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2011年高考重庆卷文科数学试题及答案


既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
(重庆卷) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 2 , a3 ? 4, 则a10 = A.12
2
<

br />B.14

C.16

D.18

2.设 U ? R, M ? {x | x ? 2 x ? 0}, ,则 ? UM = A.[0,2] C. ? ??, 0 ? ? ? 2, ?? ?
2 2

B. ? 0, 2 ? D. ? ??, 0? ? ? 2, ?? ?

3.曲线 y ? ? x ? 3x 在点(1,2)处的切线方程为 A. y ? 3 x ? 1 C. y ? 3 x ? 5 B. y ? ?3x ? 5 D. y ? 2 x

4.从一堆苹果中任取 10 只,称得它们的质量如下(单位:克) 125 120 122 105 130 114 116 95 则样本数据落在 [114.5,124.5) 内的频率为 A.0.2 B.0.3 C.0.4

120

134

D.0.5

5.已知向量 a ? (1, k ), b ? (2, 2), 且a ? b与a 共线,那么 a ? b 的值为 A.1 6.设 a ? log 1
3

B.2

C.3

D.4

1 2 4 , b ? log 1 , c ? log 3 , 则a, b, c 的大小关系是 2 3 3 3
B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. b ? c ? a

A. a ? b ? c 7.若函数 f ( x) ? x ? A. 1 ? 2

1 (n ? 2) 在 x ? a 处取最小值,则 a ? n?2
B. 1 ? 3 C.3 D.4

8.若△ ABC 的内角, A, B, C 满足 6sin A ? 4sin B ? 3sin C ,则 cos B ?

A.

15 4

B.

3 4

C.

3 15 16

D.

11 16

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室 9.设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A, B 两点,左焦点在以 AB 为直径的圆内,则该 双曲线的离心率的取值范围为 A. (0, 2) B. (1, 2) C. (

2 ,1) 2

D. ( 2 , ?? )

10.高为 2 的四棱锥 S ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,点 S 、 A 、 B 、 C 、 D 均 在半径为 1 的同一球面上,则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 A.

10 2

B.

2? 3 2

C.

3 2

D. 2

二、填空题,本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上 11. (1 ? 2 x) 的展开式中 x 的系数是
6

4

12.若 cos a ? ? ,且 a ? (? ,
2

3 5

3? ) ,则 tan a ? 2
2

13.过原点的直线与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 相交所得弦的长为 2,则该直线的方程为 14.从甲、乙等 10 位同学中任选 3 位去参加某项活动,则所选 3 位中有甲但没有乙的概率 为 15.若实数 a, b, c满足2 ? 2 ? 2
a b a ?b

, 2a ? 2b ? 2c ? 2a ?b?c , 则c 的最大值是

三、解答题,本大题共 6 小题,共 25 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分) 设 {a } 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 4 。
n

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 {bn } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 sn 。 17. (本小题满分 13 分, (I)小问 6 分, (II)小问 7 分) 某市公租房的房源位于 A、B、C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的 房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (I)没有人申请 A 片区房源的概率; (II)每个片区的房源都有人申请的概率。 18. (本小题满分 13 分, (I)小问 7 分, (II)小问 6 分) 设函数 f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos(? ? x) cos x( x ? R). (1)求 f ( x) 的最小正周期;

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室

( II )若函数 y ? f ( x) 的图象按 b ? ?

?? 3 ? ?4, 2 ? ? 平移后得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 ? ?

y ? g ( x) 在 (0, ] 上的最大值。 4

?

19. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小题 5 分, (Ⅱ)小题 7 分) 设 f ( x) ? 2 x ? ax ? bx ? 1 的导数为 f ?( x) ,若函数 y ? f ?( x) 的图像关于直线
3. 2

1 x ? ? 对称,且 f ?(1) ? 0 . 2
(Ⅰ)求实数 a, b 的值 (Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值

20. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 6 分) 如 题 ( 20 ) 图 , 在 四 面 体 ABCD 中 , 平 面 ABC ⊥ 平 面 ACD , AB ? BC, AC ? AD ? 2, BC ? CD ? 1 (Ⅰ)求四面体 ABCD 的体积; (Ⅱ)求二面角 C-AB-D 的平面角的正切值。

21. (本小题满分 12 分。 (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 如题(21)图,椭圆的中心为原点 0,离心率 e=

2 ,一条准线的方程是 x ? 2 2 2

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室 (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)设动点 P 满足: OP ? OM ? 2ON ,其中 M、N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

??? ?

???? ?

????

1 ,问:是否存在定点 F,使得 PF 与点 P 到直线 l: x ? 2 10 的 2

距离之比为定值;若存在,求 F 的坐标,若不存在,说明理由。

题(21)图

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室

参考答案
一、选择题 1—5 DAACD 二、填空题: 11.240 12.

6—10 BCDBA

4 3

13. 2 x ? y ? 0 14.

7 30

15. 2 ? log 2 3 三、解答题:满分 75 分 16. (本题 13 分) 解: (I)设 q 为等比数列 {an } 的公比,则由 a1 ? 2, a3 ? a2 ? 4得2q ? 2q ? 4 ,
2

即 q ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2或q ? ?1 (舍去) ,因此 q ? 2.
2

所以 {an } 的通项为 an ? 2 ? 2 (II) Sn ?

n ?1

? 2n (n ? N * ).

