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椭圆的基本性质


课题:12.4 椭圆的基本性质(二课时)
教学目标: 1、掌握椭圆的对称性,顶点,范围等几何性质. 2、能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论,在此基础上会画椭圆的图形. 3、学会判断直线与椭圆的位置,能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题,中点问题等. 4、在对椭圆几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化,学会分类讨论、数形结合等数 学思想和探究能力的培养; 培养探究新事

物的欲望, 获得成功的体验, 树立学好数学的信心. 教学重点:椭圆的几何性质及初步运用 教学难点:直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题 教学过程: 一.课前准备: 1、 知识回忆 (1) 椭圆和圆的概念 (2) 椭圆的标准方程 2、课前练习 1) 圆的定义: 到一定点的距离等于______的图形的轨迹。 椭圆的定义: _______________________________的图形的轨迹。 2) 椭圆的标准方程: 1。焦点在 x 轴上____________( ) y 轴上____________( 2。焦点在 ) 若

x2 y2 ? ? 1, 则椭圆的长轴长________短半轴长__________, 焦点为____________, 16 25

顶点坐标为__________,焦距为______________ 二.教学过程设计 一、引入课题 “曲线与方程” 是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题: 一是由曲线求 方程,二是由方程画曲线.前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题,本节课 将研究第二类问题,由椭圆方程画椭圆图形,为使列表描点更准确,避免盲目性,有必要先 对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论. 二、讲授新课 (一) 对称性 问题 1:观察椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆曲线的对称性?

? x 代 x 后方程不变,说明椭圆关于 y 轴对称; ? y 代 y 后方程不变,说明椭圆曲线关于 x 轴对称; ? x 、 ? y 代 x , y 后方程不变,说明椭圆曲线关于原点对称;
问题 2:从对称性的本质上入手,如何探究曲线的对称性? 以把 x 换成-x 为例,如图在曲线的方程中,把 x 换

成-x 方程不变,相当于点 P(x,y)在曲线上,点 P 点关于 y 轴的对称点 Q(-x,y)也 在曲线上,所以曲线关于 y 轴对称.其它同理. 相关概念:在标准方程下,坐标轴是对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫做椭 圆的中心. (二) 顶点 问题 1:观察椭圆标准方程的特点,利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标? 在椭圆的标准方程中,令 x ? 0 ,得 y ? ?b , y ? 0 ,得 x ? ? a 顶点概念:椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点. 顶点坐标; A (?a,0), A2 (a,0) , B1 (0, b), B2 (0,?b) . 1 相关概念:线段 A1 A2 , B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于 2a,2b ,

a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
在椭圆的定义中, 2c 表示焦距,这样,椭圆方程中的 a, b,c 就有了明显的几何意义. 问题 2: 在椭圆标准方程的推导过程中令 a 2 ? c 2 ? b 2 能使方程简单整齐, 其几何意义是什 么?

c 表示半焦距,b 表示短半轴长,因此,联结顶点 B2 和焦点 F2 ,可以构造一个直角三
角形,在直角三角形内, OF2 (三) 范围 问题 1:结合椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆曲线的范围?即确定两个变量的允许 值范围.
2

? B2 F2

2

? OB2 ,即 a 2 ? c 2 ? b 2 .

2

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 变形为: ? 1? ? 0,x 2 ? a 2 ? x ? a ? ?a ? x ? a 2 2 2 a b b a
这就得到了椭圆在标准方程下 x 的范围: ? a ? x ? a 同理,我们也可以得到 y 的范围: ? b ? y ? b 问题 2:思考是否还有其他方法? 方法一: 可以把 的范围;

x2 a
2

?

y2 b
2

x y ? 1 看成 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , 利用三角函数的有界性来考虑 , a b

x2 方法二: 椭圆的标准方程表示两个非负数的和为 1, 那么这两个数都不大于 1, 所以 2 ? 1 , a
同理可以得到 y 的范围 由椭圆方程中 x, y 的范围得到椭圆位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形里.

