、在数列{an}中, a n ?1

的前 20 项的和为________. 17、若数列{an}, a1 ?
2 1 (n∈N), 则通项 an=________. , 且a n ?1 ? a n ? 3 (n ? 2)(n ? 1)

18、已知数列{an}中, a4 ? 3 ? 2 2, an?1 ? ( 2 ? 1)an (n≥1), 则这个数列的通项公 式 an=________.
a c 19、 正数 a、 b、 c 成等比数列, x 为 a、 b 的等差中项, y 为 b、 c 的等差中项, 则 ? x y

的值为________. 20、等比数列{an}中, 已知 a1·a2·a3=1,a2+a3+a4=
7 , 则 a1 为________. 4

三、解答题 1、在等差数列{an}中,a1=-250,公差 d=2,求同时满足下列条件的所有 an 的和, (1)70≤n≤200;(2)n 能被 7 整除. 2、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a3=12, S12>0,S13<0.(Ⅰ)求公差 d 的取 值范围; (Ⅱ)指出 S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由.

3、数列{ an }是首项为 23,公差为整数的等差数列,且前 6 项为正,从第 7 项开 始变为负的, 回答下列各问: (1)求此等差数列的公差 d;(2)设前 n 项和为 S n ,求 S n 的最大值;(3)当 S n 是正数时,求 n 的最大值.

4、设数列{ an }的前 n 项和 S n .已知首项 a1=3,且 S n?1 + S n =2 a n ?1 ,试求此数列的通 项公式 an 及前 n 项和 S n .

5、已知数列{ an }的前 n 项和 S n ?

1 1 n(n+1)(n+2),试求数列{ }的前 n 项和. 3 an

6 、 已 知 数 列 { an } 是 等 差 数 列 , 其 中 每 一 项 及 公 差 d 均 不 为 零 , 设 (1)求所有这些方程的 ai x 2 ? 2ai ?1 x ? ai ?2 =0(i=1,2,3,…)是关于 x 的一组方程.回答: 公共根; (2)设这些方程的另一个根为 mi ,求证 差数列.
1 1 1 1 , , ,…, ,…也成等 m1 ? 1 m2 ? 1 m3 ? 1 mn ? 1

2 7、如果数列{ an }中,相邻两项 an 和 a n ?1 是二次方程 xn ? 3nxn ? cn =0(n=1,2,3…)的

两个根,当 a1=2 时,试求 c100 的值.

8、 有两个无穷的等比数列{ an }和{ an },它们的公比的绝对值都小于 1,它们的各项 和分别是 1 和 2,并且对于一切自然数 n,都有 a n ?1 ,试求这两个数列的首项和公 比.

9、有两个各项都是正数的数列{ an },{ bn }.如果 a1=1,b1=2,a2=3.且 an , bn , a n ?1 成等 差数列, bn , a n ?1 , bn ?1 成等比数列,试求这两个数列的通项公式.

10、若等差数列{log2xn}的第 m 项等于 n,第 n 项等于 m(其中 m?n),求数列{xn} 的前 m+n 项的和。

数列复习题 〈答卷〉 一、选择题 1、 A 2、 C 11、 D 12、 B 21、 B 22、 A 31、 A32、 二、填空题 3、 B 、 4、C 5、 A 6、 C 7、 C 8、 D 13、 C 14、 A 15、 B 16、 B 17、 D 18、 D A 23、 D 24、 C 25、 B 26、 B 27、 A 28、 B 33、 D34、 B 35、 C36、 C 37、 A 38、 B 39、 9、 C 10、 C 19、 D 20、 B C 29、 B 30、 B 40、 C

1、 1802、 等比 3、 2n-1,

13 62 n 4、 5、 2n+2.6、 11.7、 8、249、32 3 16 2( n ? 2)

10、 68211、 18、

?

n ?1 1 7 1 12、2413、-4 或 2. 14、 1 或 ? 15、 10 2 16、100. 17、 ? 2 3 6 n ?1 n?2 2 2 ? 1 19、2.20、 2 或 ? 3

?

三、解答题 1、 解: a1=-250, d=2, an=-250+2(n-1)=2n-252 同时满足 70≤n≤200, n 能被 7 整除的 an 构成一个新的等差数列{bn}. b1=a70=-112, b2=a77=-98,…, bn′=a196=140 其公差 d′=-98-(-112)=14. 由 140=-112+(n′-1)14, 解得 n′=19 ∴{bn}的前 19 项之和 S ? 19 ? (?112 ) ? 2、解: (Ⅰ)依题意,有 S12

19 ? 18 ? 14 ? 266 . 2 12 ? (12 ? 1) ? 12 a1 ? ?d ? 0 2

S13 ? 13a1 ?

