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北京市丰台区20112012学年度高三第一学期期


北京市丰台区 2011—2012 学年度高三第一学期期末练习(数学理)
2012.1

第一部分

(选择题 共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.设集合 A={x∣x<4},B={x∣x2<4},则 (A)

A ? B 2.在复平面内,复数 (A) 第一象限 (B) B ? A (C) A ? ? R B (D) B ? ? R A

2i 对应的点位于 1+ i
(B) 第二象限 (C) 第三象限
2

(D) 第四象限

3.已知命题 p: ?x ? R , x ? 2 ? lg x ,命题 q: ?x ? R , x ? 0 ,则 (A) 命题 p ? q 是假命题 (C) 命题 p ? (?q) 是假命题 (B) 命题 p ? q 是真命题 (D) 命题 p ? (?q) 是真命题

4.若某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是

2 (A) 3

4 (B) 3

2

(C) 2

(D)6
正视图

2

侧视图

5.预测人口的变化趋势有多种方法, “直接推算法”使用的公式是
n P n ?P 0 (1 ? k ) (k ? ?1) ,其中 Pn 为预测人口数,P0 为初期人口数,k 为预

1 2

测年内增长率,
俯视图

n 为预测期间隔年数.如果在某一时期有-1<k<0,那么这期间人口数 (A) 呈上升趋势 (B) 呈下降趋势 (C) 摆动变化 (D) 不变
6.执行如右图所示的程序框图,输出的 S 值为

开始 k=1,S=0 S=S+2k

2 26 (4 ? 1) 3 51 (D) 2 ? 1 1 1 7.若函数 f ( x) ? log 2 ( x ? ) ? a 在区间 ( , 2) 内有零点,则实数 a 的取值范围是 x 2 5 5 (A) (? log 2 , ?1] (B) (1, log 2 ) 2 2 5 5 (C) (0, log 2 ) (D) [1, log 2 ) 2 2
(A) (B)

2 25 (4 ? 1) 3 50 (C) 2 ? 1

k=k+2 否

k≥50 是 输出 S 结束

8.如图,P 是正方体 ABCD—A1B1C1D1 对角线 AC1 上一动点,设 AP 的长度为 x,若△PBD 的面积为 f(x),则 f(x)的图象大 致是
D1 A1 P B1 C1

A

D B

C

y

y

O

x

O

x

(A)
y y

(B)

O

x

O

x

(C)

(D)

第二部分

(非选择题 共 110 分)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S5= a8+5,S6= a7+ a9-5,则公差 d 等于 . 10.若过点 A(-2,m),B(m,4)的直线与直线 2x+y+2=0 平行,则 m 的值为 11.曲线 y=3-3x 与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 . 12.已知平面向量 a ? (4,3) , 2a ? b ? (2, ?2) ,则 a 与 b 的夹角余弦值等于 . 13.在面积为 S 的矩形 ABCD 内随机取一点 P,则△PBC 的面积小于
2



?

? ?

?

?

S 的概率是 . 4

14. 函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) , 若对于定义域内任意 x1 ,x2 ( x1 ? x2 ) , 有

f ( x1 ) ? f ( x x ?x 2 ) 则称 f ( x ) ? f ?(1 2 ) 恒成立, x1 ? x2 2
1 ;④ f ( x)=e x ;⑤ f ( x)= ln x .其 x

为恒均变函数.给出下列函数:① f ( x)=2 x ? 3 ;② f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ;③ f ( x )= 中为恒均变函数的序号是 . (写出所有 满足条件的函数的序号) .. 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos
2

x ? 3 sin x . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 ? 为第二象限角,且 f (? ?

?
3

)?

1 cos 2? ,求 的值. 3 1 ? cos 2? ? sin 2?

16.(本小题共 14 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AC=BC=2, AB ? 2 2 ,CC1=4,M 是棱 CC1 上一点. (Ⅰ)求证:BC⊥AM; (Ⅱ)若 M,N 分别是 CC1,AB 的中点,求证:CN //平面 AB1M; (Ⅲ)若 C1 M ?
C1 A1 M B1

3 ,求二面角 A-MB1-C 的大小. 2

C N A

B

17.(本小题共 13 分) 某市医疗保险实行定点医疗制度,按照“就近就医、方便管理”的原则,参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点 医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁 4 名参加保险人员所在地区附近有 A,B,C 三家社 区医院,并且他们的选择是相互独立的. (Ⅰ)求甲、乙两人都选择 A 社区医院的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率; (Ⅲ)设 4 名参加保险人员中选择 A 社区医院的人数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望.

18.(本小题共 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点,动点 P 与两个定点 M (1,0) , N (4,0) 的距离之比为 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 W 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? 3 与曲线 W 交于 A , B 两点,在曲线 W 上是否存在一点 Q ,使得

1 . 2

???? ??? ? ??? ? OQ ? OA ? OB ,若存在,求出此时直线 l 的斜率;若不存在,说明理由.

