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3.3《导数在研究函数中的应用》习题


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导数在研究函数中的应用 单元测试
一、选择题 ? ∞) 内为单调函数的是( 1.下列函数在 (?∞, A. y ? x 2 ? x C. y ? e? x B. y ? x D. y ? sin x



答案:C
1) 上是( 2.函数 y ? x ln x 在区

间 (0,



A. 单调增函数 B.单调减函数 ? 1? ?1 ? 1 ? 上是单调增函数 C.在 ? 0, ? 上是单调减函 数 ,在 ? , ? e? ?e ?
? 1? ?1 ? 1 ? 上是单调减函数 D.在 ? 0, ? 上是单调增函数,在 ? , e ? ? ?e ?

答案:C

3.函数 f ( x) ? ( x ? 2)2 ( x ? 1)3 的极大值点是( A. x ? ?

) D. x ? ?2

4 5

B. x ? 1

C. x ? ?1

答案:D
, 0) 极大值为 4.已知函数 f ( x) ? x3 ? px2 ? qx 的图象与 x 轴相切 于 (1

4 ,极小值为( 27



A.极大值为

4 ,极小值为 0 27
4 27 5 27

B.极大值为 0,极小值为 ?

C.极大值为 0,极小 值为 ? D.极大值为

5 ,极小值为 0 27

答案:A
? π? 5.函数 y ? x ? 2cos x 在 ? 0, ? 上取最大值时, x 的值为( ? 2?
1



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A.0 B.

π 6

C.

π 3

D.

π 2

答案:B 6.设函数 f ( x) 在定义域内可导, y ? f ( x) 的图象如图 1 所示,则导函数 y ? f ?( x) 的图象可 能为( )

答案:B

二、填空题 7.函数 y ? 2x2 ? ln x( x ? 0) 的单调增区间为 .

?1 ? ? ∞? 答案: ? , ?2 ?

8.函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 ? 3x 的极值点为 x1 ? 1 , x2 ? 2 ,则 a ?

,b ?



答案: ?2, ?

1 2

2] 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 9.函数 f ( x) ? x4 ? 2x2 ? 5 在 [ ?2,



答案:4
? ∞) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 10.函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? x ? 5 在 (?∞,



?1 ? ? ∞? 答案: ? , ?3 ?

2

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, 2] 上的值域 为 11.函数 f ( x) ? x5 ? 5x4 ? 5x3 ? 1 在 [ ?1 2] 答案: [?10,



12.在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形,然 后折成一个正三棱柱,尺寸如图 2 所示.当 x 为 时,正三棱柱 的体积最大,最大值是 .

a a3 答案: , 6 54

三、解答题 1 3.已知 x ? 0 , 证明不等式 x ? ln(1 ? x) . 证明:原不等式等价于证明 x ? ln(1 ? x) ? 0 . 设 f ( x) ? x ? ln(1 ? x) ,则 f ?( x) ? 1 ?

1 x . ? 1? x x ?1
3

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∵ x ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 .

∴ f ( x) 在 x ? (0, ? ∞) 上是单调增函数.

又 f (0) ? 0 ? ln1 ? 0 , ∴ f ( x) ? f (0) ? 0 即 x ? ln(1 ? x) ? 0 ,亦即 x ? ln(1 ? x) .

14.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 2bx 在 x ? 1 处有极小值 ?1 ,试求 a,b 的值,并求出 f ( x) 的 单调区间. 解:由已知,可得 f (1) ? 1 ? 3a ? 2b ? ?1 , 又 f ?( x) ? 3x2 ? 6ax ? 2b ,
∴ f ?(1) ? 3 ? 6a ? 2b ? 0 ,

① ②

1 1 由①,②,解得 a ? ,b ? ? . 3 2
故函数的解析式为 f ( x) ? x3 ? x2 ? x .

1 由此得 f ?( x) ? 3x2 ? 2 x ? 1 ,根据二次函数的性质,当 x ? ? 或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 3 1 当 ? ? x ? 1 , f ?( x) ? 0 . 3
1? ? ? 1 ? ? ? 和 (1 1? . , ? ∞) ,函数的单调减区间为 ? ? , 因此函数 的单调增区间为 ? ?∞, 3? ? ? 3 ?

1 2 ,问: (1)要使平均 x (元) 40 成本最低,应生产多少件产品?(2)若产品以每件 500 元售出,要使利润最大,应生产多 少件产品?
15.已知某工厂生产 x 件产品的成本为 C ? 25000 ? 200 x ?
1 2 x 40 ? 25000 ? 200 ? x , x 40

解: (1)设平均成本为 y 元,则 y ?

25000 ? 200 x ? x

?25000 1 ? ,令 y ? ? 0 得 x ? 1000 . x2 40 x ? 1000 当在 附近左侧时 y ? ? 0 ; 在 x ? 1000 附近右侧时 y ? ? 0 ,故当 x ? 1000 时, y 取极小值,而函数只有一个点使 y ? ? 0 , y? ?
故函数在该点处取得最小值,因此,要使平均成本最低,应生产 1000 件产品.
? x2 ? x2 x (2)利润函数为 S ? 500 x ? ? 25000 ? 200 x ? ? ? 300 x ? 25000 ? , S ? ? 300 ? , 40 ? 40 20 ?

令 S ? ? 0 ,得 x ? 6000 ,当在 x ? 6000 附近左侧时 S ? ? 0 ;在 x ? 6000 附近右侧时 S ? ? 0 ,故 当 x ? 6000 时, S 取极大值,而函数只有一个点使 S ? ? 0 ,故函数在该点处取得最大值,因
4

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此,要使利润最大,应生产 6000 件产品.

5


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