?2a ? 11d ? 0 (1) 13 ? (13 ? 1) ? d ? 0 ,即 ? 1 2 ? a1 ? 6d ? 0 (2)
(3)

由 a3=12,得 a1=12-2d

将(3)式分别代入(1),(2)式,得

?24 ? 7d ? 0 24 ? d ? ?3 . ,∴ ? ? 7 ? 3? d ? 0

(Ⅱ)由 d<0 可知 a1>a2>a3>…>a12>a13. 因此,若在 1≤n≤12 中存在自然数 n,使得 an>0,an+1<0,则 Sn 就是 S1,S2,…,S12 中的最大值. 由于 S12=6(a6+a7)>0, S13=13a7<0,即 a6+a7>0, a7<0. 由此得 a6>-a7>0.因为 a6>0, a7<0,故在 S1,S2,…,S12 中 S6 的值最大. 3、 (1)由 a6=23+5d>0 和 a7=23+6d<0,得公差 d=-4.(2)由 a6>0,a7<0,∴S6 最大, S6=8.(3) 由 a1=23,d=-4,则 S n =

1 n(50-4n),设 S n >0,得 n<12.5,整数 n 的最大值为 12. 2

4、 ∵a1=3, ∴S1=a1=3.在 Sn+1+Sn=2an+1 中,设 n=1,有 S2+S1=2a2.而 S2=a1+a2.即 a1+a2+a1=2a2. ∴a2=6. 由 Sn+1+Sn=2an+1,……(1) Sn+2+Sn+1=2an+2,……(2) (2)-(1),得 Sn+2-Sn+1=2an+2-2an+1,∴an+1+an+2=2an+2-2an+1 即 an+2=3an+1 此数列从第 2 项开始成等比数列,公比 q=3.an 的通项公式 an= ?

? 3,当n ? 1时, n ?1 ?2 ? 3 ,当n ? 2时.

此数列的前 n 项和为 Sn=3+2× 3+2× 32+…+2× 3n – 1=3+ 5、 an = S n - S n ?1 =

2 ? 3(3 n ?1 ? 1) n =3 . 3 ?1

1 1 1 n(n+1)(n+2)- (n-1)n(n+1)=n(n+1).当 n=1 时,a1=2,S1= × 1× (1 3 3 3

+ 1)× (2 + 1)=2, ∴ a1= S1. 则 an = n(n + 1) 是 此 数 列 的 通 项 公 式 。 ∴

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ??? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) a1 a2 an 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) 2 2 3 n n ?1
=1-

1 n = . n ?1 n ?1

6、 (1)设公共根为 p,则 ai p 2 ? 2ai ?1 p ? ai ?2 ? 0 ① ai ?1 p 2 ? 2ai ?2 p ? ai ?3 ? 0 ②则②-① , 得 dp2+2dp+d=0,d≠0 为公差,∴(p+1)2=0.∴p=-1 是公共根.(直接观察也可以看出公共根为 - 1).(2) 另 一 个 根 为 mi , 则 mi + ( - 1)=

? 2ai ?1 2d 2d . ∴ mi +1= ? ? ?2 ? ai ai ai



a 1 1 1 }是以- 为公差的等差数列. ? ? i ,易于证明{ 2 mi ? 1 mi ? 1 2d
7、解由根与系数关系, an + a n ?1 =-3n,则( a n ?1 + an?2 )-( an + a n ?1 )=-3,即 an?2 - an =- 3.∴a1,a3,a5…和 a2,a4,a6…都是公差为-3 的等差数列,由 a1=2,a1+a2=-3,∴a2=-5.则 a 2 k =-3k -2,∴a100=-152, a 2 k ?1 =-3k+5,∴a101=-148,∴c100= a100 ? a101=22496 8、设首项分别为 a 和 b,公比 q 和 r. 则有 q ?1, r ?1 .依据题设条件,有

b a =1,① =2,② 1? r 1? q

?aq ?

n ?1 2

? br n?1 ,③ 由上面的①,②,③ 可得(1-q)2 q 2 n?2 =2(1-r) r n ?1 .令 n=1,有(1-q)2=2(1

-r),④设 n=2.则有(1-q)2q2=2(1-r)r,⑤ 由④和⑤,可得 q2=r,代入④ 得(1-q)2=2(1-q2).由于

1 1 4 16 ,r = .因此可得 a=1-q= ,b=2(1-r)= . 9 3 3 9 4 16 ? ? ?a?3 ?b ? 9 2 ∴? 和 经检验,满足 a n ? bn 的要求. 1 ? 1 ?q ? ? ?r ? 3 ? 9 ?
q≠1,∴有 q= ?

1 ? ?bn ? (a n ? a n ?1 ) 9、依据题设条件,有 ? 由此可得 2 ? ? a n ?1 ? bn bn ?1

bn ?

1 1 bn ( bn ?1 ? bn ?1 ) .∵ bn >0,则 2 bn ? bn?1 ? bn?1 。 ( bn ?1bn ? bn bn ?1 ) = 2 2

∴{ bn }是等差数列.∴ bn =

(n ? 1) 2 . 2
2



1 n 2 (n ? 1) 2 ? n(n ? 1) ? a ? bn ?1bn ? ? =? ,∴ an = n( n ? 1) ? 2 2 2 ? 2 ?
2 n

10、2m+n-1


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