2(1 ? 2n ) n(n ? 1) ? n ?1 ? ? 2. 1? 2 2

? 2n?1 ? n2 ? 2.
17. (本题 13 分) 解:这是等可能性事件的概率计算问题。 (I)解法一:所有可能的申请方式有 34 种,而“没有人申请 A 片区房源”的申请方式 有 24 种。 记“没有人申请 A 片区房源”为事件 A,则

P( A) ?

24 16 ? . 34 81

解法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是 4 次独立重复试验. 记“申请 A 片区房源”为事件 A,则 P( A) ? . 由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知,没有人申请 A 片区房源的概 率为

1 3

16 0 1 0 2 4 P4 (0) ? C4 ( ) ( ) ? . 3 3 81
(II)所有可能的申请方式有 34 种,而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室
1 2 1 2 3 C3 C4 C2 (或C4 C3 ) 种.

记“每个片区的房源都有人申请”为事件 B,从而有

P( B) ?

1 2 1 2 3 C3 C4 C2 36 4 C4 A3 4 ? ? ( 或 P ( B ) ? ? ). 4 4 4 9 9 3 3 3

18. (本题 13 分) 解: (I) f ( x) ?

1 sin 2 x ? 3 cos 2 x 2

1 sin 2 x ? 2 1 ? sin 2 x ? 2 ?

3 (1 ? cos 2 x) 2 3 3 cos 2 x ? 2 2 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? . 3 2
故 f ( x) 的最小正周期为

T?

2? ? ?. 2

(II)依题意 g ( x) ? f ( x) ?

?
4

?

3 2

? ? 3 3 ? sin[2( x ? ) ? ] ? ? 4 3 2 2
? sin(2 x ? ) ? 3. 6
当 x ? [0,

?

?
4

]时, 2 x ?

?
6

? [?

? ?

, ], g ( x) 为增函数, 6 3

所以 g ( x)在[0, 19. (本题 12 分)

?

? 3 3 . ] 上的最大值为 g ( ) ? 4 2 4
3 2 2

解: (I)因 f ( x) ? 2 x ? ax ? bx ? 1, 故f ?( x) ? 6 x ? 2ax ? b. 从而 f ?( x) ? 6( x ?

a 2 a2 ) ?b? , 6 6

即 y ? f ?( x) 关于直线 x ? ?

a a 1 对称,从而由题设条件知 ? ? ? , 解得a ? 3. 6 6 2

又由于 f ?(1) ? 0,即6 ? 2a ? b ? 0, 解得b ? ?12. (II)由(I)知 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 1,
3 2

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f ?( x) ? 6 x 2 ? 6 x ? 12

? 6( x ? 1)( x ? 2).
令 f ?( x) ? 0,即6( x ? 1)( x ? 2) ? 0.解得x1 ? ?2, x2 ? 1. 当 x ? (??, ?2)时, f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(??, ?2) 上为增函数; 当 x ? (?2,1)时, f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(?2,1) 上为减函数; 当 x ? (1, ??)时, f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(1, ??) 上为增函数; 从而函数 f ( x)在x1 ? ?2 处取得极大值 f (?2) ? 21, 在x2 ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?6. 20. (本题 12 分) 解法一: (I)如答(20)图 1,过 D 作 DF⊥AC 垂足为 F, 故由平面 ABC⊥平面 ACD,知 DF⊥平面 ABC,即 DF 是四面体 ABCD 的面 ABC 上的高,设 G 为边 CD 的中点, 则由 AC=AD,知 AG⊥CD,从而

AG ?

1 15 AC 2 ? CG 2 ? 22 ? ( ) 2 ? . 2 2

1 1 AG ? CD 15 由 AC ? DF ? CD ? AG得DF ? ? . 2 2 AC 4
由 Rt ?ABC中, AB ?

AC 2 ? BC 2 ? 3, S?ABC ?
1 5 ? S?ABC ? DF ? . 3 8

1 3 AB ? BC ? . 2 2

故四面体 ABCD 的体积 V ?

(II)如答(20)图 1,过 F 作 FE⊥AB,垂足为 E,连接 DE。由(I)知 DF⊥平面 ABC。 由三垂线定理知 DE⊥AB,故∠DEF 为二面角 C—AB—D 的平面角。 在 Rt ?AFD中, AF ?

AD 2 ? DF 2 ? 22 ? (

15 2 7 ) ? , 4 4

在 Rt ?ABC 中,EF//BC,从而 EF:BC=AF:AC,所以 EF ? 在 Rt△DEF 中, tan DEF ?

AF ? BC 7 ? . AC 8

DF 2 15 ? . EF 7

解法二: (I)如答(20)图 2,设 O 是 AC 的中点,过 O 作 OH⊥AC,交 AB 于 H,过 O 作 OM⊥AC,交 AD 于 M,由平面 ABC⊥平面 ACD,知 OH⊥OM。因此以 O 为原 点,以射线 OH,OC,OM 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正半轴,可建立空间坐标系 O— xyz.已知 AC=2,故点 A,C 的坐标分别为 A(0,—1,0) ,C(0,1,0) 。

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室 设点 B 的坐标为 B( x1 , y1 , 0),由AB ? BC ,| BC |? 1 ,有

??? ?

??? ? ??? ?