三、例题解析 例 1 已知椭圆的方程为 9 x 2 ? 4 y 2 ? 36 . (1) 求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标; (2) 写出与椭圆 9 x 2 ? 4 y 2 ? 36 有相同焦点的至少两个不同的椭圆方程. 解:解答见书本 P48 [说明] 这是本节课重点安排的基础性例题,是椭圆的几何性质的简单应用. 例 2(1)求以原点为中心,一个焦点为 (0,?1), 且长轴长是短轴长的 2 倍的椭圆方程; (2)过点(2,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍的椭圆方程. 解: 1) ( 由题意可知: ? 1, a ? c
2 2 b a 由 有 2b , a 2 ? b 2 ? c 2 , 2b ? b ? 1, ? 1 , ? 2 ;

2 ? 椭圆的标准方程为: x 2 ? y ? 1 . 2

(2)

x2 y2 x2 ? y2 ? 1或 ? ? 1. 4 16 4

[说明] 此题利用椭圆标准方程中 a, b, c 的关系来解题,要注意焦点在 x 轴上或 y 轴上 的椭圆标准方程. 例 3 已知直线 kx ? y ? 3 ? 0 与椭圆 (1) 直线与椭圆有两个公共点; (2) 直线与椭圆有一个公共点; (3) 直线与椭圆无公共点.

x2 y2 ? ? 1 ,当 k 在何范围取值时, 16 4

解:由 ? x 2

? y ? kx ? 3 ? 可得 (4k 2 ? 1) x 2 ? 24kx ? 20 ? 0 y2 ? ?1 ? 16 4 ?
2

? ? ? 16(16k 2 ? 5) ;

( 1 ) 当 ? ? 16(16k ? 5) ? 0即k ?

5 5 或k ? ? 时 , 直 线 kx ? y ? 3 ? 0 与 椭 圆 4 4

x2 y2 ? ? 1 有两个公共点; 16 4
( 2 ) 当 ? ? 16(16k ? 5) ? 0即k ?
2

5 5 或k ? ? 时 , 直 线 kx ? y ? 3 ? 0 与 椭 圆 4 4

x2 16

?

y2 4

? 1有一个公共点;

( 3 ) 当 ? ? 16(16k ? 5) ? 0即 ?
2

5 5 时 , 直 线 kx ? y ? 3 ? 0 与 椭 圆 ?k? 4 4

x2 y2 ? ? 1 无公共点. 16 4
[说明] 由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接说明两曲线的交点状况,而方程 解的情况由判别式来决定,直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系,直线方程与椭圆方程 联立,消去 y 或 x 得到关于 x 或 y 的一元二次方程,则(1)直线与椭圆相交 ? ? ? 0 (2) 直线与椭圆相切 ? ? ? 0 (3)直线与椭圆相离 ? ? ? 0 ,所以判定直线与椭圆的位置关 系,运用方程及其判别式是最基本的方法. 例 4 若直线 y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆 解法一:

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,求实数 m 的取值范围. 5 m

由 ? x2

? y ? kx ? 1 2 ? 可 得 (5k 2 ? m) x 2 ? 10kx ? 5 ? 5m ? 0 , ? ? ? m ? 5k ? 1 ? 0 即 y2 ? 5 ? m ?1 ?

m ? 5k 2 ? 1 ? 1
? m ? 1且m ? 5 .
解法二:直线恒过一定点 (0,1) 当 m ? 5 时, 椭圆焦点在 x 轴上, 短半轴长 b ?

m, 要使直线与椭圆恒有交点则 m ? 1 即

1? m ? 5
当 m ? 5 时,椭圆焦点在 综述: m ? 1且m ? 5 解法三:直线恒过一定点 (0,1)

