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高中数学必修一函数的性质奇偶性精选习题测试(打印版)


奇偶性 2 3 2 1.已知函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax +bx +cx( A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 2 2.已知函数 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a] ,则( A. a ?

) )

1 ,b=0 3

/>B.a=-1,b=0

C.a=1,b=0
2

D.a=3,b=0

3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -2x,则 f(x)在 R 上的表达式是( ) A.y=x(x-2) B.y =x(|x|-1) C.y =|x|(x-2) D.y=x(|x|-2) 5 3 4.已知 f(x)=x +ax +bx-8,且 f(-2)=10,那么 f(2)等于( ) A.-26 B.-18 C.-10 D.10 5.函数 f ( x) ?

? x ?1 是( 1? x ? x ?1
2

1? x2



A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 6.若 ? (x) ,g(x)都是奇函数, f ( x) ? a? ? bg( x) ? 2 在(0,+∞)上有最大值 5,则 f(x)在(-∞,0) 上有( ) A.最小值-5 B.最大值-5 C.最小值-1 D.最大值-3 7.函数 f ( x) ?

x?2 ?2 1? x2
2

的奇偶性为________(填奇函数或偶函数) .

8.若 y=(m-1)x +2mx+3 是偶函数,则 m=_________. 9.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若 f ( x) ? g ( x) ?

x ?1

1

,则 f(x)的解析式为_______.

10.已知函数 f(x)为偶函数,且其图象与 x 轴有四个交点,则方程 f(x)=0 的所有实根之和为________. 11.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m) ,求实数 m 的取 值范围. 12.已知函数 f(x)满足 f(x+y)+f(x-y)=2f(x) f(y) x ? R,y ? R) · ( ,且 f(0)≠0,试证 f(x) 是偶函数. 3 2 13.已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x +2x —1,求 f(x)在 R 上的表达式. 14.f(x)是定义在(-∞,-5] ? [5,+∞)上的奇函数,且 f(x)在[5,+∞)上单调递减,试判断 f (x)在(-∞,-5]上的单调性,并用定义给予证明. 15.设函数 y=f(x) x ? R 且 x≠0)对任意非零实数 x1、x2 满足 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2) ( , 求证 f(x)是偶函数. 函数的奇偶性练习参考答案 2 3 2 1. 解析:f(x)=ax +bx+c 为偶函数, ? ( x) ? x 为奇函数,∴g(x)=ax +bx +cx=f(x) ? (x) 满足 · 2 奇函数的条件. 答案:A 2.解析:由 f(x)=ax +bx+3a+b 为偶函数,得 b=0.又定义域为[a-1, 2a] a-1=2a,∴ a ? ,∴

1 .故选 A. 3
2 2

3.解析:由 x≥0 时,f(x)=x -2x,f(x)为奇函数,∴当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-(x +2x)= -x -2x=x(-x-2) .∴ f ( x) ? ?
2 5 3

? x( x ? 2) ? x(? x ? 2)

( x ? 0), 即 f(x)=x(|x|-2)答案:D 4.解析:f(x) ( x ? 0),

+8=x +ax +bx 为奇函数,f(-2)+8=18,∴f(2)+8=-18,∴f(2)=-26.答案:A 5.解析:此 题直接证明较烦,可用等价形式 f(-x)+f(x)=0. 答案:B 6.解析: ? (x) 、g(x)为奇函数,∴ f ( x) ? 2 ? a? ( x) ? bg( x) 为奇函数.又 f(x)在(0,+∞)上有最大值 5, ∴f(x)-2 有最大值 3.∴ f(x)-2 在(-∞,0)上有最小值-3, ∴f(x)在(-∞,0)上有最小值-1.答案:C7.答案:奇函数 8.答 2 2 案:0 解析:因为函数 y=(m-1)x +2mx+3 为偶函数,∴f(-x)=f(x) ,即(m-1) x) +2m(-x) (- +3= m—1) +2mx+3, ( x 整理, m=0. 解析: f x) 得 9. 由 ( 是偶函数, x) g ( 是奇函数, 可得 f ( x) ? g ( x) ?
2

1 , ? x ?1

联 立 f ( x) ? g ( x) ? 11.答案: m ?

=1.令 x=0,∴f(y)+f(-y)=2f(0) f(y) ? f(-y)=f(y) · ,故 f(x)为偶函数.13.解析:本

x ?1 1 12.证明:令 x=y=0,有 f(0)+f(0)=2f(0) f(0) · ,又 f(0)≠0,∴可证 f(0) 2。

1

, ∴ f ( x) ?