? x12 ? y12 ? 1, ? ? 2 2 ? ? x1 ? ( y1 ? 1) ? 1, ? x ? ? ? 1 解得 ? ?y ? 1 ? ? 3 ? 3 , ? x1 ? ? , 2 ? 2 (舍去). ? 1 ? 1 , y1 ? 2 ? ? 2
3 1 , , 0). 2 2
??? ? ????

即点 B 的坐标为 B(

又设点 D 的坐标为 D(0, y2 , z2 ),由 | CD |? 1,| AD |? 2, 有
2 2 ? ?( y2 ? 1) ? z2 ? 1, ? 2 2 ? ?( y2 ? 1) ? z2 ? 4, 3 3 ? ? y ? , y ? , 2 2 ? ? 4 4 ? ? 解得 ? (舍去). ? 15 15 ?z ? , ? z2 ? ? ? 2 ? ? 4 ? 4

即点 D 的坐标为 D (0, ,

3 4

15 15 ). 从而△ACD 边 AC 上的高为 h ?| z2 |? . 4 4

又 | AB |?

??? ?

??? ? 3 1 ( ) 2 ? ( ? 1) 2 ? 3,| BC |? 1. 2 2

故四面体 ABCD 的体积 V ?

? ??? ? 1 1 ??? 5 ? ? | AB | ? | BC | h ? . 3 2 8

(II)由(I)知 AB ? (

??? ?

???? 3 3 7 15 , , 0), AD ? (0, , ). 2 2 4 4

设非零向量 n ? (l , m, n) 是平面 ABD 的法向量,则由 n ? AB 有

??? ?

3 3 l ? m ? 0. 2 2
由 n ? AD ,有

(1)

????

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室

7 15 m? n ? 0. 4 4

(2)

取 m ? ?1 ,由(1) , (2) ,可得 l ?

3, n ?

7 15 7 15 ,即n ? ( 3, ?1, ). 15 15

显然向量 k ? (0, 0,1) 是平面 ABC 的法向量,从而

cos ? n, k ??

7 15 7 109 15 ? , 109 49 3 ?1? 15 1? 49 109 2 15 ? , 7 7 109
2 15 . 7

故 tan ? n, k ??

即二面角 C—AB—D 的平面角的正切值为 21. (本题 12 分) 解: (I)由 e ? 解得 a ? 2, c ?

c 2 a2 ? , ? 2 2, a 2 c
2, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ,故椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2
(II)设 P( x, y ), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则由

??? ? ???? ? ???? OP ? OM ? 2ON 得
( x, y ) ? ( x1 , y1 ) ? 2( x2 , y2 ) ? ( x1 ? 2 x2 , y1 ? 2 y2 ), 即x ? x1 ? 2 x2 , y ? y1 ? 2 y2 .
因为点 M,N 在椭圆 x ? 2 y ? 4 上,所以
2 2
2 2 x12 ? 2 y12 ? 4, x2 ? 2 y2 ? 4,

故 x ? 2 y ? ( x1 ? 4 x2 ? 4 x1 x2 ) ? 2( y1 ? 4 y2 ? 4 y1 y2 )
2 2 2 2 2 2
2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 )

? 20 ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 ).

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室 设 kOM , kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题设条件知

kOM ? kON ?
2

y1 y2 1 ? ? , 因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0, x1 x2 2
2

所以 x ? 2 y ? 20. 所以 P 点是椭圆

x2 (2 5) 2

?

y2 ( 10) 2

? 1 上的点,该椭圆的右焦点为 F ( 10, 0) ,离心率

e?

2 , 直线l : x ? 2 10 是该椭圆的右准线,故根据椭圆的第二定义,存在定点 2

F ( 10, 0) ,使得|PF|与 P 点到直线 l 的距离之比为定值。

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
(重庆卷) 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1、(2011?重庆)在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则 a10=( A、12 C、16 B、14 D、18 )

考点:等差数列的通项公式。 专题:计算题。 分析:根据所给的等差数列的两项做出等差数列的公差,写出等差数列的第十项的表示式, 用第三项加上七倍的公差,代入数值,求出结果. 解答:解:∵等差数列{an}中,a2=2,a3=4, ∴d=a3﹣a2=4﹣2=2, ∴a10=a3+7d=4+14=18 故选 D. 点评:本题考查等差数列的公差求法,考查等差数列的通项公式,这是一个等差数列基本量 的运算,是一个数列中最常出现的基础题. 2、(2011?重庆)设 U=R,M={a|a2﹣2a>0},则 CUM=( A、[0,2] B、(0,2) D、(﹣∞,0]∪[2,+∞) )

C、(﹣∞,0)∪(2,+∞) 考点:补集及其运算。 专题:计算题。

分析:根据已知中 M={a|a2﹣2a>0},我们易求出 M,再根据集合补集运算即可得到答案. 解答:解:∵M={a|a2﹣2a>0}={a|a<0,或 a>2}, ∴CUM={a|0≤a≤2}, 即 CUM=[0,2] 故选 A 点评:本题考查的知识点是集合的补集及其运算,在求连续数集的补集时,若子集不包括端 点,则补集一定要包括端点.