y 轴上,长半轴长 a ? 5 可保证直线与椭圆恒有交点即 m ? 5

要使直线与椭圆恒有交点,即要保证定点 (0,1) 在椭圆内部

0 2 12 ? ? 1即 m ? 1 5 m

? m ? 1且m ? 5
[说明]法一转化为 k 的恒成立问题; 法二是根据两曲线的特征观察所至; 法三则紧抓定点在

x y 椭圆内部这一特征:点 M ( xo , yo ) 在椭圆内部或在椭圆上则 o2 ? o2 ? 1 . a b

2

2

例 5 椭圆中心在原点,长轴长为 10 3 ,一个焦点 F1 的坐标 (0,5) ,求经过此椭圆内的一点

1 1 M ( ,? ) ,且被点 M 平分的弦所在的直线方程. 2 2

b 解: 由已知, ? 5 3, c ? 5 , 且焦点在 y 轴上, ? a ? c ? 50 , 椭圆方程为 a
2 2 2

y2 x2 ? ? 1. 75 50

设 过 点 M 的 直 线 交 椭 圆 于 点 A( x1 , y2 ) 、 B( x2 , y 2 ) . ? M 是 弦 AB 的 中 点 , 则

? y12 x12 ?1 ? ? ? 75 50 ,两式相减整 x1 ? x2 ? 1, y1 ? y2 ? ?1 ,将 A, B 两点的坐标代入椭圆方程, ? 2 2 y 2 x2 ? ? ?1 ? 75 50 ?
理得:

y1 ? y 2 3 3 x ? x2 3 ?? ? 1 ? ,即 k ? . 2 x1 ? x2 2 y1 ? y 2 2
1 3 1 ? ( x ? ) ,即 6 x ? 4 y ? 5 ? 0 . 2 2 2

所求的直线方程为 y ?

[说明]此题因为涉及椭圆的弦中点问题,除通法外,可以优先考虑“点差法”.但需注意两 点:1)斜率是否存在?2)应检验直线和椭圆是否相交?即联立直线和椭圆方程,得到关于 x 或 y 的一元二次方程,检验其根的判别式是否大于 0? 例 6 求椭圆

x2 ? y 2 ? 1 中斜率为 1 的平行弦的中点的轨迹. 4

解:见书本 P50 [说明] 此题因为涉及椭圆的弦中点问题,本题也可使用“点差法”. 例 7 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1,F2,若过点 P(0,-2)及 F1 的直线交椭圆 2 1

于 A,B 两点,求⊿ABF2 的面积 解法一:由题可知:直线 l AB 方程为 2 x ? y ? 2 ? 0

? y ? ?2 x ? 2 ? 由 ? x2 ,可得 9 y 2 ? 4 y ? 4 ? 0 , y2 ? 2 ? 1 ?1 ?

y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 1 4 10 F1F2 y1 ? y2 ? . 2 9

4 10 , 9

? S? ?

解法二: F2 到直线 AB 的距离 h ?

4 5 , 5

? y ? ?2 x ? 2 2 10 2 ? 2 由 ? x2 可得 9 x ? 16x ? 6 ? 0 ,又 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? , y2 9 ? 2 ? 1 ?1 ?

? S? ?

1 4 10 . AB h ? 2 9
2

[说明] 在利用弦长公式 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ? 合韦达定理解决问题. 例 8 已知直线 y ? x ? 1 交椭圆 椭圆方程.

1 y1 ? y 2 (k 为直线斜率)应结 k2

x2 y2 10 ? 2 ? 1 于 P, Q 两点, PQ ? , OP ? OQ ,求 2 2 a b

解:为简便运算,设椭圆为 mx2 ? ny2 ? 1 , (m ? 0, n ? 0, m ? n)

?m x2 ? ny 2 ? 1 ? mx2 ? n( x 2 ? 2x ? 1) ? 1 , ,整理得: ? ?y ? x ?1
(m ? n) x 2 ? 2nx ? n ? 1 ? 0
x1 ? x 2 ?
(1)

n ?1 ? 2n , x1 ? x 2 ? ,设 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) , m?n m?n

? OP ? OQ ,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 x1 x2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 ,有 m ? n ? 2 .
2 方程(1)变形为: 2 x ? 2nx ? n ? 1 ? 0 . x1 ? x 2 ? ? n, x1 ? x 2 ?