1 1 1 1 1 ( ? )? 2 . 答 案 : f ( x) ? 2 10 . 答 案 : 0 2 x ?1 ? x ?1 x ?1 x ?1

题主要是培养学生理解概念的能力.f(x)=x +2x -1.因 f(x)为奇函数,∴f(0)=0.当 x<0 时,-x 3 2 3 2 3 2 > 0 , f ( - x ) = ( - x ) + 2 ( - x ) - 1 = - x + 2x - 1 , ∴ f ( x ) = x - 2x + 1 . 因 此 ,

3

2

。 ∞]上单调递减,所以 f(-x1)<f(-x2) ? f(x1)<-f(x2) ? f(x1)>f(x2) ,即单调减函数.15.解 析:由 x1,x2 ? R 且不为 0 的任意性,令 x1=x2=1 代入可证, f(1)=2f(1) ,∴f(1)=0. 又令 x1=x2 =-1,∴f[-1×(-1) ]=2f(1)=0,∴(-1)=0.又令 x1=-1,x2=x,∴f(-x)=f(-1)+f(x) =0+f(x)=f(x) ,即 f(x)为偶函数. 点评:抽象函数要注意变量的赋值,特别要注意一些特殊值,如,x1=x2=1,x1=x2=-1 或 x1=x2=0 等,然后 再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可. 函数值域的八大求法 方法一:观察法
2 例 1. 求函数 y ? 4 ? x 的值域。 [0,2] 。 2 2 2 解析:由 x ? 0及 4 ? x ? 0, 知 4 ? x ?[0,2] 。故此函数值域为

?x 3 ? f ( x) ? ?0 ?x 3 ?

? 2x 2 ?1 ? 2x ? 1
2

( x ? 0), ( x ? 0),
14.解析:任取 x1<x2≤-5,则-x1>-x2≥-5. 因 f(x)在[5,+

( x ? 0).

方法二:不等式法

y?
例 2. 求函数

( x 2 ? 1) 2 ( x ? 0) x2 的值域。

( x 2 ? 1) 2 x 4 ? 2x 2 ? 1 1 ? ? 2 ? x2 ? 2 ? 4 2 2 x x x 解析: ,?此函数值域为 [4,?? ) 。 方法三:反函数法 x ?1 y? (x ? ?4) x?2 例 3. 求函数 的值域。 2y ? 1 2y ? 1 x ?1 5 x? ? ?4 y? y ? 或y ? 1 1 ? y 。 由 x ? ?4 , 得 1 ? y x?2 得 2 解析:由 ,解得 。?此函数值域为 ?y ?

5 (??,1) ? [ ,??) 2 。
方法四:分离常数法

y?
例 4. 求函数

6( x 2 ? 1) 2 6x 4 ? 13x 2 ? 6 的值域。 6( x ? 1) 6x ? 12x ? 6 ? 4 4 2 6x ? 13x ? 6 6x ? 13x 2 ? 6
2 2 4 2

y?
解析::

?1?

x2 1 1 24 ?1? ?1? ? 4 2 6 25 25 6x ? 13x ? 6 6x 2 ? 13 ? 2 x 。

24 ,1] 从而易知此函数值域为 25 。 [
评注:此题先分离常数,再利用不等式法求解。注意形如

y?

cx ? d (a ? 0, bc ? ad) ax ? b 的值域为

c c (??, ) ? ( ,??) a a 。
方法五:判别式法

y?
例 5. 求函数

x2 ? 1 x 2 ? x ? 1 的值域。

2 解析: 原式整理可得 ( y ? 1)x ? yx ? ( y ? 1) ? 0 。 y ? 1 ? 0 即 y ? 1 时,x ? ?2 原式成立。 y ? 1 ? 0 即 y ? 1 当 当 2 时,? ? y ? 4( y ? 1)[?( y ? 1)] ? 0 , 解得

2 5 2 5 2 5 2 5 或y ? ? (?? ,? ]?[ ,?? ) 5 5 。 5 5 综上可得原函数值域为 。 y ? 1 ? 0 时的情况。 评注:此方法适用于 x 为二次的情形,但应注意 y?

方法六:图象法 例 6. 求函数

y?

1 x ? 1 ? 1( x ? 0) 的值域。

解析:作出此函数的图象,如下图所示。可知此函数值域为 (??,?2] ? (?1,?? ) 。 方法七:中间变量法

x2 ? 3 x 2 ? 5 的值域。 例 7. 求函数 5y ? 3 5y ? 3 3 x2 ? x 2 ? 0, 知 ? 0, 解得y ? ? 或y ? 1 y ? 1 。由 y ?1 5 解析:由上式易得 。 y?

y

3 (??,? ] ? (1,??) 5 故此函数值域为 。
方法八:配方法 例 8. 求函数 y ? x ? 2 x ? 3 的值域。
2 解析:因为 y ? ( x ? 1) ? 2 ? 2 ,故此函数值域为 [2,?? ) 。

0 -1 -2

1 2 (1,-1)

x


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