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室 3、(2011?重庆)曲线 y=﹣x3+3x2 在点(1,2)处的切线方程为( A、y=3x﹣1 C、y=3x+5 B、y=﹣3x+5 D、y=2x )

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程。 专题:计算题。 分析:根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x=1 处的导数,从而求出切线的斜率,再用点斜 式写出切线方程,化成斜截式即可. 解答:解:∵y=﹣x3+3x2∴y'=﹣3x2+6x, ∴y'|x=1=﹣3x2+6x|x=1=3, ∴曲线 y=﹣x3+3x2 在点(1,2)处的切线方程为 y﹣2=3(x﹣1), 即 y=3x﹣1, 故选 A. 点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,属于基础题. 4、(2011?重庆)从一堆苹果中任取 10 只,称得它们的质量如下(单位:克) 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134,则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( A、0.2 C、0.4 B、0.3 D、0.5 )

考点:频率分布表。 专题:计算题。 分析:从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字,共有 4 个,利用这个频数除以 样本容量,得到要求的频率. 解答:解:∵在 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 十个数字中, 样本数据落在[114.5,124.5)内的有 116,120,120,122 共有四个, ∴样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为 故选 C 点评:本题考查频率分布表,频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一,这种问题 会出现在选择和填空中,有的省份也会以大题的形式出现,把它融于统计问题中. 5、(2011?重庆)已知向量 a =(1,k), b =(2,2),且 a + b 与 a 共线,那么 a ? b 的值为( A、1 B、2

4 =0.4, 10

?

?

? ?

?

? ?

)

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室 C、3 D、4

考点:平面向量数量积的运算。 专题:计算题。 分析:利用向量的运算法则求出两个向量的和;利用向量共线的充要条件列出方程求出 k; 利用向量的数量积公式求出值. 解答:解:∵ a ? b =(3,k+2) ∵ a ? b与a 共线 ∴k+2=3k 解得 k=1 ∴ a =(1,1) ∴ a ? b =1×2+1×2=4 故选 D 点评:本题考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查向量的数量积公式. 6、(2011?重庆)设 a= log 1
3

?

?

?

?

?

?

? ?

4 1 2 ,b= log 1 ,c=log3 ,则 a,b,c 的大小关系是( 2 3 3 2

)

A、a<b<c C、b<a<c

B、c<b<a D、b<c<a

考点:对数值大小的比较。 专题:计算题。 分析: 可先由对数的运算法则, 将 a 和 c 化为同底的对数, 利用对数函数的单调性比较大小; 再比较 b 和 c 的大小, 用对数的换底公式化为同底的对数找关系, 结合排除法选出答案即可. 解答:解:由对数的运算法则,a=log32>c;排除 A 和 C. 因为 b=log23﹣1,c=log34﹣1=

log 2 4 2 ﹣ 1? ﹣ 1, log 2 3 log 2 3

因为(log23)2>2,所以 b>c,排除 D 故选 B. 点评: 本题考查对数值的大小比较, 考查对数的运算法则和对数的换底公式, 考查运算能力. 7、(2011?重庆)若函数 f(x)=x+

1 (x>2),在 x=a 处取最小值,则 a=( x ﹣ 2

)

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室 A、1+ 2 C、3 B、1+ 3 D、4

考点:基本不等式。 专题:计算题。 分析:把函数解析式整理成基本不等式的形式,求得函数的最小值和此时 x 的取值. 解答:解:f(x)=x+

1 1 =x﹣2+ +2≥4 x ﹣ 2 x ﹣ 2

当 x﹣2=1 时,即 x=3 时等号成立. ∵x=a 处取最小值, ∴a=3 故选 C 点评:本题主要考查了基本不等式的应用.考查了分析问题和解决问题的的能力. 8、(2011?重庆)若△ABC 的内角 A,B,C 满足 6sinA=4sinB=3sinC,则 cosB=( A、 )

15 4
3 15 16

B、

3 4
D、

C、

11 16

考点:三角函数的恒等变换及化简求值。 专题:计算题。 分析:由题意利用正弦定理,推出 a,b,c 的关系,然后利用余弦定理求出 cosB 的值. 解答:解:△ABC 的内角 A,B,C 满足 6sinA=4sinB=3sinC,所以 6a=4b=3c,不妨令 a=2, b=3,c=4, 所以 b2=a2+c2﹣2accosB,所以 cosB= 故选 D. 点评:本题是基础题,考查正弦定理,余弦定理的应用,考查计算能力,常考题型. 9、(2011?重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A,B 两点,左焦点为在以 AB 为直径 的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为( A、(0, 2 ) B、(1, 2 ) )

11 , 16

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室

C、(

2 ,1) 2

D、( 2 ,+∞)

考点:双曲线的简单性质。 分析:求出渐近线方程及准线方程;求得它们的交点 A,B 的坐标;利用圆内的点到圆心距 离小于半径,列出参数 a,b,c 满足的不等式,求出离心率的范围. 解答:解:渐近线 y=±

b x. a

a2 准线 x=± , c
求得 A( ﹣

a 2 ab a2 ab , ).B(﹣ ,﹣ ), c c c c

左焦点为在以 AB 为直径的圆内, 得出 ﹣

a2 ab ? c< , c c

b 2 ab < , c c
b<a, c2<2a2 ∴ 1<e< 2 , 故选 B. 点评:本题考查双曲线的准线、渐近线方程形式、考查园内的点满足的不等条件、注意双曲 线离心率本身要大于 1. 10、(2011?重庆)高为 2 的四棱锥 S﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,点 S,A,B,C, D 均在半径为 1 的同一球面上,则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为( A、 C、 )