19.(本小题共 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? a ln x ?

b 在 x ? 1 处取得极值. x

(Ⅰ)求 a 与 b 满足的关系式; (Ⅱ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 a ? 3 ,函数 g ( x) ? a 2 x 2 ? 3 ,若存在 m1 , m2 ? [ , 2] ,使得 f (m1 ) ? g (m2 ) ? 9 成立,求 a 的取值范围.

1 2

20.(本小题共 13 分) 若有穷数列{an}满足: (1)首项 a1=1,末项 am=k, (2)an+1= an+1 或 an+1=2an ,(n=1,2,?,m-1),则称数列{an}为 k

的 m 阶数列. (Ⅰ)请写出一个 10 的 6 阶数列; (Ⅱ)设数列{bn}是各项为自然数的递增数列,若 k ? 2 1 ? 2 2 ? 2 3 ? ?+2 l (l ? N ,且 l ≥ 2) ,求
b b b b

m 的最小值.

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

丰台区 2011—2012 学年度第一学期期末练习 2012.01 高三数学(理科)答案及评分参考
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 B 11.4 14. ①②(只写出一个给 2 分) 6 A 7 D 8 A

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.5 10. ?8 24 1 12. 13. 2 25

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos
2

x ? 3 sin x . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 ? 为第二象限角,且 f (? ?

?
3

)?

1 cos 2? ,求 的值. 3 1 ? cos 2? ? sin 2?
????????1 分 ????????2 分 ????????4 分

解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 1 ? cos x ? 3sin x

? 1 ? 2 cos( x ? ) , 3
所以函数 f ( x ) 的周期为 2? ,值域为 [?1,3] . (Ⅱ)因为 f (? ?

?

?
3

)?

1 , 3
????????5 分

所以 1 ? 2 cos ? =

1 1 ,即 cos ? ? ? . 3 3

因为

cos 2? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2? ? sin 2? 2cos 2 ? ? 2sin ? cos ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) cos ? ? sin ? ? , 2 cos ? 2cos ? (cos ? ? sin ? )

????????8 分

?

????????10 分

又因为 ? 为第二象限角, 所以 sin ? ?

2 2 . 3

????????11 分

cos ? ? sin ? 所以原式 ? ? 2cos ?

1 2 2 ? ? 3 3 ? 1 ?2 2 . 2 2 ? 3

????????13 分

16.(本小题共 14 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AC=BC=2, AB ? 2 2 ,CC1=4,M 是棱 CC1 上一点. (Ⅰ)求证:BC⊥AM; (Ⅱ)若 M,N 分别是 CC1,AB 的中点,求证:CN //平面 AB1M; (Ⅲ)若 C1 M ?
C1 A1 M B1

3 ,求二面角 A-MB1-C 的大小. 2

C N A

B

证明: (Ⅰ)因为三棱柱 ABC-A1B1C1 中 CC1⊥平面 ABC, 所以 CC1⊥BC. ????????1 分 因为 AC=BC=2, AB ? 2 2 , 所以由勾股定理的逆定理知 BC⊥AC. ????????2 分 因为 AC∩CC1=C, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. ????????3 分 因为 AM ? 平面 ACC1A1, 所以 BC⊥AM. ????????4 分 (Ⅱ)连结 A1B 交 AB1 于 P. ????????5 分 C1 B1 因为三棱柱 ABC-A1B1C1, A1 所以 P 是 A1B 的中点. M 因为 M,N 分别是 CC1,AB 的中点, P 所以 NP // CM,且 NP = CM, 所以四边形 MCNP 是平行四边形, ????????6 分 B C 所以 CN//MP. ????????7 分 N 因为 CN ? 平面 AB1M,MP ? 平面 AB1M, ??????8 分 A 所以 CN //平面 AB1M. ????????9 分 (Ⅲ)因为 BC⊥AC,且 CC1⊥平面 ABC, 以 C 为原点,CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 C-xyz. ???? 3 5 5 因为 C1 M ? ,所以 C(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,2,4), M (0, 0, ) , AM ? ( ?2, 0, ) , 2 2 2 ???? ? 3 B1M ? (0, ?2, ? ) . ????????10 分 2 设平面 AMB1 的法向量 n ? ( x, y, z) ,则 n ? AM ? 0 , n ? B1M ? 0 .
z

?

? ???? ?

? ?????

5 ? (?2, 0, ) ? ( x, y, z )=0, ? ? 2 即? ?(0, ?2, ? 3 ) ? ( x, y, z )=0. ? ? 2

C1

B1 A1

????????11 分

M

令 x ? 5 ,则 y ? ?3, z ? 4 ,即 n ? (5, ?3, 4) . 又平面 MB1C 的一个法向量是 CA=(2,0,0) ,

?

y C N A x B

??? ?

