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2011年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题及解答


2011 年上海市高中数学竞赛试题
2011 年 3 月 27 日 上午 8:30——10:30 说明:解答本试题不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每题 7 分,后 4 小题每题 8 分)

? y x + 7 x +12 = 1 ? 的解集为 1.方程组 ? ? x + y =1 ?
2

.

2.在平面直角坐标系中,长度为 1 的线段 AB 在 x 轴上移动(点 A 在点 B 的左边) ,点 P 、 Q 的坐标分别 为 ( 0,1) 、 (1, 2 ) ,则直线 AP 与直线 BQ 交点 R 轨迹的普通方程为 3.已知 M 是椭圆 .

x2 y 2 + = 1 在第一象限弧上的一点,MN ⊥ y 轴, 垂足为 N , ?OMN 的面积最大时, 当 16 9

它的内切圆的半径 r = 4.已知 ?ABC 外接圆半径为 1,角 A 、 B 、 C 的平分线分别交 ?ABC 外接圆于 A1 、 B1 、 C1 ,则

AA1 cos

A B C + BB1 cos + CC1 cos 2 2 2 的值为 sin A + sin B + sin C

.

5.设 f ( x ) = a sin ?( x + 1) π ? + b 3 x ? 1 + 2 ,其中 a 、 b 为实常数,若 f ( lg 5 ) = 5 ,则 f ( lg 20 ) 的值 ? ? 为 .
0

6.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,点 A ( 3, a ) , B ( 3, b ) 使 ∠AOB = 45 ,其中 a 、 b 均为整数,且

a > b ,则满足条件的数对 ( a, b ) 共有

组.

7.已知圆 C 的方程为 x 2 + y 2 ? 4 x ? 2 y + 1 = 0(圆心为 C ) 直线 y = tan100 x + 2 与圆 C 交于 A 、B , 两点,则直线 AC , BC 倾斜角之和为 . 8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜 2 局才最后获胜;乙必须再胜 3 局才最后获胜.若甲、 乙两人每局取胜的概率都为 二、解答题: 9.(本题满分为 14 分)对于两个实数 a 、 b , min {a, b} 表示 a 、 b 中较小的数,求所有非零实数 x ,使

(

)

1 ,则甲最后获胜的概率是 2

.

4 ? ? ? 1? min ? x + , 4 ? ≥ 8 ? min ? x, ? . x ? ? ? x?

1

10. (本题满分为 14 分) 如图, ?ABC 中, 为 BC 中点, M ,N 分别在边 AB ,AC 上, AM = 6 , 在 O 点 且

MB = 4 , AN = 4 , NC = 3 , ∠MON = 900 .求 ∠A 的大小.

11. (本题满分为 16 分)对整数 k ,定义集合 S k = n 50k ≤ n ≤ 50 ( k + 1) , n ∈ Z ,问 S0 , S1 , S2 ,…,

{

}

S599 这 600 个集合中,有多少个集合不含完全平方数?

12. (本题满分为 16 分)求所有大于 1 的正整数 n ,使得对任意正实数 x1 , x2 ,…, xn ,都有不等式

( x1 + x2 + ??? + xn )

2

≥ n ( x1 x2 + x2 x3 + ??? + xn x1 ) .

2

2011 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题解答及评分参考意见 年上海市高中数学竞赛(新知杯) 一. 填空题 (7 '× 4 + 8 '× 4 = 60 ') 1. (0,1), (2, ?1), (?3, 4), (?4,5)} ; 5.-1; 二.解答题 9.解:当 x > 0 时, x + 9. 6. 6; 7. 200o ; 8.

{

2. y(x-2)=-2;

3.