10 2

B、 D、 2

2? 3 2

3 2

考点:球内接多面体;点、线、面间的距离计算。 专题:计算题。

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室 分析:由题意可知 ABCD 是小圆,对角线长为 2 ,四棱锥的高为 2 ,推出高就是四棱锥 的一条侧棱,最长的侧棱就是球的直径,然后利用勾股定理求出底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离. 解答:解:由题意可知 ABCD 是小圆,对角线长为 2 ,四棱锥的高为 2 ,点 S,A,B, C,D 均在半径为 1 的同一球面上,球的直径为 2,所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个 顶 点 , 最 长 的 侧 棱 就 是 直 径 , 所 以 底 面 ABCD 的 中 心 与 顶 点 S 之 间 的 距 离 为 :

( 2) 2 ? (
故选 A

2 2 10 ) = 2 2

点评:本题是基础题,考查球的内接多面体的知识,能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底 面的一个顶点,最长的侧棱就是直径是本题的关键,考查逻辑推理能力,计算能力. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11、(2011?重庆)(1+2x)6 的展开式中 x4 的系数是 240 . 考点:二项式系数的性质。 专题:计算题。 分析:利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项;令 x 的指数为 4,求出展开式中 x4 的系数. 解答:解:展开式的通项为 Tr+1=2rC6rxr 令 r=4 得展开式中 x4 的系数是 24C64=240 故答案为:240 点评:本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题. 12、(2011?重庆)若 cosα =﹣

3 3? 4 ,且α ∈(π , ),则 tanα = . 5 2 3

考点:任意角的三角函数的定义。 专题:计算题。 分析:根据α ∈(π ,

3? 3 ),cosα =﹣ ,求出 sinα ,然后求出 tanα ,即可. 5 2

4 ﹣ 3? 3 4 4 解答:解:因为α ∈(π , ),cosα =﹣ ,所以 sinα =﹣ ,所以 tanα = 5 = 3 5 2 5 ﹣ 3 5

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室 故答案为:

4 3

点评:本题是基础题,考查任意角的三角函数的定义,注意角所在的象限,三角函数值的符 号,是本题解答的关键. 13、(2011?重庆)过原点的直线与圆 x2+y2﹣2x﹣4y+4=0 相交所得的弦长为 2,则该直线的方 程为 2x﹣y=0 . 考点:直线与圆相交的性质。 专题:计算题。 分析:用配方法将圆的方程转化为标准方程,求出圆心坐标和半径,设直线方程为 y=kx, 求出圆心到直线的距离,利用直线和圆相交所成的直角三角形知识求解即可. 解答:解:直线方程为 y=kx, 圆 x2+y2﹣2x﹣4y+4=0 即(x﹣1)2+(y﹣2)2=1 即圆心坐标为(1,2),半径为 r=1 因为弦长为 2,为直径,故 y=kx 过圆心,所以 k=2 所以该直线的方程为:y=2x 故答案为:2x﹣y=0 点评:本题考查直线和圆的相交弦长问题,属基础知识的考查.注意弦长和半径的关系. 14、(2011?重庆)从甲、乙等 10 位同学中任选 3 位去参加某项活动,则所选 3 位中有甲但没 有乙的概率为

7 . 30

考点:排列、组合及简单计数问题;等可能事件的概率。 专题:计算题。 分析:根据题意,分析可得从 10 人中任取 3 人参加活动的取法数,进而可得“有甲但没有 乙”的取法相当于“从除甲乙之外的 8 人中任取 2 人” ,可得其情况数目,由等可能事件的 概率公式,计算可得答案. 解答:解:根据题意,从 10 人中任取 3 人参加活动,有 C103=120 种取法; 分析可得有甲但没有乙的取法即从除甲乙之外的 8 人中任取 2 人即可, 则所选 3 位中有甲但没有乙的情况有 C82=28 种;

28 7 = ; 120 30 7 故答案为: . 30
则其概率为

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室 点评:本题考查排列、组合的运用;涉及等可能事件的概率计算,解题时注意排列、组合是 解决问题的基本思路与突破口. 15、 (2011?重庆)若实数 a, b, c 满足 2a+2b=2a+b, 2a+2b+2c=2a+b+c, 则 c 的最大值是 2﹣log23 . 考点:基本不等式在最值问题中的应用。 专题:计算题。
a b 分析:由基本不等式得 2a+2b≥ 2 2 2 ? 22 a ?b 2