? ??? ? ? ??? ? n ? CA 2 ? ? 所以 cos ? n, CA>= ? ??? . | n || CA | 2
由图可知二面角 A-MB1-C 为锐角, 所以二面角 A-MB1-C 的大小为

??????12 分

? . 4

????????14 分

17.(本小题共 13 分) 某市医疗保险实行定点医疗制度,按照“就近就医、方便管理”的原则,参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医 院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁 4 名参加保险人员所在的地区附近有 A,B,C 三家社区 医院,并且他们对社区医院的选择是相互独立的. (Ⅰ)求甲、乙两人都选择 A 社区医院的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率; (Ⅲ)设 4 名参加保险人员中选择 A 社区医院的人数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 解: (Ⅰ)设“甲、乙两人都选择 A 社区医院”为事件 A ,那么 ????????1 分

1 1 1 P( A) ? ? ? . 3 3 9

????????3 分

1 . 9 (Ⅱ)设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件 B ,那么 1 1 1 P( B) ? 3 ? ? ? , 3 3 3
所以甲、乙两人都选择 A 社区医院的概率为 所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是 P( B) ? 1 ? P( B) ? (Ⅲ) (方法一)随机变量 ξ 可能取的值为 0,1,2,3,4.那么

????????4 分 ????????5 分 ????????7 分

2 . ????????8 分 3
????????9 分

2 16 0 P(? ? 0) ? C4 ? ( )4 ? ; 3 81 1 2 24 2 P(? ? 2) ? C4 ? ( )2 ? ( )2 ? ; 3 3 81 1 1 4 P(? ? 4) ? C4 ? ( )4 ? . 3 81
所以 ξ 的分布列为

1 2 32 1 P (? ? 1) ? C4 ? ? ( )3 ? ; 3 3 81 1 2 8 3 P(? ? 3) ? C4 ? ( )3 ? ( ) ? ; 3 3 81
(错三个没分)

?
P

0

1

2

3

4

16 81

32 81

24 81

8 81

1 81
????????12 分

16 32 24 8 1 4 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . ????????13 分 81 81 81 81 81 3 1 (方法二)依题意 ? ? B (4, ) , ????????10 分 3 1 k 2 4?k 24? k k k ? C4 ? 所以 ξ 的分布列为 P(? ? k ) ? C4 ? ( ) ? ( ) , k ? 0,1, 2,3, 4 .即 3 3 81

?
P

0

1

2

3

4

16 81

32 81

24 81

8 81

1 81
????????12 分 ????????13 分

所以 E? ? 4 ? 18.(本小题共 13 分)

1 4 ? . 3 3

在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点,动点 P 与两个定点 M (1,0) , N (4,0) 的距离之比为 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 W 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? 3 与曲线 W 交于 A , B 两点,在曲线 W 上是否存在一点 Q ,使得

1 . 2

???? ??? ? ??? ? OQ ? OA ? OB ,若存在,求出此时直线 l 的斜率;若不存在,说明理由.
解: (Ⅰ)设点 P 的坐标为 P( x, y) ,依题意,

| PM | 1 ? , | PN | 2

????????1 分

2 2 即 2 ( x ? 1) ? y ?

( x ? 4) 2 ? y 2 ,

????????3 分

化简得 x ? y ? 4 .
2 2

所以动点 P 的轨迹 W 的方程为 x ? y ? 4 .
2 2

????????5 分

(Ⅱ)因为直线 l : y ? kx ? 3 与曲线 W 相交于 A , B 两点, 所以 dO ?l ?

| 3| 1? k 2

? 2 , 所以 k ?

5 5 或k ? ? . 2 2

????????7 分

假设存在点 Q ,使得 OQ ? OA ? OB . 因为 A , B 在圆上,且 OQ ? OA ? OB , 由向量加法的平行四边形法则可知四边形 OAQB 为菱形, 所以 OQ 与 AB 互相垂直且平分, 所以原点 O 到直线 l : y ? kx ? 3 的距离为 d ? 即 d O ?l ?

????

??? ? ??? ?

????????8 分

????

??? ? ??? ?

????????9 分

1 | OQ |? 1 . 2

????????10 分

| 3| 1? k
2

? 1 ,解得 k 2 ? 8 , k ? ?2 2 ,经验证满足条件. ????????12 分

所以存在点 Q ,使得 OQ ? OA ? OB . 19.(本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x ?

????

??? ? ??? ?