n ?1 . 2

3 ? 1 ? ?n ? 2 ?n ? 2 ? ? PQ ? 10 ,? x1 ? x 2 ? 5 ,有 4n 2 ? 8n ? 3 ? 0 ,得: ? ,? ? 2 2 ?m ? 1 ?m ? 3 ? 2 ? 2 ? ?
2 2 2 2 ? 椭圆的方程为 x ? 3 y ? 1 或 y ? 3x ? 1 . 2 2 2 2

[说明] 应注意 P, Q 两点设而不求,善于使用韦达定理. 四、巩固练习 练习 12.4(1);练习 12.4(2) 五、课堂小结

1.椭圆的几何性质 标准方程

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) a2 b2
y M

y2 x2 ? ? 1 (a>b>0) a2 b2
y F2 x O F1

M x

图形

F1

O

F2

范围 对称性 性 质 顶点 焦点 两轴 焦距

-a≤x≤a,-b≤y≤b 关于 x 轴、y 轴和原点对称

-b≤x≤b,-a≤y≤a

(a,0)(-a,0)(0,b)(0,-b) (0,a)(0,-a)(b,0)(-b,0) 、 、 、 、 、 、

F1(-c,0) F2(c,0) 、
长轴长 2a,短轴长 2b |F1F2|=2c,c2=a2-b2

F1(0,-c) F2(0,c) 、

2.直线与椭圆位置关系如何判断 3.弦长问题和弦中点问题 4.有关弦中点问题, “点差法”的应用 六、课后作业 练习册、补充作业: 1.椭圆 ax 2 ? by 2 ? 1与直线 y ? 1 ? x 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜

率为

3 a ,求 值. b 2
x2 y2 ? ? 1的焦点为 F1、F2,过O作直线交椭圆于 A、B 两点,若 ?ABF2 的面积为 20, 45 20

2.椭圆

求直线 AB 方程. 3.已知椭圆 圆的方程. 4. 中心在原点, 焦点坐标为(0, ±5 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点的横坐标为
x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 上一点 P ?6,8? , F1、F2 为椭圆的焦点,且 PF1 ? PF2 ,求椭 a2 b2

1 ,求椭圆方程. 2

5.已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1. 2

(1) 过椭圆的左焦点 F 引椭圆的割线,求截得的弦的中点 P 的轨迹方程; (2) 求斜率为 2 的平行弦中点 Q 的轨迹方程. 6. P 为直线 x ? y ? 9 ? 0 上的点,过 P 且以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为焦点作椭圆,问 P 12 3

在何处时所作椭圆的长轴最短?并求出相应椭圆的方程. 7.已知椭圆 C:

x 2 y 2 m2 ? ? (m ? 0) ,经过其右焦点 F 且以 a ? ?1,1? 为方向向量的直线 l 5 3 2
y

交椭圆 C 于 A、B 两点,M 为线段 AB 的中点,设 O 为椭圆的中心,射线 OM 交椭圆 C 于 N 点.
A

(1)证明: OA ? OB ? ON (2)求 OA? OB 的值. 8.已知 A(-2,0) 、B(2,0) ,点 C、点 D 满足 | AC |? 2, AD ?

O
M

F N

x

1 ( AB ? AC ). 2

B

(1)求点 D 的轨迹方程; (2)过点 A 作直线 l 交以 A、B 为焦点的椭圆于 M、N 两点, 线段 MN 的中点到 y 轴的距离为 9.设 A,B 分别是直线 y ?

4 ,且直线 l 与点 D 的轨迹相切,求该椭圆的方程. 5

2 5 2 5 x和 y ? ? x 上的两个动点,并且 AB ? 20 ,动点 P 5 5

满足 OP ? OA ? OB .记动点 P 的轨迹为 C. (1) 求轨迹 C 的方程; (2)若点 D 的坐标为(0,16) ,M、
C

N 是曲线 C 上的两个动点,且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取值 范围. 10.如图所示,已知 A、B、C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点,点
B

O A

A 是长轴的一个端点,BC 过椭圆中心 O,且 AC ? BC ? 0 , BC ? 2 AC . (1)建立适当的坐标系,求椭圆方程; (2)如果椭圆上有两点 P、Q,使∠PCQ 的平分线垂直于 AO,证明:存在实数 λ,使

PQ ? ? AB .


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