,可求出 2a+b 的范围,

再由 2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c,2c 可用 2a+b 表达,利用不等式的性质求范围即可.
a b 解答:解:由基本不等式得 2 +2 ≥ 2 2 2 ? 22

a

b

a ?b 2

a b ,即 2 ≥ 2 2 2 ? 22

a+b

a ?b 2

,所以 2a+b

≥4,

t 1 ?1 ﹣ t1 ﹣ t ﹣ 1 4 4 4 因为 t≥4,所以 1<t ? ,即 1<2c ? ,所以 0<c ? log 2 ? 2 ﹣log 2 3 3 3 3
令 t=2a+b,由 2a+2b+2c=2a+b+c 可得 2a+b+2c=2a+b2c,所以 2c= 故答案为:2﹣log23 点评:本题考查指数的运算法则,基本不等式求最值、不等式的性质等问题,综合性较强. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16、(2011?重庆)设{an}是公比为正数的等比数列 a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 考点:等比数列的通项公式;数列的求和。 专题:计算题。 分析:(Ⅰ)由{an}是公比为正数的等比数列,设其公比,然后利用 a1=2,a3=a2+4 可求得 q, 即可求得{an}的通项公式 (Ⅱ)由{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列 可求得 bn=1+(n﹣1)×2=2n﹣1,然后利用等 比数列与等差数列的前 n 项和公式即可求得数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 解答:解:(Ⅰ)∵设{an}是公比为正数的等比数列 ∴设其公比为 q q>0 ∵a3=a2+4,a1=2 ∴2×q2=2×q+4 解得 q=2 或 q=﹣1 ∵q>0∴q=2

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室 ∴{an}的通项公式为 an=2×2n 1=2n


(Ⅱ)∵{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列 ∴bn=1+(n﹣1)×2=2n﹣1 ∴数列{an+bn}的前 n 项和 Sn=

2(1 ﹣ 2 n ) n(1 ? 2n ﹣ 1) n+1 + =2 ﹣2+n2=2n+1+n2﹣2 1 ﹣ 2 2

点评:本题考察了等比数列的通项公式及数列的求和,注意题目条件的应用.在用等比数列 的前 n 项和公式时注意辨析 q 是否为 1,只要简单数字运算时不出错,问题可解,是个基础 题. 17、(2011?重庆)某市公租房的房源位于 A、B、C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个 片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的 4 位申请人中: (I)没有人申请 A 片区房源的概率; (II)每个片区的房源都有人申请的概率. 考点:古典概型及其概率计算公式;等可能事件的概率;n 次独立重复试验中恰好发生 k 次 的概率。 专题:计算题。 分析:(Ⅰ)解法一:首先分析所有的可能申请方式的情况数目,再分析没有人申请 A 片区房 源的即所有的都申请 BC 区的申请方式的情况数目,由古典概型概率公式,计算可得答案; 解法二:视为独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的情况,设对每位申请人的观察为一次 试验,这是 4 次独立重复试验,记“申请 A 片区房源”为事件 A,易得 P(A),进而由独立 重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式计算可得答案; (Ⅱ)根据题意,分析可得所有的可能申请方式的种数;而“每个片区的房源都有人申请”的 申请方式的种数; 由古典概型概率公式,计算可得答案. 解答:解:(I)由题意知本题是一个等可能事件的概率, 解法一:所有的可能申请方式有 34 种;而“没有人申请 A 片区房源的”的申请方式有 24 种; 记“没有人申请 A 片区房源”为事件 A, 则 P(A)=

2 4 16 = ; 34 81

解法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是 4 次独立重复试验,

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室 记“申请 A 片区房源”为事件 A,则 P(A)=

1 ; 3 1 0 2 4 16 )( )= ; 3 3 81

由独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式知: “没有人申请 A 片区房源”的概率为 P4(0)=C30?(

(Ⅱ)所有的可能申请方式有 34 种;而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有 C42?A33 种; 记“每个片区的房源都有人申请”为事件 B, 从而有 P(B)=
2 3 C4 A3 4 = . 4 3 9

点评:本题考查等可能事件的概率,注意解题的格式应该规范,先有“记××为事件×” , 进而又公式进行计算. 18、(2011?重庆)设函数 f(x)=sinxcosx﹣ 3 cos(x+π )cosx,(x∈R) (I)求 f(x)的最小正周期; (II)若函数 y=f(x)的图象按 b =( 上的最大值. 考点:三角函数的周期性及其求法;函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换;三角函数的最值。 专题:计算题;综合题。 分析:(I)先利用诱导公式,二倍角公式与和角公式将函数解析式化简整理,然后利用周期公 式可求得函数的最小正周期. (II)由(I)得函数 y=f(x),利用函数图象的变换可得函数 y=g(x)的解析式,通过探讨角的范围, 即可的函数 g(x)的最大值. 解答:解:(I)∵f(x)=sinxcosx﹣ 3 cos(x+π )cosx=sinxcosx+ 3 cosxcosx

?

3 ? ? , )平移后得到的函数 y=g(x)的图象, 求 y=g(x)在(0, ] 4 2 4

=

3 3 3 1 ? sin2x+ cos2x+ =sin(2x+ )+ 2 2 2 3 2

∴f(x)的最小正周期 T=

2? =π 2

(II)∵函数 y=f(x)的图象按 b =(

?