2 ; 2

4. 2;

11 . 16

4 4 4 ≥ 2 x ? = 4, 当 x < 0 时, x + ≤ ?4 < 4, 故 x x x x > 0; ? 4, 4 ? min { x + , 4} = ? 4 x ? x + x , x < 0. ? ?1 ? 1 ? ? , ?1 < x < 0或x > 1; (4’) 又 min ? x, ? = ? x ? x ? ? x, x ≤ ?1或0<x ≤ 1. ?
所以有以下四种情形:

8 , x ≥ 2 .此时, x ∈ [ 2, +∞ ) . x 1 1 (2) 当 0 < x ≤ 1 时,原不等式为 4 ≥ 8 x, x ≤ .此时, x ∈ (0, ] . (9’) 2 2 4 8 (3) 当 ?1 < x < 0 时,原不等式为 x + ≥ ? x 2 ≤ 4. 此时, x ∈ ( ?1, 0) . x x 4 4 (4) 当 x ≤ ?1 时, 原不等式为 x + ≥ 8 x ? x 2 ≥ .此时, x ∈ ( ?∞, ?1] . x 7
(1) 当 x > 1 时,原不等式为 4 ≥ 综上所述,满足题意的 x 的取值范围为

1 (?∞, 0) ∪ (0, ] ∪ [2, +∞). 2

(14’)

10.解:延长 NO 至 P,使 OP=ON,又 BO=OC,可知 BPCN 为平行四边形, ∴ BP // AC ,BP=CN=3. (3’) 连接 MP, Q M 在 NP 的垂直平分线上, ∴ MP = MN (6’) 令 MN=a,则在 V AMN 和 VMBP 中,由余弦定理得 6 M (10’) 4 B P O

A 4 N 3 C

a = MN = 6 + 4 ? 2 ? 6 ? 4 cos A = 52 ? 48 cos A,
2 2 2 2

a 2 = MP 2 = 32 + 42 + 2 ? 3 ? 4 cos A = 25 + 24 cos A.
消去 a 2 ,得 27 ? 72 cos A = 0 , 于是 cos A =

3 3 , ∠A = arccos . (14’) 8 8

11.解: Q ( x + 1) 2 ? x 2 = 2 x + 1, 2 x + 1 ≤ 50( x ∈ N ) ? x ≤ 24( x ∈ N ) .

(24 + 1) 2 = 625 ∈ S12 ,
3

∴ S 0 , S1 , L , S12 中含有的平方数都不超过 252 ,且每个集合都是由连续 50 个非负整数所组成的,故每个
集合至少含有 1 个平方数. (6’)

S13 , S14 , L , S599 中,若含有平方数,都不小于 26 2 .而当 x ≥ 26 时,2x+1 ≥ 53,从而 S13 , S14 , L , S599 中,每
个集合至多含有 1 个平方数. 另一方面, S599 中最大数是 600 ? 50 ? 1 = 29999 ,

1732 < 29999 < 1742 ,∴ S13 , S14 , L , S599 中含有平方数.
则不超过 1732 . (12’)

∴ S13 , S14 , L , S599 中有且仅有 173-25=148 个集合含有平方数.
综上所述, S0 , S1 , L , S599 中, 有 600-13-148=439 个集合不含有平方数. 12.解:当 n=2 时,不等式为 ( x1 + x2 ) 2 ≥ 2( x1 x2 + x2 x1 ), 即 (16’)

( x1 ? x2 ) 2 ≥ 0, 故 n=2 满足题意.
当 n=3 时,不等式 ( x1 + x2 + x3 ) 2 ≥ 3( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ), 等价于 ( x1 ? x2 ) 2 + ( x2 ? x3 ) 2 + ( x3 ? x1 ) 2 ≥ 0, 故 n=3 满足题意. 当 n=4 时,不等式为

(2’)

(5’)

( x1 + x2 + x3 + x4 ) 2 ≥ 4( x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x1 ) ? ( x1 ? x2 + x3 ? x4 ) 2 ≥ 0 .故 n=4 满足题意.
下证当 n>4 时,不等式不可能对任意正实数 x1 , x2 , L , xn 都成立. 取 x1 = x2 = 1, x3 = x4 = L = xn = (8’)

1 , 5(n ? 2)

则原不等式为 [1 + 1 + ( n ? 2) ?

1 2 n?3 ]2 ≥ n(1 + + 5(n ? 2) 5(n ? 2) 25(n ? 2) 2

?

121 2n n(n ? 3) ≥ n+ + , 25 5(n ? 2) 25(n ? 2) 2
121 < 5 ≤ n 矛盾. 25
(16’)

这与

所以满足题意的正整数 n 为 2,3,4.

4


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