????????13 分

b 在 x ? 1 处取得极值. x

(Ⅰ)求 a 与 b 满足的关系式; (Ⅱ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 a ? 3 ,函数 g ( x) ? a 2 x 2 ? 3 ,若存在 m1 , m2 ? [ , 2] ,使得 f (m1 ) ? g (m2 ) ? 9 成立,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ) f ?( x ) ? 1 ?

1 2

a b ? , x x2

????????2 分 ????????3 分 ????????4 分

由 f ?(1) ? 0 得 b ? 1 ? a . (Ⅱ)函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) , 由(Ⅰ)可得 f ?( x) ? 1 ?

a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a ) ( x ?1)[ x ? (a ?1)] ? ? ? . x x2 x2 x2
????????6 分 ????????7 分

令 f ?( x) ? 0 ,则 x1 ? 1 , x2 ? a ? 1 . 因为 x ? 1 是 f ( x) 的极值点, 所以当 a ? 2 时, a ? 1 ? 1 , x 所以 x1 ? x 2 ,即 a ? 2 .

(0,1)
+


1 0

(1, a ? 1)


a ?1
0

(a ? 1,??)
+


f ?( x )

f ( x)

所以单调递增区间为 (0,1) , (a ? 1,??) ,单调递减区间为 (1, a ? 1) . 当 1 ? a ? 2 时, 0 ? a ? 1 ? 1 ,

????????8 分

所以单调递增区间为 (0, a ? 1) , (1,??) ,单调递减区间为 (a ? 1,1) . (Ⅲ)当 a ? 3 时, f ( x) 在 [ ,1) 上为增函数,在 (1, 2] 为减函数, 所以 f ( x) 的最大值为 f (1) ? 2 ? a ? 0 . 因为函数 g ( x) 在 [ , 2] 上是单调递增函数, 所以 g ( x) 的最小值为 g ( ) ?

????????9 分

1 2

????????10 分

1 2

1 2

1 2 a ?3? 0. 4

????????11 分

1 ????????12 分 2 1 要使存在 m1 , m2 ? [ , 2] ,使得 f (m1 ) ? g (m2 ) ? 9 成立, 2 1 1 2 只需要 g ( ) ? f (1) ? 9 ,即 a ? 3 ? ( 2 ? a ) ? 9 ,所以 ? 8 ? a ? 4 . ???????13 分 2 4
所以 g ( x) ? f ( x) 在 [ , 2] 上恒成立. 又因为 a ? 3 , 所以 a 的取值范围是 a ? (3, 4) . ????????14 分

20.(本小题共 13 分) 若有穷数列{an}满足: (1)首项 a1=1,末项 am=k, (2)an+1= an+1 或 an+1=2an,(n=1,2,?,m-1),则称数列{an}为 k 的 m 阶数列. (Ⅰ)请写出一个 10 的 6 阶数列; (Ⅱ)设数列{bn}是各项为自然数的递增数列,若 k ? 2 1 ? 2 2 ? 2 3 ? ?+2 l (l ? N ,且 l ≥ 2) ,求 m 的最小值.
b b b b

解: (Ⅰ)1,2,3,4,5,10 或 1,2,4,8,9,10. (Ⅱ)由已知在数列{an}中 an+1= an+1 或 an+1=2an, 当 am 为偶数时, am ?1 ? 因为

????????2 分

am (am ≥ 2) ,或 am?1 ? am ? 1 . 2

am ≤ am ? 1 (am ≥ 2) , 2 a 所以在数列{an}中 1 ≤ ai ≤ m 中 i 的个数不多于 1≤ a j ≤ am ?1 中 j 的个数, 2 a 要使项数 m 最小,只需 am ?1 ? m (am ≥ 2) . ????????5 分 2
当 am 为奇数时,必然有 am?1 ? am ? 1(am ≥ 2) , am?1 是偶数,可继续重复上面的操作. 所以要使项数 m 最小,只需遇到偶数除以 2,遇到奇数则减 1. 因为 am ? k ? 2 1 ? 2 2 ? 2 3 ? ?+2 l ,且 0 ≤ b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bl ,
b b b b

只需除以 b1 次 2,得到 1 ? 2 2 减 1,得到 2 2
b ?b1

b ?b1

? 2b3 ?b1 ? ? +2bl ?b1 为奇数;

? 2b3 ?b1 ? ? +2bl ?b1 为偶数,
b ?b2

再除以 b2 ? b1 次 2,得到 1 ? 2 3 再减 1,得到 2 3 ????, 最后得到 2 l
b ?bl ?1 b ?b2

? ? ? 2bl ?b2 ;

? ? ? 2bl ?b2 为偶数,

为偶数,

除以 bl ? bl ?1 次 2,得到 1,即为 a1 . 所以 m ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ?+(bl ? bl ?1 ) ? (l ?1) ? 1 = bl ? l . ????????13 分

(若用其他方法解题,请酌情给分)


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