3 ? , )平移后得到的函数 y=g(x)的图象, 2 4

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室

∴g(x)=sin(2x+ ∵0<x≤

3 3 ? ? ? ﹣ )+ + =sin(2x+ )+ 3 2 2 3 4 12

? ? ? 7? ∴ <2x+ ≤ , 4 12 12 12 ? ∴y=g(x)在(0, ]上的最大值为:1+ 3 4
点评:本题考察了三角函数的周期及其求法,函数图象的变换及三角函数的最值,各公式的 熟练应用是解决问题的根本,体现了整体意识,是个中档题. 19、(2011?重庆)设 f(x)=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f′(x),若函数 y=f′(x)的图象关于直线 x=﹣

1 对称,且 f′(1)=0 2
(Ⅰ)求实数 a,b 的值 (Ⅱ)求函数 f(x)的极值. 考点:利用导数研究函数的极值;二次函数的性质。 专题:计算题。 分析:(Ⅰ)先对 f(x)求导,f(x)的导数为二次函数,由对称性可求得 a,再由 f′(1)=0 即可求 出b (Ⅱ)对 f(x)求导,分别令 f′(x)大于 0 和小于 0,即可解出 f(x)的单调区间,继而确定极值. 解答:解:(Ⅰ)因 f(x)=2x3+ax2+bx+1,故 f′(x)=6x2+2ax+b 从而 f′(x)=6 ( x ?

a 2 a2 a ) ?b ﹣ ,即 y=f′(x)关于直线 x=﹣ 对称, 6 6 6
a 1 = ,解得 a=3 6 2

从而由条件可知﹣

又由于 f′(x)=0,即 6+2a+b=0,解得 b=﹣12 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=2x3+3x2﹣12x+1 f′(x)=6x2+6x﹣12=6(x﹣1)(x+2) 令 f′(x)=得 x=1 或 x=﹣2 当 x∈(﹣∞,﹣2)时,f′(x)>0,f(x)在(﹣∞,﹣2)上是增函数; 当 x∈(﹣2,1)时,f′(x)<0,f(x)在(﹣2,1)上是减函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数. 从而 f(x)在 x=﹣2 处取到极大值 f(﹣2)=21,在 x=1 处取到极小值 f(1)=﹣6. 点评:本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值,考查运算能力.

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室 20、(2011?重庆)如图,在四面体 ABCD 中,平面 ABC⊥平面 ACD,AB⊥BC,AC=AD=2, BC=CD=1 (Ⅰ)求四面体 ABCD 的体积; (Ⅱ)求二面角 C﹣AB﹣D 的平面角的正切值.

考点:与二面角有关的立体几何综合题;二面角的平面角及求法。 专题:综合题;转化思想。 分析:法一:几何法, (Ⅰ)过 D 作 DF⊥AC,垂足为 F,由平面 ABC⊥平面 ACD,由面面垂直的性质,可得 DF 是 四面体 ABCD 的面 ABC 上的高;设 G 为边 CD 的中点,可得 AG⊥CD,计算可得 AG 与 DF 的长,进而可得 S△ABC,由棱锥体积公式,计算可得答案; (Ⅱ)过 F 作 FE⊥AB,垂足为 E,连接 DE,分析可得∠DEF 为二面角 C﹣AB﹣D 的平面角, 计算可得 EF 的长,由(Ⅰ)中 DF 的值,结合正切的定义,可得答案. 法二:向量法, (Ⅰ)首先建立坐标系,根据题意,设 O 是 AC 的中点,过 O 作 OH⊥AC,交 AB 与 H,过 O 作 OM⊥AC,交 AD 与 M;易知 OH⊥OM,因此可以以 O 为原点,以射线 OH、OC、OM 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间坐标系 O﹣XYZ,进而可得 B、D 的坐标;从而可得△ACD 边 AC 的高即棱住的高与底面的面积,计算可得答案; (Ⅱ)设非零向量 n =(l, m, n)是平面 ABD 的法向量, 由(Ⅰ)易得向量 n 的坐标, 同时易得 k =(0, 0,1)是平面 ABC 的法向量,由向量的夹角公式可得从而 cos< n , k >,进而由同角三角 函数的基本关系,可得 tan< n , k >,即可得答案. 解答:解:法一 (Ⅰ)如图:过 D 作 DF⊥AC,垂足为 F,由平面 ABC⊥平面 ACD, 可得 DF⊥平面 ACD,即 DF 是四面体 ABCD 的面 ABC 上的高; 设 G 为边 CD 的中点,由 AC=AD,可得 AG⊥CD,

?

?

?

?

?

?

?

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室

则 AG=

1 15 AG 2 ﹣CG 2 = 4 ﹣ = ; 4 2
1 1 AG ? CD 15 AC?DF= CD?AG 可得,DF= = ; 4 2 2 AC

由 S△ADC=

在 Rt△ABC 中,AB= S△ABC=

AC 2 ﹣BC 2 = 3 ,

3 1 AB?BC= ; 2 2 5 1 ×S△ABC×DF= ; 8 3

故四面体的体积 V=

(Ⅱ)如图,过 F 作 FE⊥AB,垂足为 E,连接 DE, 由(Ⅰ)知 DF⊥平面 ABC,由三垂线定理可得 DE⊥AB,故∠DEF 为二面角 C﹣AB﹣D 的平 面角, 在 Rt△AFD 中,AF=

15 7 ﹣ = ; AD 2 ﹣DF 2 = 4 16 4
EF AF 7 ,可得 EF= ; ? BC AC 8

在 Rt△ABC 中,EF∥BC,从而

在 Rt△DEF 中,tan∠DEF=

DF 2 15 = . 7 EF
2 15 . 7

则二面角 C﹣AB﹣D 的平面角的正切值为

解法二:(Ⅰ)如图(2), 设 O 是 AC 的中点,过 O 作 OH⊥AC,交 AB 与 H,过 O 作 OM⊥AC,交 AD 与 M; 由平面 ABC⊥平面 ACD,知 OH⊥OM, 因此以 O 为原点,以射线 OH、OC、OM 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间坐标系 O﹣XYZ, 已知 AC=2,故 A、C 的坐标分别为 A(0,﹣1,0),C(0,1,0); 设点 B 的坐标为(x1,y1,0),由 AB ⊥ BC ,| BC |=1;

??? ?

??? ?

??? ?

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室

有?

? x12 ? y12 ? 1
2 2 1 1) ? 1 ? x1 ? ( y﹣



? 3 ? 3 x1 ? x1 ?﹣ ? ? ? 2 或? 2 (舍); 解可得 ? ? 1 1 ? y ? ? y ? 1 1 ? ? 2 2 ? ?
即 B 的坐标为(

3 1 , ,0), 2 2

又舍 D 的坐标为(0,y2,z2), 由| CD |=1,| AD |=2,有(y2﹣1)2+z22=1 且(y2+1)2+z22=1;

??? ?

????

3 3 ? ? y2 ? y2 ? ? ? 4 4 ? ? 解可得 ? 或? (舍), ? z ? 15 ? z ?﹣ 15 2 2 ? ? 4 4 ? ?
则 D 的坐标为(0,

3 15 , ), 4 4
15 4

从而可得△ACD 边 AC 的高为 h=|z2|= 又| AB |= 3 ,| BC |=1;

??? ?

??? ?

故四面体的体积 V=

??? ? ??? ? 5 1 1 × ×| AB |×| BC |h= ; 8 3 2
???? 3 3 7 15 , ,0), AD =(0, , ), 2 4 2 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 AB =(

??? ?

设非零向量 n =(l,m,n)是平面 ABD 的法向量,则由 n ⊥ AB 可得,

?

?

??? ?

3 3 l+ m=0,(1); 2 2

由 n ⊥ AD 可得,

?

????

7 15 m+ n=0,(2); 4 4

取 m=﹣1,由(1)(2)可得,l= 3 ,n=

? 7 15 7 15 ,即 n =( 3 ,﹣1, ) 15 15

显然 k =(0,0,1)是平面 ABC 的法向量,

?

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室

从而 cos< n , k >=

?

?

7 109 ; 109

故 tan< n , k >=

?

?

2 15 ; 7 2 15 . 7

则二面角 C﹣AB﹣D 的平面角的正切值为

点评:本题是立体几何综合题目,此类题目一般有两种思路即几何法与向量法,注意把握两 种思路的特点,进行选择性的运用. 21、(2011?重庆)如图,椭圆的中心为原点 0,离心率 e= (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设动点 P 满足: OP = OM +2 ON ,其中 M、N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率 之积为﹣

2 ,一条准线的方程是 x=2 2 2

??? ? ???? ?

????

1 , 2

问:是否存在定点 F,使得|PF|与点 P 到直线 l:x=2 10 的距离之比为定值;若存在,求 F 的坐标,若不存在,说明理由.

既然选择了远方,便只顾风雨兼程!——起航画室 考点:椭圆的简单性质;向量在几何中的应用;椭圆的定义。 专题:计算题。 分析:(Ⅰ) 由题意得 的标准方程. (Ⅱ)设动点 P(x,y),M(x1,y1)、N(x2,y2). 由向量间的关系得到 x=x1+2x2,y=y1+2y2,据 M、 N 是椭圆上的点可得 x2+2y2=20+4(x1x2+2y1y2). 再根据直线 OM 与 ON 的斜率之积为﹣

a2 ﹣b 2 a2 a2 2 = , = =2 2 ,解出 a、b 的值,即得椭圆 a c 2 a2 ﹣b 2

1 , 2

得到点 P 是椭圆 x2+2y2=20 上的点,根据椭圆的第二定义,存在点 F( 10 ,0),满足条件. 解答:解:(Ⅰ) 由题意得

a2 ﹣b 2 a2 a2 2 = , = =2 2 ,∴a=2,b= 2 , a c 2 a2 ﹣b 2

故椭圆的标准方程

x2 y2 + =1. 4 2

(Ⅱ)设动点 P(x,y),M(x1,y1)、N(x2,y2).∵动点 P 满足: OP = OM +2 ON , ∴(x,y)=(x1+2x2,y1+2y2),∴x=x1+2x2,y=y1+2y2, ∵M、N 是椭圆上的点,∴x12+2y12﹣4=0,x22+2y22﹣4=0. ∴x2+2y2=(x1+2x2)2+2 (y1+2y2)2=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2) =4+4×4+4(x1x2+2y1y2)=20+4(x1x2+2y1y2). ∵直线 OM 与 ON 的斜率之积为﹣

??? ? ???? ?

????

y y 1 1 ,∴ 1 ? 2 =﹣ ,∴x2+2y2=20, x1 x2 2 2

x2 y 2 2 ? =1 上的点,焦点 F( 10 ,0),准线 l:x=2 10 ,离心率为 故点 P 是椭圆 , 20 10 2
根据椭圆的第二定义,|PF|与点 P 到直线 l:x=2 10 的距离之比为定值

2 , 2

故存在点 F( 10 ,0),满足|PF|与点 P 到直线 l:x=2 10 的距离之比为定值. 点评:本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程,两个向量坐标形式的运算,以及椭圆的第 二定义.


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